高一数学必修第一册同步学与练（人教A版）第08讲 指数及对数函数的综合应用（解析版）

第08讲拓展一：指数函数+对数函数综合应用

（定义域+值域+奇偶性+单调性）

题型01指数（型）函数的值域（最值）

x21

1

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数f(x)(xR)的值域为.

2

1

【答案】0,

2

x21

1

【详解】因为f(x)(xR)，由复合函数的单调性可得，f(x)在,0上单调递增，在0,上单

2

调递减，

2

1x11

所以，又1恒成立，所以函数f(x)的值域为

f(x)maxf(0)00,.

222

1

故答案为：0,.

2

【典例2】（2023·全国·高一假期作业）若函数fx2x4xm在区间1,1上存在零点，则实数m的取值

范围是.

1

【答案】[2,]

4

【详解】因为函数fx2x4xm在区间1,1上存在零点，

即g(x)2x4x与ym在1,1上有交点，

又g(x)2x(2x)2，y2x在1,1上单调递增，

1

故x1,1时，则2x[,2]，

2

11

设u2x，则g(u)uu2(u)2，

24

11

由u[,2]可得g(u)[2,]，

24

1

即g(x)2x4x与ym在1,1上有交点，则m[2,].

4

1

故答案为：[2,]

4

【典例3】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知f(x)x22xm,g(x)e2x11，若对

13

x0,3,x,，使得fxgx，则实数m的取值范围是（）

122212

2222

A．2,e4B．1,e5C．2,e5D．1,e4

【答案】D

【详解】因为f(x)x22xm(x1)2m1，x0,3，

所以f(x)在[0,1)上递减，在(1,3]上递增，

所以f(x)的最小值为f(1)m1，

因为f(0)m,f(3)m3，m3m，所以f(x)的最大值为m3，

所以f(x)的值域为[m1,m3]，

13

因为g(x)e2x11在x,上递增，

22

所以g(x)的值域为[0,e21]，

13

因为对x0,3,x,，使得fxgx，

122212

所以[m1,m3]是[0,e21]的子集，

m10

2

所以2，解得1me4，

m3e1

即m的取值范围1me24

故选：D

a8x2x

【典例4】（2023·全国·高一假期作业）已知函数fx（aR且a0）是偶函数．

a4x

(1)求实数a的值；

(2)求函数yf2xfx的值域．

【答案】(1)a1；

(2)4,.

a8x2x1

【详解】（1）fx2x，

a4xa2x

因为f(x)为偶函数，所以对xR都有f(x)f(x)0，

x1x1x11

即220恒成立，即210恒成立，

a2xa2x2xa

1

10，解得a1.

a

1

（2）由（1）可知f(x)2x，

2x

2x1x1

所以yf2xfx22，

22x2x

11

令t2x22x2（当x0时取等号），

2x2x

2

2x1x12

则222t2，

22x2x

2

219

所以所求函数为ytt2t，

24

2

219

则函数ytt2t在2,上单调递增，

24

所以y4，即函数yf2xfx的值域为4,.

x22x

1

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）函数y的值域为（）

2

A．0,2B．0,C．2,D．1,

【答案】A

【详解】依题意，

2

令tx22x，则tx22xx111，

tt

11

因为y单调递减，且y0

22

t1

11

所以y2，

22

所以y0,2.

故选：A.

x1x

11

【变式2】（2023·全国·高一假期作业）求函数fx4·2，在定义域A上的值域.

42

【答案】1,2

x1xx2x

1111

【详解】fx42442

4222

xx

111

令t，t在0,3是单调减函数∴t,1，

228

2111

gt4t4t2在,是单调减函数，在,1是单调增函数

822

１

∴当t时，fx1

２min

当时，

t1fxmax2

∴fx在定义域A上的值域为1,2

【变式3】（2023·全国·高三专题练习）函数fx9x43x9的值域为．

【答案】5,

2

【详解】设t3x0，因为fx9x43x93x43x9，

2

换元得gtt24t9t25，t0，

当t2时，函数gt取到最小值gt5，

所以函数fx9x43x9的值域为5,．

故答案为：7,29；5,.

题型02指数（型）函数的单调性

4

【典例1】（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）函数fxxa2与gx()x在0,均

a

单调递减的一个充要条件是（）

A．a0,2B．a0,1C．a1,2D．a1,2

【答案】A

【详解】因为函数f(x)xa2在0,上单调递减，所以a20即a2；

xx

4aa

因为函数g(x)在0,上单调递减可得01，解得0a4，

a44

x

a24

若函数f(x)x与g(x)均单调递减，可得0a2，

a

x

a24

所以函数f(x)x与g(x)均单调递减的一个充要条件是a0,2.

a

故选：A

【典例2】（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）已知函数fxex1x22x，则使得fxf2x成

立的x的取值范围是.

2

【答案】0,

3

2

【详解】因为fxex1x22xex1x11，则fx1exx21，

令gxexx21，则fx的图象是由gx的图象向右平移1个单位得到，

2

又gxexx1exx21gx，即gxexx21为偶函数，

且当x0时gxexx21，所以gx在0,上单调递增，则gx在(,0)上单调递减，

所以fx在(1,)上单调递增，在(,1)上单调递减，且关于x1对称，

2

所以fxf2x时，有x12x1，解得0x.

3

2

故答案为：0,

3

m3x

【典例3】（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）已知定义域为R的函数f(x)是奇函

n3x

数.

(1)求m，n的值；

(2)若存在t0,4，使fk2t2f4t2t20成立，求k的取值范围．

【答案】(1)m1，n1；

(2)(1,).

【详解】（1）因为函数fx是定义在R上的奇函数，所以f00，

m1

即0，所以m1，又因为f(1)f(1)，

n1

1

m

m3

所以3将m1代入，解得n1，

1

nn3

3

经检验符合题意，所以，m1，n1.

x

13x1322

（2）由（1）知：函数f(x)1，

13x13x13x

所以函数fx在R上是减函数.

因为存在t0,4，使fk2t2f4t2t20成立，

又因为函数fx是定义在R上的奇函数，

所以不等式可转化为fk2t2f2t24t，

又因为函数fx在R上是减函数，所以k2t22t24t，

2

所以k4t24t，令gt4t4t，

题意可知：问题等价转化为，

kgtmin

1

又因为g(t)ming1，所以k1,

2

故k的取值范围为(1,).

bbc

【变式1】（2023春·河北沧州·高二统考期末）已知5alog2a，blog32log410，81517则（）

A．abcB．bca

C．cbaD．acb

【答案】A

【详解】∵函数fx5xlog2x单调递减，

f30，f40，

∴3a4；

∵blog32log410123，

1

blog32log410log32log49log32log23log322

log32

∴2b3；

由8b15b17c，

bb

815cb

得17，

1717

xx

815

∵函数y单调递减，

1717

bb22

cb815815

∴171，

17171717

∴cb0，cb，

所以abc

故选：A．

【变式2】（2023春·河北·高二校联考期末）已知fxaxax，且f3f1，则下列各式一定成立的

是（）

A．f3f2B．f0f3C．f1f3D．f0f1

【答案】A

【详解】根据题意，f(x)axax，其定义域为R，

有f(x)axaxf(x)，则f(x)为偶函数，

1

设tax，则有yt，

t

当a1时，在区间[0，)上，tax为增函数，且t1，

1

yt在[1，)上也是增函数，

t

故f(x)在[0，)上为增函数，

当0a1时，在区间[0，)上，tax为减函数，且0t1，

1

yt在(0,1)上是减函数，

t

故f(x)在[0，)上为增函数，

综合可得：函数f(x)在[0，)上为增函数，

依次分析选项：

对于A，有f3f2f(2)，A正确；

对于B，有f0f3，B错误；

对于C，有f3f3f1f(1)，C错误；

对于D，f0f1f(1)，D错误．

故选：A．

m

【变式3】（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数fx1为奇函数．

3x1

(1)求实数m的值；

1

(2)求不等式fx2x10的解集．

2

【答案】(1)2

(2)x0x1

【详解】（1）（1）因为fx为奇函数，定义域为R，

m

因为f00，即10，

2

所以m2，经检验，符合题意．

21

（2）因为f11，

3112

所以fx2x1f10，

所以fx2x1f1，

因为fx为奇函数，f1f1，

所以fx2x1f1，

由（1）知：因为y3x在R上递增，

2

所以fx1在R上是增函数，

3x1

所以x2x11，

解得0x1，

所以不等式的解集是x|0x1.

题型03指数型函数的奇偶性

x2ex

【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知fx为奇函数，则a（）

eax1

A．-2B．-1C．1D．2

【答案】D

2xa1x

xex2x2xxee

【详解】因为为奇函数，则xexe，

fxaxfx+fx+0

e1eax1eax1eax1

又因为x不恒为0，可得exea1x0，即exea1x，

则xa1x，即1a1，解得a2.

故选：D.

a2xa2

【典例2】（2023·全国·高一假期作业）设aR，f(x)(xR)，f(x)为奇函数，则a的值

2x1

为．

【答案】1

【详解】要使fx为奇函数，∵xR,∴需fxfx0，

222x1

∴fxa,fxaa，

2x12x12x1

22x122x1

由得a1．

axax0,2a0,

21212x1

故答案为：1.

ex

【变式1】（2023春·河南洛阳·高一统考期末）已知fx是偶函数，则a=（）

eax1

A．2B．1C．－1D．－2

【答案】A

【详解】根据偶函数的定义：

exex

fxfx即，

eax1eax1

得exeax1exeax1，

即ea1x+exe1axex，

可得a11，即a2，

故选：A

2

【变式2】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）若函数fxm为奇函数，则实数m.

2x1

【答案】1

2

【详解】因为函数fxm为奇函数，

2x1

所以fxfx0，xR恒成立，

22222x

即2mxxxx2，

21212121

解得m1，

故答案为：1

题型04对数（型）函数的定义域

【典例】（春海南海口高一海口一中校考期中）函数2的定义域为

12023··fxlog5xx2.

【答案】(-1,2)

【详解】由题意由x2x20，即(x2)(x1)0，解得1x2，

所以函数的定义域为(-1,2).

故答案为：(-1,2)

1x

【典例2】（2023·高一课时练习）已知f(x)log．

21x

(1)求f(x)的定义域；

(2)求使f(x)0的x的取值范围．

【答案】(1)(1,1)

(2)(0,1)

1x

【详解】（1）要使函数有意义，需满足0，

1x

即1x1x0，

解得1x1，

fx的定义域为{x|1x1}．

1x

（2）∵fxlog0,

21x

1x

∴1,

1x

2x

∴0,即x1x0,

1x

解得0x1．

∴x的取值范围为0,1.

x2

【变式1】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）函数f(x)x的定义域为（）

lnx

A．0,1B．1,C．0,D．0,11,

【答案】D

x2

【详解】因为f(x)x，

lnx

x0

所以，解得x0且x1，

lnx0

所以f(x)的定义域为0,11,.

故选：D.

2x

【变式2】（2023·上海松江·校考模拟预测）函数ylg()的定义域为.

x3

【答案】(3,2)

2x2x

【详解】函数ylg()中，0，即(x2)(x3)0，解得3x2，

x3x3

2x

所以函数ylg()的定义域为(3,2).

x3

故答案为：(3,2)

题型05对数（型）函数的值域（最值）

2

【典例1】（2023·全国·高一专题练习）函数fxlgx2xm的值域为R，则实数m的取值范围是（）

A．m1B．m1C．m£1D．mR

【答案】C

【详解】因为函数fxlgx22xm的值域为R，

所以，0,为函数yx22xm的值域的子集，所以，44m0，解得m£1.

故选：C.

【典例2】（2023·高一课时练习）函数fxlg4x2x111的最小值是（）．

A．10B．1C．11D．lg11

【答案】B

【详解】设t4x2x111，则ylgt，

22

因为t4x2x1112x22x112x11010，

所以ylgtlg101，所以fxlg4x2x111的最小值为1，

故选：B

2

【典例3】（2023春·安徽滁州·高一滁州市第二中学校联考期中）函数ylog1x6x11的值域为.

2

【答案】,1

2

【详解】因为x26x11x322，

2

所以ylog1x6x11log121.

22

所以函数的值域为：,1

故答案为：,1

x1

【典例4】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数fxlog．

2x1

(1)判断并证明函数fx的奇偶性；

(2)当x3,时，fxlog2x1m恒成立．求实数m的取值范围．

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2),1

x1x1

【详解】（1）由函数fxlog，得0，

2x1x1

即x1x10，解得x1或x1，

所以函数fx的定义域为,11,，关于原点对称．

x1

又fxlog，

2x1

x1x1

loglogfx，

2x12x1

所以fx是奇函数；

x1

（2）fxlogx1m恒成立，则loglogx1m，

22x12

即log2x1m在3,恒成立，

令gxlog2x1，

因为gx在3,上单调递增，

当x3时，g3log2311，

所以x3,时，gx1,，

则实数m的取值范围是,1．

4ax3a,x1

【变式1】（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考开学考试）已知函数fx

log3x,x1

的值域为R，则实数a的取值范围是（）

A．2,4B．2,4

C．,2D．2

【答案】B

【详解】x1时，ylog3x0，

又fx的值域为R，则x1时，fx4ax3a的值域包含,0，

4a0

，解得：2a4.

4a13a0

故选：B

1

【变式2】（2023·高一课时练习）已知函数fxlog2xx,a的最大值与最小值的差为2，则a（）

a

A．4B．3C．2D．2

【答案】C

1

【详解】由题意得f(x)在,a上为单调递增函数，

a

11

所以f(x)minflog2，f(x)maxfalog2a，

aa

122

所以log2alog2log2a2，解得a4，a2

a

又a0，所以a2.

故选：C

【变式3】（2023春·江苏南通·高二统考阶段练习）已知函数fxloga3xloga3xa0且a1.

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若f11，当x1,1时，求fx的值域.

【答案】(1)奇函数，理由见解析

(2)1,1

【详解】（1）fx为奇函数，理由如下：

3x0

由得：3x3，\f(x)的定义域为3,3；

3x0

\

fxloga3xloga3xfx，f(x)为定义在3,3上的奇函数.

1

（2）f1log2log4log2log1，a2，

aaaa2

3x63x6

fxlog23xlog23xlog2log2log21；

3x3x3x

6361

方法一：当x1,1时，3x2,4，,3，1,2，

3x23x2

6

log211,1，即fx的值域为1,1；

3x

6

方法二：令gx1，

3x

1

gx在1,1上单调递减，gxg1，gxg12，

min2max

1

gx,2，loggx1,1，即fx的值域为1,1.

22

【变式4】（2023秋·高一单元测试）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．

(1)求函数f(x)的定义域、值域；

(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．

【答案】(1)见解析；

1

(2)﹒

2

1x0

【详解】（1）由，得3x1，

x30

函数的定义域{x|3x1}，

f(x)loga(1x)(x3)，

设t(1x)(x3)4(x1)2，

t„4，又t0，

则0t„4．

当a1时，y„loga4，值域为{y|y„loga4}．

当0a1时，y…loga4，值域为{y|y…loga4}．

（2）由题设及(1)知：

当0a1时，函数有最小值，

loga42，

1

解得a．

2

题型06对数（型）函数的单调性

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)ln3x24x4，则f(x)的单调增区间为.

22

【答案】(,)

33

2

【详解】令3x24x4(3x2)(x2)0，即x2，

3

21622

由y3x24x43(x)2，则y在(,)上递增，在(,)上递减，

3333

222

综上，y在(,)上递增，在(,2)上递减，而ylnx在定义域上递增，

333

22

所以f(x)的单调增区间为(,).

33

22

故答案为：(,)

33

32

【典例2】（2023春·河南南阳·高二统考期末）若fxlog0.5x3xax6在区间1,2上单调递增，则

实数a的取值范围为（）

A．,0B．1,C．1,0D．1,0

【答案】C

32

【详解】令f(t)log0.5t,tx3xax6，则f(t)log0.5t在(0,)上单调递减，

由题意可得需满足t0，且tx33x2ax6在1,2上单调递减，

令g(x)x33x2ax6，则g(x)3x26xa0在1,2上恒成立，

即a3x26x在1,2上恒成立，而y3x26x在1,2上单调递减，

即3x26x322620，故a0；

经检验当a0时，g(x)3x26x0在1,2上恒成立，

tx33x2ax6在1,2上单调递减，符合题意；

由t0，则g(x)x33x2ax60在1,2上恒成立，

所以g28122a60，

故a1，

综合以上可得a1,0，

故选：C

【典例3】（2023春·福建福州·高二校联考期末）若函数fxlgx24x5在t,t1上单调，则实数t的

取值范围是（）

A．1,12,4B．1,12,4

C．,12,D．,25,

【答案】D

【详解】由题意可得，x24x50，解得x1或x5.

所以函数fx的定义域为,15,.

令mxx24x5，函数mx的对称轴为x2，且开口向上，

函数mx在5,上单调递增，在,1上单调递减，

由外层函数ylgm是其定义域内单调递增，

所以要使函数fxlgx24x5在t,t1上单调，

则t11或t5，

解得t2或t5，则实数t的取值范围是,25,.

故选：D．

【变式1】（2023春·江苏南京·高二统考期末）已知函数fxlog2xax在区间0,1上单调递增，则a

的取值范围是（）

A．,2B．2,0C．0,2D．2,

【答案】D

【详解】函数fxlog2xax可看作函数ylog2t，txax的复合函数，

又函数ylog2t在0,上单调递增，

而函数fxlog2xax在区间0,1上单调递增，

2

aa2

则有函数txaxx在区间0,1上单调递增，

24

且xax0在区间0,1恒成立，

a

因此1，解得a2，

2

所以a的取值范围是2,.

故选：D.

f(x)log(x6)log(ax)

【变式2】（2023春·河北承德·高二统考期末）已知函数21，且f(8)1．

2

(1)求f(x)的定义域；

(2)求不等式f(2x1)1的解集．

【答案】(1)(6,12)

913

(2),

22

f(8)log2log(a8)1log(a8)1

【详解】（1）212，

2

则log2(a8)2，解得a12，

则f(x)log2(x6)log2(12x)，

x60

则，解得6x12，

12x0

故f(x)的定义域为(6,12)．

x66

（2）由（1）知，f(x)log2(x6)log2(12x)log2log21．

12x12x

6

因为函数y1在(6,12)上单调递增，所以f(x)在(6,12)上单调递增．

12x

9