广西2025版高考数学一轮复习考点规范练35直接证明与间接证明文

PAGEPAGE1考点规范练35干脆证明与间接证明一、基础巩固1.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-a4C.(a+b)22-1-a2b2≤0 D.(a2答案D解析在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:b2-ac<3A.a-b>0 B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0答案C解析b2-ac<3a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇔-2a2+ac+c2<0⇔2a2-ac-c2>0⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)3.设x>0,P=2x+2-x,Q=(sinx+cosx)2,则()A.P>Q B.P<Q C.P≤Q D.P≥Q答案A解析因为2x+2-x≥22x·2-x=2(当且仅当x=0时等号成立),而x>0,所以P>2.又(sinx+cosx)2=1+sin2x,而sin2x≤1,所以Q≤2.4.利用反证法证明“若x2+y2=0,则x=y=0”时,应假设()A.x,y都不为0 B.x≠y,且x,y都不为0C.x≠y,且x,y不都为0 D.x,y不都为0答案D解析原命题的结论是x,y都为0,利用反证法时,应假设x,y不都为0.5.设a,b是两个实数,下列条件中,能推出“a,b中至少有一个大于1”的是()A.a+b>1 B.a+b>2 C.a2+b2>2 D.ab>1答案B解析若a=12,b=23,则但a<1,b<1,故A推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故C推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故D推不出;对于B,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.反证法:假设a≤1,且b≤1,则a+b≤2与a+b>2冲突,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减.若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.7.设a>b>0,m=a-b,n=a-b,则m,n答案m<n解析(方法一:取特别值法)取a=2,b=1,得m<n.(方法二:分析法)因为a>b>0,所以要得出m与n的大小关系,只需推断mn=a-ba-b与1的大小关系,只需推断a+b-2aba-b与1的大小关系,只需推断a+b-2ab-(a-b)与0的大小关系,只需推断2b-2ab与0的大小关系,只需8.6+7与22+5答案6+7>解析要比较6+7与22+5的大小,只需比较(6+7)2与(22+5)2的大小,只需比较6+7+242与8+5∵42>40,∴6+7>29.若a,b,c是不全相等的正数,求证:lga+b2+lgb+c2+lgc+a证明∵a,b,c∈(0,+∞),∴a+b2≥ab>0,b+又上述三个不等式中的等号不能同时成立.∴a+b2上式两边同时取常用对数,得lga+b2·∴lga+b2+lgb+c2+lgc+a10.已知a>0,1b-1a证明由已知1b-1a>1及a>0可知0<b<1,要证1+只需证1+a-b-ab>1,只需证a-b-ab>0,即a-b即1b-111.设函数f(x)=1x+2,a,b∈(0,+∞(1)用分析法证明:fab+fb(2)设a+b>4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于12证明(1)要证明fab+fb只需证明1a只需证明ba+2b即证(a-b)2≥0,这明显成立,所以fab+fb(2)假设af(b),bf(a)都小于或等于12即ab所以2a≤b+2,2b≤a+2,两式相加得a+b≤4,这与a+b>4冲突,所以af(b),bf(a)中至少有一个大于12二、实力提升12.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形答案D解析由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不行能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形.由sin则A2+B2+C2=π2这与三角形内角和为180°相冲突.因此假设不成立,故△A2B2C2是钝角三角形.13.已知a,b,μ∈(0,+∞),且1a+9b=1,要使得a+b≥μ恒成立,则μ答案(0,16]解析∵a,b∈(0,+∞),且1a+∴a+b=(a+b)1a+9b=10+9ab+ba≥10+∴a+b的最小值为16.∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ.∴0<μ≤16.14.在Rt△ABF中,AB=2BF=4,C,E分别是AB,AF的中点(如图①).将此三角形沿CE对折,使平面AEC⊥平面BCEF(如图②),已知D是AB的中点.(1)求证:CD∥平面AEF;(2)求证:平面AEF⊥平面ABF.图①图②证明(1)取AF中点M,连接DM,EM.∵D,M分别是AB,AF的中点,∴DM是△ABF的中位线,∴DM12BF又CE12BF,∴四边形CDME∴CD∥EM.又EM⊂平面AEF,CD⊄平面AEF,∴CD∥平面AEF.(2)由题意知CE⊥AC,CE⊥BC,且AC∩BC=C,故CE⊥平面ABC.又CD⊂平面ABC,∴CE⊥CD.∴四边形CDME是矩形.∴EM⊥MD.在△AEF中,EA=EF,M为AF的中点,∴EM⊥AF,且AF∩MD=M,∴EM⊥平面ABF.又EM⊂平面AEF,∴平面AEF⊥平面ABF.三、高考预料15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an+1+n-2,n∈N*,a1=2.(1)证明:数列{an-1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设bn=3nSn-n+1(n∈N*)的前n项和为Tn,(1)解因为Sn=an+1+n-2,所以当n≥2时,Sn-1=an+(n-1)-2=an+n-3,两式相减,得an=an+1-an+1,即an+1=2an-1.设cn=an-1,代入上式,得cn+1+1=2(cn+1)-1,即cn+1=2cn(n≥2).又Sn=an+1+n-2,则an+1=Sn-n+2,故a2=S1-1+2=3.所以c1=a1-1=1,c2=a2-1=2,即c2=2c1.综上,对于正整数n,cn+1=2cn都成立,即数列{an-1}是等比数列,其首项a1-1=1,公比q=2.所以an-1=1×2n-