湖南省郴州市2025届高三三模数学试卷

湖南省郴州市2025届高三三模数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．[2025届·湖南郴州·三模]已知集合，，则中所有元素和为()A.3 B.5 C.6 D.91．答案：C解析：因为集合，得，又集合，所以，所以中所有元素之和为.故选：C.2．[2025届·湖南郴州·三模]已知复数z满足，则()A. B. C.3 D.12．答案：D解析：z满足，则，则.则.故选：D.3．[2025届·湖南郴州·三模]在平面直角坐标系中，已知，，，若，则的值为()A.4 B.2 C. D.3．答案：A解析：因为，，所以，，又，得，又，所以，即，解得.故选A.4．[2025届·湖南郴州·三模]已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若，椭圆C的离心率为，则椭圆C的焦距为()A.1 B.2 C. D.4．答案：B解析：依题意，解得，，所以焦距.故选：B5．[2025届·湖南郴州·三模]已知，则的值是()A. B. C. D.5．答案：B解析：依题意，，，所以.故选：B6．[2025届·湖南郴州·三模]在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，边上的高，则()A. B. C.8 D.6．答案：A解析：已知边上的高，，根据三角形面积公式.将，，代入可得：，，.由余弦定理，可得：，即，可得：，即，把代入上式可得：，即.因为b、c为三角形的边，可得：.故选：A.7．[2025届·湖南郴州·三模]已知函数，若函数在区间的图象上存在两条斜率之积为的切线，则实数a的取值范围为()A. B. C. D.7．答案：D解析：由，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，，且若，则恒成立，不符合题意，可排除A项.所以，此时在上单调递增，依题意需使，解得.故选：D8．[2025届·湖南郴州·三模]定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中x、y、z均为整数，若满足的点P的个数为n，则n的值为()A.27 B.64 C.125 D.2168．答案：C解析：因为、、，则，由三角不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，同理可得，，当且仅当时，等号成立，又因为，即，可得，又因为x、y、z都是整数，则，故满足条件的点P的个数为个.故选：C.二、多项选择题9．[2025届·湖南郴州·三模]某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、中年组和老年组.每组由6位专业评委对演唱评分（满分10分），老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如下图所示，则下列结论正确的是()A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数B.甲得分的极差大于乙得分的极差C.甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数D.甲得分的方差大于乙得分的方差9．答案：ABD解析：将甲的得分从小到大排列为：7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3.因为数据个数为偶数，所以甲得分的中位数为.将乙的得分从小到大排列为：8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1.同理，乙得分的中位数为.由于，所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数，A选项正确.甲得分的最大值是9.3，最小值是7.0，则甲得分的极差为.乙得分的最大值是9.1，最小值是8.1，则乙得分的极差为.因为，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，B选项正确.，，向上取整为5.所以甲得分的上四分位数是9.2，乙得分的上四分位数是8.7，由于，所以甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数，C选项错误.，，向上取整为5.所以甲得分的上四分位数是9.2，乙得分的上四分位数是8.7，由于，所以甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数，C选项错误.计算甲得分的平均数：，甲得分的方差：.计算乙得分的平均数：，乙得分的方差：.因为，所以甲得分的方差大于乙得分的方差，D选项正确.故选：ABD10．[2025届·湖南郴州·三模]已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是()A. B. C. D.10．答案：AC解析：因为当时，，令，可得，所以在上单调递增.因为，可得，对于A，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故A正确；对于B，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故B错误；对于C，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故C正确；对于D，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故D错误；故选：AC.11．[2025届·湖南郴州·三模]已知正方体的表面积与体积的数值之比为3，P，Q分别是棱，的中点，G是线段上一个动点，则下列结论正确的是()A.B.多面体的体积为C.存在一点G，使得D.若平面，则平面截正方体的截面面积是11．答案：BD解析：对于A，因为正方体的表面积与体积之比为3，所以，解得，故A错误；对于B，因为四面体的体积为，所以多面体的体积为，正确；对于C，设的中点为R，连接，则，因为在平面内，而G是线段上一个动点，即点G在平面内，点在平面外，所以，为异面直线，故C错误；对于D，在正方体中，连接，易得，又结合正方体的结构特点易证，，是平面内的两条相交直线，所以平面，又在平面内，所以，同理可证，，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面，又P，Q分别是棱BC，的中点，所以平面截正方体的截面分别交棱，，，的中点F，H，I，J，所以截面为正六边形，又，所以截面面积为，故D正确，故选：BD三、填空题12．[2025届·湖南郴州·三模]已知，则________.12．答案：80解析：依题意，.故答案为：8013．[2025届·湖南郴州·三模]已知函数，若在区间上单调递增，则实数m的取值范围为________.13．答案：解析：由解得，，令，得，依题意，在区间上单调递增，则实数m的取值范围为.故答案为：14．[2025届·湖南郴州·三模]已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，点P在直线上，过P向抛物线C引两条切线，，切点分别为Q，R，过点引直线的垂线，垂足为点H，则直线FH的斜率的取值范围是________.14．答案：解析：因为，所以，所以抛物线；设，，，不妨设，，由，可得，可得，则，可得切线的方程为因为点在直线上，可得，同理可得：，所以直线的方程为，可得直线过定点，又因为在直线上的射影为H，可得且，所以点H的轨迹为以为直径的圆，其方程为，当与相切时，由抛物线，可得，设过点F与圆相切的直线的斜率为k，可得切线方程为，则，解得或，所以实数k的范围为.故答案为：.四、解答题15．[2025届·湖南郴州·三模]已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球.(1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率.15．答案：(1)分布列见详解；(2)解析：（1）由题意可知：随机变量X的可能取值为0，1，2，则有：，，，可得随机变量X的分布列为X012P所以随机变量X的期望.（2）记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件，，，第二次摸到的是3号球为事件B，则，，，，，所以.16．[2025届·湖南郴州·三模]已知数列为等差数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列的前n项和为，且，求数列的通项公式；(3)已知数列满足：，求数列的前n项和.16．答案：(1)(2)(3)解析：（1）因为数列为等差数列，则，可得，所以，数列的公差为，故.（2）当时，，解得，当且时，由得，上述两个等式作差可得，可得，所以，数列是首项和公比均为2的等比数列，故.（3）由（1）（2）可得，所以，，则，上述两个等式作差得，整理得.17．[2025届·湖南郴州·三模]已知函数.(1)当时，求函数的最值；(2)若函数有两个不同极值点，，证明：.17．答案：(1)的最大值为，无最小值.(2)证明见解析解析：（1）当时，，对函数求导可得.令，解得.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；因此，在处取得最大值，最大值为，无最小值.（2）函数，对求导可得，令，得到.设，是的两个根，则①，②①-②得③；①+②得④.③÷④得，即，不妨设，令，则，即.要证，即证，即证，即证，即证，即证.设，对求导可得恒成立，故在上单调递增，即，故成立，即成立.18．[2025届·湖南郴州·三模]如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点C的母线为，点C，E为圆O上异于点A，B且在线段同侧的两点，且，点F为线段的中点，.(1)求证：平面；(2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小；(3)若，平面经过点C，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为Q），求直线与直线所成角的范围.18．答案：(1)证明见解析(2)的大小为(3)线与直线所成角的范围为解析：（1）证明：延长，交于点Q，连接，，因为，O是中点，所以是的中位线，则点E是中点，又因为，，是圆柱的母线，所以，，平行且相等，所以易得，相交与点F，F是的中点，则在中，，又因因为，Q在延长线上，所以可得平面，而不在平面内，所以平面.（2）由题意可知面，且因为直径，所以，则，，三线两两垂直，则建立如图所示空间直角坐标系，又因为，所以设，则，，可得点坐标为，，，，则，，由题意平面在平面内，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则解得，，所以，又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或5（舍），且因为，则，即.（3）因为过点C的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为Q）所以为直角三角形，且，，所以点Q是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为所以设点且，又因为点A为，所以，而，所以，又因为，所以，且因为，所以，所以直线与直线所成角的范围为.19．[2025届·湖南郴州·三模]已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线l与双曲线E交于P，Q两点，当直线l垂直于x轴时，的周长为16.(1)求双曲线E的标准方程；(2)与x轴不重合的直线过点，双曲线E上存在两点A，B关于对称，且的中点M的横坐标为.（ⅰ）若，求实数的值；（ⅱ）若A，B为双曲线E右支上两个不同的点，过点，求的取值范围.19．答案：(1)(2)（ⅰ）4；（ⅱ）解析：（1）因为当直线l垂直x轴时，将代入，