第2讲 方程与不等式（组）练习（解析版）

第2讲方程与不等式（组）练习真题回顾1．（2020·上海中考真题）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是()A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0【答案】A【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．【详解】把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故选：A．【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．2．（2019·上海中考真题）如果m﹥n，那么下列结论错误的是（）A．m＋2﹥n＋2 B．m－2﹥n－2 C．2m﹥2n D．－2m﹥－2n【答案】D【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【详解】A.两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；B.两边都减2，不等号的方向不变，故B正确；C.两边都乘以2，不等号的方向不变，故C正确；D.两边都乘以-2，不等号的方向改变，故D错误；故选D.【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键在于掌握运算法则3．（2018·上海中考真题）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．（2020·上海中考真题）如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是____．【答案】4．【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．【详解】依题意．∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，解得：m=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2-4ac＜0时，方程无实数根．5．（2019·上海中考真题）如果关于x的方程x2－x＋m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是______.【答案】【分析】根据方程x2－x＋m＝0没有实数根得到△=（-1）2-4m＜0，求出m的取值范围即可．【详解】∵关于x的方程x2－x＋m＝0没有实数根，∴△＜0，∴(−1)2−4m＜0，∴，故答案为【点睛】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键6．（2019·上海中考真题）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝________斛米.（注：斛是古代一种容量单位）【答案】【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y值，将其相加即可得出结论．【详解】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据题意得：，解得：.∴x+y=.故答案为【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程7．（2018·上海中考真题）方程组的解是_____．【答案】，【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．【详解】，②+①得：x2+x=2，解得：x=﹣2或1，把x=﹣2代入①得：y=﹣2，把x=1代入①得：y=1，所以原方程组的解为，，故答案为，．【点睛】本题考查了解二元二次方程组，根据方程组的结构特点灵活选取合适的方法求解是关键.这里体现的消元与转化的数学思想.8．（2020·上海中考真题）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【答案】（1）504万元；（2）20%．【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350(1+x)2=504，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2020·上海中考真题）解不等式组：【答案】2＜x＜5．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【详解】解：由题意知：，解不等式①，移项得：3x＞6，系数化为1得：x>2，解不等式②，去分母得：3x-3＜x+7．移项得：2x<10，系数化为1得：x<5，∴原不等式组的解集是2＜x＜5．故答案为：2＜x＜5．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．10．（2019·上海中考真题）解方程：【答案】x＝－4.【分析】首先去分母，化为整式方程，求出解，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到结果【详解】去分母，得2x2－8＝x2－2x移项、整理得x2＋2x－8＝0.解这个方程，得x1＝2，x2＝－4.经检验：x＝2是增根，舍去；x＝－4是原方程的根。所以，原方程的根是x＝－4.【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则11．（2018·上海中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】则不等式组的解集是﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示见解析.【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．【详解】解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤3，则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示为：.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知确定解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.也考查了在数轴上表示不等式组的解集.模拟预测一、单选题1．（2020·上海奉贤区·）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，那么实数m的值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用判别式的意义得到＝（﹣2）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，所以m可以取0．故选：A．【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况,求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与的关系是解决此题的关键．2．（2020·上海静安区·九年级二模）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1【答案】B【分析】根据“关于x的方程有实数根”可得此方程的根的判别式，据此求解可得．【详解】由题意得：此方程的根的判别式解得m≤1，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记一元二次方程的根的判别式是解题关键．3．（2020·上海闵行区·九年级二模）方程根的情况（）A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根；C．无实数根 D．有两个相等的实数根【答案】D【分析】利用根的判别式与0的大小关系即可判断根的情况．【详解】∵∴方程有两个相等的实数根，故选：D．【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．4．（2020·上海虹口区·九年级二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出△=36-4k＞0，解之即可得出实数k的取值范围．【详解】∵方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，

∴△=（-4）2-4k=16-4k＞0，解得：k＜4．故选：B．【点睛】此题考查根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．5．（2019·上海九年级其他模拟）某商店9月份的销售额为a万元，在10月份与11月份这两个月份中，此商店的销售额平均每月增长x%，那么下列11月份此商店的销售额正确的是（）A．a（1+x%） B．（1+x%）2 C．a（x%）2 D．a（1+x%）2【答案】D【分析】根据一元二次方程增长率的关系即可求解.【详解】商店的销售额平均每月增长x%，则11月份此商店的销售额为a（1+x%）2故选D.【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到关系进行列式.6．（2019·上海闵行区·中考模拟）下列方程中，没有实数根的方程是()A．x2+3=1C．x−1x+2=1【答案】A【分析】根据根的判别式△=b2-4ac，逐一分析四个选项中方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．【详解】A.x2+3△=b2−4ac=0−8=-8<0，∴方程x2B.△=b2−4ac=1+4=5>0∴方程x2C.x−1x+2D.x+2=−x可变形为：△=b2−4ac=1+8=9>0∴方程x+2=−x故选A【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.7．（2021·上海九年级专题练习）用换元法解方程：时，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意把代入原方程即可求解.【详解】把代入原方程得，去分母得，故选C.【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知等式的性质进行化简.二、填空题8．（2021·上海九年级专题练习）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是，那么该商品现在的价格是_____________元（结果用含的代数式表示）．【答案】【分析】根据该商品现在的价格=原价×（1-降价的百分率）2即可得出结论：【详解】解：∵原价为100元，百分率都是，

∴该商品现在的价格是；

故答案为：．【点睛】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，关系是该商品现在的价格=原价×（1-m）2．9．（2021·上海九年级专题练习）若是方程的一个根，则_____________．【答案】5【分析】根据一元二次方程的根的定义即可得．【详解】由一元二次方程的根的定义得：整理得：，故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，掌握理解根的定义是解题关键．10．（2020·上海普陀区·九年级二模）方程＝﹣x的解是__．【答案】x＝0【分析】先两边平方得到x2﹣5x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣5）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣5＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝5，检验原方程的解为x＝0．【详解】把方程＝﹣x两边平方，得5x＝x2，∴x2﹣5x＝0，∴x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，∴x1＝0，x2＝5．检验：把x1＝0，x2＝5代入方程＝﹣x，可知x1＝0是原方程的根，x2＝5是不符合原方程，所以原方程的解为x＝0．故答案为：x＝0．【点睛】考查了解一元二次方程的应用，解题关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．11．（2018·云南昆明市·中考模拟）若关于x的一元二次方程x22x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是______．【答案】m≤1【分析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得，

解得m≤1。故答案为：m≤1【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．（2020·上海普陀区·九年级二模）如果关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是____．【答案】m＜1【分析】根据直接开平方法定义即可求得m的取值范围．【详解】解：∵关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，∴m﹣1＜0，解得m＜1，所以m的取值范围是m＜1．故答案为：m＜1．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．13．（2021·上海九年级专题练习）如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是_____厘米．【答案】4【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．【详解】解：设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，整理得，x2﹣2x﹣8＝0，解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，读懂题目的意思、根据题目给出的条件找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．14．（2021·上海九年级专题练习）方程＝0的根为______．【答案】x＝4【分析】利用有理数积的乘法得到x﹣4＝0或x+2＝0，然后解一元一次方程后进行检验确定原方程的解．【详解】解：根据题意得x﹣4＝0或x+2＝0，解得x＝4或x＝﹣2，经检验x＝4为原方程的解．故答案为:x＝4．【点睛】考查了解无理方程，解题关键是熟记解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．15．（2017·上海崇明区·九年级二模）不等式组的解集是_____．【答案】3＜x＜5【分析】分别求出每一个不等式的解集，再取其公共部分即可.【详解】解：解不等式3x﹣15＜0，得：x＜5，解不等式3﹣x＜0，得：x＞3，∴不等式组的解集为：3＜x＜5.故答案为：3＜x＜5．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题型，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.16．（2019·上海闵行区·中考模拟）方程的解为_____．【答案】3【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可．【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2∴x2﹣2x﹣3＝0，解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．故答案为3．【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则17．（2019·上海中考模拟）不等式组的整数解是_______．【答案】-1，0，1【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据求不等式组的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定不等式组的解集，最后找出符合条件的整数解．【详解】由①得：x1，由②得：x>−2，则不等式组的解集为：−2<1，故整数解为：−1，0，1.故答案为：−1，0，1.【点睛】考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.18．（2018·上海普陀区·中考模拟）用换元法解方程，设y=，那么原方程化为关于y的整式方程是_____．【答案】6y2-5y+2=0【分析】根据y＝，将方程变形即可．【详解】根据题意得：3y＋，得到6y2－5y＋2＝0故答案为6y2－5y＋2＝0【点睛】此题考查了换元法解分式方程，利用了整体的思想，将方程进行适当的变形是解本题的关键．三、解答题19．（2021·上海九年级专题练习）解方程组：【答案】【分析】将第二个方程进行因式分解得到，然后