四川省成都市2024届高三数学下学期三诊模拟考试理

时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若向量与向量是共线向量，则实数等于（）A．2 B． C． D．02．复数（其中为虚数单位）的共轭复数为（）A． B． C． D．3．已知全集，集合，则等于（）A． B． C． D．4．的展开式中，第5项为常数项，则正整数等于（）A．8 B．7 C．6 D．55．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四条棱中，棱长最大值为（）A． B． C． D．26．已知，则（）A．3 B． C．或0 D．3或07．已知圆，直线，则“”是“圆上任取一点，使的概率小于等于”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10乙班30附：．0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（）A．甲班人数少于乙班人数B．甲班的优秀率高于乙班的优秀率C．表中的值为15，的值为50D．根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”9．若，则的大小关系为（）A． B． C． D．10．已知函数，若，则（）A． B． C． D．011．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为双曲线上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为C．若，则的面积为 D．以为圆心，为半径的圆与渐近线相切12．设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（）A． B．4 C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．某班男女生的比例为，全班的平均身高为，若女生的平均身高为，则男生的平均身高为______．14．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点（在第一象限），分别过作准线的垂线，垂足分别为，若，则直线的倾斜角等于______．15．在中，角所对的边分别为，若，则______．16．在三棱柱中，平面是矩形内一动点，满足，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元．年龄保费（Ⅰ）用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费至少为多少元？（精确到整数）（Ⅱ）随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在和的老人中各随机选取1人，记表示选取的这2人中患该疾病的人数，求的数学期望．18．（本小题满分12分）已知数列的前项和为．（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求出通项公式；（Ⅱ）设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面是棱的中点，在棱上，且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若四棱锥的体积等于1，求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆过点，直线与椭圆相交于不同于点的，两点，为线段的中点，当直线斜率为时，直线的倾斜角等于．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线分别与直线相交于两点．线段的中点为，若的纵坐标为定值，判断直线是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若，证明：；（Ⅱ）若函数在内有唯一零点，求实数的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程（t为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线相交于两点．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是直线上一点，满足，求点的直角坐标．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若函数的最小值为，正数满足，证明：．成都七中高2024届三诊模拟考试数学试题（理科参考答案）一、选择题：CBBCADCDABDA二、填空题：

13．17414．15．16．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ），解得保险公司每年收取的保费为：所以要使公司不亏本，则，即，解得，即保费元；（Ⅱ）由题意知的取值为0，1，2，，，，．18．解：（Ⅰ），，相减得，即，所以数列是以4为公比的等比数列，又，所以．（Ⅱ），，，．19．解：（Ⅰ）面，又，平面，又平面，由得：为棱的中点，连接交于，连接交于，连接，在中，交，平面，平面；（Ⅱ）设，四棱锥的体积为，解得，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面的法向量为，由，得，令，得，取平面的法向量，，因为二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为．20．解：（Ⅰ）由已知得，设中点为由相减得，得，即．所以椭圆方程为．（Ⅱ）设，所以，即，，同理，设直线过点是方程的两根．即，整理得，，，，所以直线过点．21．解：（Ⅰ）当时，不等式等价于，则，令函数，则，，所以函数在上单调递增，且，在上恒成立，即函数在上单调递增，且，所以时，不等式成立；（Ⅱ）当时，，由（Ⅰ）可知此时，所以此时函数没有零点，与已知矛盾，，，令函数，所以，令函数，，①若，所以函数在上递增，且，，使函数在上递减，在上递增，②若时，显然，所以函数在上递减，在上递增，且，使函数在上递减，在上递增，又，，且，使得，综上得，当时，函数在内有唯一零点，的取值范围是．22．解：（Ⅰ）由得，即直线的普通方程为，由得：，，即曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）设直线的参