中考数学几何模型归纳训练专题06 三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型（原卷版）

专题06三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的

一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型(M

型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型1：猪蹄模型（M型）

【模型解读】

图1图2图3

如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.

如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.

如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.

例1．（2022·河南·统考二模）如图，ABCD，ABM30，CDM45，则BMD的度数为（）

A．105B．90C．75D．70

例2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物

线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中

ABO46，OCD88，则BOC的度数为（）

A．116B．124C．134D．135

例3．（2023春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示x，应为（）

A．B．C．180D．180

例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青

少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑

雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直

略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，当人脚与地面的夹角

CDE60时，求出此时上身AB与水平线的夹角BAF的度数为（）

A．60B．45C．50D．55

11

例5．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知AB∥CD，EAFEAB，ECFECD，若

33

E66，则F为（）

A．23°B．33°C．44°D．46°

例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断

口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问

题”．（1）如图（2）所示，已知AB//CD，请问ÐB，D，E有何关系并说明理由；

（2）如图（3）所示，已知AB//CD，请问ÐB，E，D又有何关系并说明理由；

（3）如图（4）所示，已知AB//CD，请问∠E∠G与∠B∠F∠D有何关系并说明理由．

模型2：铅笔头模型

图1图2图3

如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.

如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°

如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.

例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知AB∥EF，那么BACACECEF（）

A．180°B．270°C．360°D．540°

例2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平

行.若132，262，则3的度数为（）

A．118B．148C．150D．162

例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示

的数学图形．已知CD垂直地面上的直线DF于点D，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点C

缓慢向上抬高，AB段则一直保持水平状态上升（即AB始终平行于DF）．在该运动过程中，当ABC112

时，BCD的度数是（）

A．112B．138C．158D．128

例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．

例5．（2022春·河北保定·七年级校考期中）如图，已知A1B∥AnC，则A1A2A3，则

A1A2An等于（用含n的式子表示）．

模型3：牛角模型

图1图2

如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：180.

例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若ABCD，则（）

A．123B．132C．123180D．123180

例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若AB//CD，则∠1+∠3-∠2的度数为

例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平

分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．

例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的

一点，(1)问题提出：如图1，A120，C130．求APC的度数：

(2)问题迁移：如图2，写出APC，A，C之间的数量关系，并说明理由：

H

(3)问题应用：如图3，EAH:HAB1:3，ECH20，DCH60，求的值．

E

例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关

系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数

11F

量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则

nnE

=．

模型4：羊角模型

图1图2

如图1，已知：AB∥DE，结论：.

如图2，已知：AB∥DE，结论：180.

例1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数

为．

例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（）

A．20°B．25°C．30°D．40°

例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D

例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知AB∥DE，ABC150，CDE75，则BCD的度数为（）

A．55B．60C．45D．50

例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，A58，D122，132，225，点P是BC上

一点．（1）DFE的度数为；（2）若BFP50．则CE与PF（填“平行”或“不平行”）．

模型5：蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.

图1图2

如图1，已知：AB∥DE，结论：180.

如图2，已知：AB∥DE，结论：180.

例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，

如图，若ABC120，BCD80，则CDE等于（）

A．50°B．40°C．30°D．20°

例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若AB∥CD，65，25，则的度数是（）

A．115°B．130°C．140°D．150°

例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，AB∥EF，B100，CDE25，则BCD的度数是（）

A．125B．75C．95D．105

例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，ABCD，CD∥EF，CE平分BCD，若ABC58，则CEF

的度数为（）

A．131B．141C．151D．161

例5．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图BAC10，ACD125，CDEF于点D，将AB绕点A

逆时针旋转，使AB∥EF，则的最小值为．

课后专项训练

1．（2023·山东临沂·统考二模）如图，a∥b,145，则2的度数为（）

A．105B．125C．135D．145

2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知：AB∥EF，BE，求证：BC∥DE．在证明该结论

时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）

A．延长BC交FE的延长线于点GB．连接BEC．分别作BCD，CDE的平分线CG，DH

D．过点C作CG∥AB（点G在点C左侧），过点D作DH∥EF（点H在点D左侧）

3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若130，

250，则3的度数为（）．

A．130B．140C．150D．160

4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线AB、CD平行，则123456（）．

A．630B．720C．800D．900

5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若AB∥CD∥EF，115，260，那么BCE（）

A．120B．125C．130D．135

6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB∥CD，BF,DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与

∠ABE互补，则∠F的度数为

A．30°B．35°C．36°D．45°

7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中ABCD，124，3148，

则2的度数为（）

A．56B．66C．98D．104

11

8．（2023春·重庆江津·七年级校联考期中）如图，AB//CD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，设∠ABE

23

＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（）

A．4β﹣α+γ＝360°B．3β﹣α+γ＝360°C．4β﹣α﹣γ＝360°D．3β﹣2α﹣γ＝360°

9．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于__________．

10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图所示，AB∥DE，1130，236，则3度．

11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线AB∥DE，射线BF、DG分别平分ABC，EDC，两射线

反向延长线交于点H，请写出H，C之间的数量关系：________．

12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，AB//CD，E是CD上的点，过点E作EF//DP，若PEFPEH，

EG平分DEH，B152，PEG65，则BPD_______．

13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB∥DE，BCD30，CDE138，求ABC的度数．

14．（2023春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：

如图，B160，当A与D满足什么关系时，BC∥DE?

小明认为DA20时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作．

图．与填．空．：

解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M，使DAMD（只保留作图痕迹）．

∵DAMD，

∴①_____________

∵DDAB20

∴BAM②_________，

∵B160，

∴BBAM③__________，

∴④_____________

∴BC∥DE．

所以满足的关系为：当DA20时，BC∥DE．

15．（2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1）ABCD，猜想BPD与B、D的关系，

说出理由．

（2）观察图（2），已知ABCD，猜想图中的BPD与B、D的关系，并说明理由．

（3）观察图（3）和（4），已知ABCD，猜想图中的BPD与B、D的关系，不需要说明理由．

16．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果AB∥CD，求证：APCAC．

（2）如图②，AB∥CD，根据上面的推理方法，直接写出APQC___________．

（3）如图③，AB∥CD，若ABPx，BPQy，PQCz，QCDm，则m___________（用x、

y、z表示）．

17．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．

(1)如图1，若BAE30，DCE20，则AEC；

如图1，若BAE，DCE，则AEC；

(2)如图2，试说明，BAEAECECD360；(3)如图3，若BAE的平分线与DCE的平分线相交

于点F，判断AEC与AFC的数量关系，并说明理由．

18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别

在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB

＝∠2，∠PBF＝∠3．

（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）

（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．

②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．

19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中，ABCD．

（1）分．别．说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．

（2）请你从中任．选．一．个．加以说明理由．

解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗

反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．

20．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE

(1)求证：BCA180：

(2)如图②，AQ、BQ分别为DAC、EBC的平分线所在直线，试探究C与AQB的数量关系；

(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QPPB，直接写出

DAC：ACB：CBE=．

21．（2023春·广东·七年级专题练习）（1）如图1，ABCD，ABE=45，CDE21，直接写出BED

的度数．（2）如图2，ABCD，点E为直