中考数学几何模型归纳训练专题10 三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578模型（解析版）

专题10.三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578模型

模型1、垂美四边形模型

规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形

图1图2图3

条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；

结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。

【变形1】

条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP；结论：DP2+BP2=AP2+PC2

【变形2】

2222

条件：如图3，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP；结论：AP+PC=DP+BP

用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。

例1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”

四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则AB2CD2____________．

【答案】34

【分析】在RtCOB和RtAOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得

BO2+CO2+OD2+△OA2=9+25，△再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．

【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，

在RtCOB和RtAOB中，根据勾股定理得，

△△

BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，

∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案为：34．

【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一

数学模型是解题关键．

例2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，若AD2，

AB4，BC5则CD的长为（）

A．2.5B．3C．4D．13

【答案】D

【分析】在RtAOD中，AD2OA2OD2，在RtBOC中，BC2OB2OC2，再根据CD2OD2OC2即

可得出答案．

【详解】解：在RtAOD中，AD2OA2OD2，在RtBOC中，BC2OB2OC2，

∴CD2OD2OC2AD2OA22BC2OB2AD22BC2OB2OA24251613，

∴CD=13，故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理，正确利用勾股定理是解题的关键．

例3．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC、BD是方程

x216x600的两个解，则四边形ABCD的面积是（）

A．60B．30C．16D．32

【答案】B

【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理

快速求解即可．

1

【详解】由题意可知：四边形ABCD的面积SACBD

2

∵AC、BD是方程x216x600的两个解，

601

∴ACBDxx60，四边形ABCD的面积S6030，故答案为：B．

1212

【点睛】本题主要考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线

的成绩计算面积是解题关键．

例4．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以

下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．

应用新知：如图3，在ABC中，CA＝4，CB＝6，D是ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小

值为_____．△△

【答案】43﹣2

【分析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，根据题意可得CD2CE2=CA2CB2，即可求出CE

的长度，当C、D、E三点共线时，AB的值最小，且为CE与CD长度之差，故AB最小值可求．

【详解】解：以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示：

则AB＝DE，由题意得：CD2CE2=CA2CB2，即22CE2=4262，解得：CE＝43，

当C、D、E三点共线时，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE-CD＝43-2，故答案为：43-2．

【点睛】本题主要考查了以几何为背景的推理与论证、两点之间线段最短，解题的关键在于通过题目中已

给的新知推断CD、CE、CA、CB之间的长度关系，并应用两点之间线段最短的定理，求出对应的最值．

例5．（2022·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角

线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________．

(2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，请你直接写出一个以格点为顶点，OA，

OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为________；

(3)如图（2），将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到DBE，连接AD，DC，DCB30．求证：

DC2BC2AC2，即四边形ABCD是勾股四边形；

(4)若将图（2）中ABC绕顶点B按顺时针方向旋转a度(0a90)，得到DBE，连接AD，DC，则

DCB________°，四边形BECD是勾股四边形．

1

【答案】(1)矩形；正方形(2)（3，4）或（4，3）(3)见解析(4)

2

【分析】（1）根据勾股四边形的定义，可知矩形和正方形都是勾股四边形；

（2）如图（1）中，以OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为（3，4）

或（4，3）；（3）如图（2），连接CE，只要证明DCE是直角三角形即可解决问题；

1

（4）如图（3），当DCB°，四边形ABCD△是勾股四边形．连接CE，只要证明DCE是直角三角形

2

即可解决问题．△

【详解】（1）解：∵矩形和正方形的四个角都是直角，

∴相邻两边的平方和等于对角线的平方，∴矩形、正方形都是勾股四边形；故答案为矩形、正方形；

（2）解：如图（1）所示，

∴M的坐标为：（3，4）或（4，3）；故答案为（3，4）或（4，3）；

（3）证明：如图（2），连接CE，由旋转得：ABC≌DBE，∴ACDE，BCBE，

∵CBE60，∴△CBE是等边三角形，∴BCBE，BCE60，

∵DCB30，∴DCEDCBBCE306090，

∴DC2EC2DE2，∴DC2BC2AC2，∴四边形ABCD是勾股四边形；

1

（4）解：如图（3），DCB°，四边形BECD是勾股四边形．

2

理由如下：连接CE，由旋转得：ABC≌DBE，∴ACDE，BCBE，

1

∵CBE，∴BCEBEC90，

2

11

∴DCEDCBBCE9090，

22

1

∴DC2EC2DE2，∴DC2BC2AC2，∴四边形ABCD是勾股四边形；故答案为．

2

【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

例6．（2022秋·江西抚州·九年级校考阶段练习）

(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形

②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）

(2)【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说

明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之

间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC

和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC8，AB10，求GE．

【答案】(1)③④(2)四边形ABCD是垂美四边形；理由见解析

(3)AD2BC2AB2CD2；理由见解析(4)273

【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可；

（2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可；

（3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案；

（4）证明GAB≌△CAE，进而得出CE⊥BG，根据（3）的结论计算即可．

（1）解：∵△在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，

④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，故答案为：③④；

（2）解：四边形ABCD是垂美四边形，

理由如下：如图2，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（3）解：AD2BC2AB2CD2，

证明如下：如图①，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得，AD2BC2AO2DO2BO2CO2，

AB2CD2AO2BO2CO2DO2，∴AD2BC2AB2CD2；

（4）解：如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

AG=AC

在GAB和CAE中，GAB=GAE，

AB=AE

△△

∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，

∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，∴CG2BE2CB2GE2，

∵AB＝10，AC＝8，∴BC2=AB2AC2=36，CG2AC2AG2128，BE2AB2AE2200，

∴GE2=128+20036=292，则GE＝273．

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾

股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．

模型2、378和578模型

当我们遇到两个三角形的三边长分别为3，7，8和5，7，8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是

因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的

等边三角形。

条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；

结论：①这两个三角形的面积分别为6、10；②3、8与5、8夹角都是60。

例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）3边长为35，7，8的三角形的最大角和最°小角的和是（）．

A．90°B．150°C．135°D．120°

【答案】D

【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，

过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建

立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．

【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8，

∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，

又由三角形中大边对大角，可知边长为7的边所对的角为60°，

所以最大角和最小角的和是120°.故选D.

法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图设BD=x，则CD=8-x

在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD2AB2BD225x2；在Rt△ADC中，由勾股定理得：

55

AD2AC2CD249(8x)2则得方程：25x249(8x)2解得：x即BD

22

1

∵BDAB，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜

2

∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角与最小角的和为120゜故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾

股定理的使用创造了条件．

例2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（）．

A．45°B．37°C．60°D．90°

【答案】C

【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作ADBC交BC延长线于点

D，设CD=x，则BC=3+x，在RtACD和RtABD中，利用勾股定理求出AD2，可求出CD的长，从而得

到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解．

【详解】法1：∵△ABC的边长为3，7，8，

∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，

如图，观察图形可知∠B为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°.故选C.

法2：如图，过点A作ADBC交BC延长线于点D，

∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可设CD=x，则BC=3+x，

22222

在RtACD中，AD2AC2CD272x2，在RtABD中，ADABBD8x3，

2

∴72x282x3，解得：x1，∴BC=3+x=4，

1

∴在RtABD中，BDAB，∴BAD30，∴B90BAD60．故选C．

2

【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的

一半，则这条直角边所对的锐角等于30是解题的关键．

例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于

点D并求出CD的长度．

解：如图所示，作AD⊥BC于点D，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，

则在直角三角形ABD和直角三角形ADC中，由勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2+CD2，

即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2，解得：x＝1．故CD长度为1．

另解：可以和三边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。

例4．（2023·成都市·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（）

A．243B．563C．48D．112

【答案】A

【分析】如图，过C作CDAB于D，设BDx，则AD16x，根据Rt△BCD,Rt△ACD中CDCD，利

用勾股定理建立方程，求得BD，继而用勾股定理求得CD，从而求得面积．

【详解】法1：∵该三角形的三边长的比为3∶7∶8，

∴其可以和三边长的比为5∶7∶8的三角形（边长为10，14，16）拼成一个边长为16的等边三角形，

∴拼成的等边三角形的高为8，∴△ABC的面积为×6×8=24.

1

2

法2：如图，过C作CDAB于3D，设BDx，则AD16x3，3

在Rt△BCD,Rt△ACD中CD2BC2BD2,CD2AC2AD2

BC2BD2AC2AD262x2142(16x)2解得x3

222211

CDBCBD6333S△ABCABCD1633243故选A

22

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．

例5．（2023·广西柳州·校考一模）已知△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边分别为5，2x，3x﹣5，

若两个三角形全等，则x=__．

【答案】4

【详解】∵两个三角形全等，

2x73x57

∴或，解得：无解或x=4.故答案为4.

3x582x8

另解：可以和三边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。

例6．（2023·重庆·八年级专题练习）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则△ABC的面积为．

解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，则∠ADC＝90°．

∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．

∵∠BAD＝30°∴＝，AC＝7，∴AD＝x．

222

∴（x）+（8﹣x）＝7．解得x1＝，x2＝．

∴当x1＝时，△ABC的面积为S＝BC•AD＝×8××＝6；

当x2＝时，△ABC的面积为S＝BC•AD＝×8××＝10．故答案为6或10．

课后专项训练

1．（2023春·成都市八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”

四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE．若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于()

A．7B．9C．16D．25

【答案】C

【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得ACBD，在RtAOE与Rt△COE中，利用勾股定理可

得AE2CE2AO2CO2，在RtAOB与RtCOB中，继续利用勾股定理可得AO2CO2AB2BC2，求

解即可得．

【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，

对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，ACBD，

∵在RtAOE中，AE2AO2OE2，在Rt△COE中∴，CE2CO2OE2，

AE2CE2AO2CO2，

∴在RtAOB中，AO2AB2OB2，在RtCOB中，CO2BC2OB2，

AO2CO2AB2BC2523216，AE2CE216，故选：C．

∴【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，∴理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．

2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形ABCD内任意一点，连接AE,BE,CE,DE，则下列结论正

确的是（）

A．AEDEBECEB．AECEBEDEC．AE2CE2BE2DE2D．AE2DE2BE2CE2

【答案】C

【分析】过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M，由题意可证四边形ABFM，四边形DCFM是矩形，可得

AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根据勾股定理可得：AE2CE2BE2DE2．

【详解】如图：过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°

又∵EF⊥BC∴四边形ABFM，四边形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD

∵AE2AM2ME2，DE2MD2ME2，BE2EF2BF2，CE2EF2CF2

∴AE2CE2BE2DE2故：选C．

【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键．

3．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，ACBD16，则

四边形ABCD的面积最大值是（）

A．16B．32C．36D．64

【答案】B

【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．

【详解】解：设ACx，四边形ABCD面积为S，则BD16x，

111

则：SACBDx(16x)-(x-8)2+32当x8时，S最大为：32﹔故选：B．

222

【点睛】本题主要考查配方求最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键．

3．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（）．

A．45°B．37°C．60°D．90°

【答案】C

【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则

1

BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°．

2

【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8，

∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，

如图，观察图形可知∠C为等边三角形的一个内角，所以∠C=60°.故选C.

法2：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：

设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，

∴AB2−BD2＝AC2−CD2，即：72−（5−x）2＝82−x2，解得：x＝4，∴CD＝4，

1

∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°−30°＝60°，故选：C．

2

【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定

理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．

4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（）

A．20B．102C．103D．28

【答案】C

【分析】过A作AD⊥BC于D，根据勾股定理列方程得到BD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】如图，

∵AB=5，AC=7，BC=8，过A作AD⊥BC于D，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，∴52-BD2=72-（8-BD）2，

553

解得：BD=，∴AD=AB2BD2=，∴△ABC的面积=103，故选C．

22

另解：可以和三边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。

【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

6．（2023·江苏南通·九年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂．美．四．边．形．．已知垂．美．四．边．形．ABCD

的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝时，四边形ABCD的面积最大．

【答案】6

【分析】根据垂美四边形的性质列出函数解析式，进行求解即可．

1

【详解】解：设，则∵四边形的对角线互相垂直，∴g，

ACxABCDSABCDACBD

BD12x2

111

则：SACBDx(12x)-(x-6)2+18．∴AC=6时，面积有最大值；故答案是6．

222

【点睛】本题主要考查了配方求最大值，准确分析计算是解题的关键．

7．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直于点O，

CDBD5，BC2，BACBDC，那么AB．

51

【答案】/5

22

1

【分析】过点D作DEBC于E，由等腰三角形“三线合一”的性质可知CEBC1，在Rt△CDE中，由

2

45

勾股定理可得DECD2CE22，然后借助△BCD的面积求出OC，再在Rt△OBC中，由勾股定

5

25

理可得OBBC2OC2；证明△AOB∽△DOC，由相似三角形的性质计算AB的长即可．

5

【详解】解：如下图，过点D作DEBC于E，

∵CDBD，DEBC，

1

∴CEBEBC1，

2

∴在Rt△CDE中，DECD2CE2(5)2122，

又∵ACBD，

11

∴SBCDEBDOC，

BCD22

∴BCDEBDOC，

BCDE2245

∴OC，

BD55

4525

∴在Rt△OBC中，OBBC2OC222()2，

55

∵BACBDC，

又∵AOBDOC90，

∴△AOB∽△DOC，

25

OBABAB

∴，即5，

OCDC455

5

5

解得AB．

2

故答案为：5．

2

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积等知识，

熟练运用勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．

8．（2023·山东·校考三模）如果，在Rt△ACB中，BC2，BAC30，斜边AB的两个端点分别在相互

垂真的射线OM，ON上滑动，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA23②C，O两点距离

的最大值为4：③四边形AOBC的面积为23+4；④斜边AB的中点D运动路径的长度是．其中正确结

2

论的序号是_______________

【答案】①②##②①

【分析】①先根据含30角的直角三角形性质分别求出AB和AC，由轴对称的性质可知：AB是OC的垂直

平分线，所以OAAC23；②根据OCOECE4，当OC经过AB的中点E时，OC最大，推出C、

O两点距离的最大值为4；③如图2，根据四边形AOBC的面积等于ABC面积与ABO面积的和，其中

1

ABC的面积为23，ABO的面积为OAOB，且OA、OB的取值都是大于等于0小于等于4，由勾股

2

2

定理得到2，推出2，推出，得到，得到

OB16OAOAOBOA8640OAOB80SABO4

23SAOBC234；④如图3，半径为2，圆心角为90的扇形的圆弧是点D的运动路径，根据弧长公

式计算得到π．

【详解】解：在Rt△ACB，BC2，BAC30，

∴AB4，AC23，

若C、O两点关于AB对称，如图1，

则AB是OC的垂直平分线，

∴OAAC23，

∴①正确；

②如图1，取AB的中点E，连接OE、CE，

∵AOBACB90，

1

∴OECEAB2，

2

∵OCOECE4，

∴当OC经过点E时，OC最大，C、O两点间的距离最大值为4；

∴②正确；

11

③如图2，SSS，其中SACBC23，SOAOB，

AOBCABCABOABC2ABO2

且0OA4，0OB4，

∵OA2OB2AB216，

∴OB16OA2，

2

∴OAOBOA16OA2OA416OA2OA2864，

∴0OAOB8，

∴0SABO4，

∴23SAOBC234；

∴③不正确；

1

④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以点O为圆心，以2为半径的圆周的，

4

90π2

其弧长为：=π．

180

∴④不正确．

综上所述，本题正确的有：①②．

故答案为：①②．

【点睛】本题主要考查含30角的直角三角形，轴对称，三角形面积，二次函数，圆弧等，解决问题的关键

是熟练掌握含30角的直角三角形的边角性质，轴对称性质，三角形面积公式，二次函数性质，圆弧长公式．

9．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四

边形”ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC22．若点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA

的中点，且四边形EFGH是“对垂四边形”，则四边形EFGH的面积是．

【答案】2

1

【分析】连接EG，FH，交于点M，根据三角形中位线定理得到EF∥AC，GH∥AC，EFGHAC2，

2

可得四边形EFGH是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从而逐步证明四边形EFGH是

正方形，最后计算面积即可．

【详解】解：连接EG，FH，交于点M，

∵在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

1

∴EF∥AC，GH∥AC，EFGHAC2，

2

∴EF∥GH，同理：FG∥EH，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵四边形ABCD是“对垂四边形”，

∴ACBD，

∴EFEH，

∴四边形EFGH是矩形，

∵四边形EFGH是“对垂四边形”，

∴EGFH，

∴四边形EFGH是正方形，

∴四边形EFGH的面积为EF22．

【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，

解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．

10、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是．

解：∵边长为3，7，8的三角形，可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，

如图，∴拼成的等边三角形的高为4，∴这两个三角形的面积之和为×8×4=16.

1

3233

11．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝

2，则AE的长等于．

解：过A作AD⊥BC，交BC于D，

△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4，

则CD＝1，ED＝1．∴AE＝＝＝7．故答案为：7．

12．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂

美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD5，BC12，则AB2CD2．

【答案】169

【分析】根据“垂美”四边形，得到AC⊥BD，由勾股定理得OA2OD2OB2OC2AD2BC252122169，

由此求出答案．

【详解】解：∵四边形ABCD是“垂美”四边形，∴AC⊥BD，

∴AODAOBBOCCOD90，∴AB2CD2OA2OB2OC2OD2

∵OA2OD2OB2OC2AD2BC252122169，∴AB2CD2169，故答案为：169．

【点睛】此题考查勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义构建勾股定理的等式是解题的关键．

13．（2022春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”

四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．

（1）若AB5，OA3，OC4，则BC；

（2）若AD2，BC5，则AB2CD2；

（3）若ABm，BCn，CDc，ADd，则m，n，c，d之间的数量关系是．

【答案】427m2c2n2d2

【分析】（1）根据题意和勾股定理即可求出．

（2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到AB2CD2的值．

（3）由（2）得求解过程可以得到AB2CD2BC2AD2，进行替换即可．

【详解】（1）AC^BD，BOCCODDOAAOB90，

OBAB2OA252324，CBOB2OC2424242．故答案为42．

（2）由（1）得：OB2OC2BC2，OA2OD2AD2，OB2OA2AB2，OC2OD2CD2，

AB2CD2OB2OA2OC2OD2BC2AD2，

22

AD2，BC5，AB2CD2257．故答案为7．

（3）由（2）得：AB2CD2BC2AD2，m2c2n2d2．故答案为m2c2n2d2．

【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键．

14．（2023·山西太原·八年级校考阶段练习）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形

ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）；

(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．

①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．

②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明．

(3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结CE、

BG、GE，则GE＝____．

【答案】(1)是(2)①79，79；②AB2CD2＝AD2BC2，理由见解析(3)73

【分析】（1）连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即

可；（3）证△GAB≌△CAE（SAS），得∠ABG＝∠AEC，再证四边形CGEB是垂直四边形，然后由垂直四边

形的性质，勾股定理，结合（2）的结论计算即可．

（1）解：结论：四边形ABCD是垂美四边形．

理由：如图，连接AC和BD，

∵AD＝AB，∴A在BD的垂直平分线上，∵CD＝CB，∴C在BD的垂直平分线上，

∴AC垂直平分BD，∴四边形ABCD为垂美四边形；故答案为：是；

（2）①解：∵AC⊥BD，∴AB2CD2＝OA2OB2OC2OD2＝1+25+49+4＝79，

AD2BC2＝OA2OB2OC2OD2＝1+25+49+4＝79，故答案为：79，79；

②结论：AB2CD2＝AD2BC2．

理由：∵ACBD，∴AB2CD2＝OA2OB2OC2OD2，

AD2BC2＝OA2OB2OC2OD2，∴AB2CD2＝AD2BC2；

（3）如图，设AC与BG的交点为N，AB与CE的交点为M，

∵CAG＝BAE＝90，AG＝AC，AB＝AE，∴CAGBAC＝BAEBAC，

即GAB＝CAE，∴GAB≌CAE（SAS），∴ABG＝AEC，

∵BAE＝90，∴AECAME＝90，

∵AME＝BMN，∴ABGBMN＝90，∴BNM＝90，

∴CEBG，∴四边形CGEB是垂美四边形，

∵ACB＝90，∴BCAB2AC252423，

由（2）得，CG2BE2＝CB2GE2，∴AC2AG2AB2AE2＝CB2GE2，

∴16162525＝9GE2，∴GE＝73，故答案为：73．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的

定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．

15．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)尺规作图：以已知线段EG为对角线作一个垂美四边形EFGH，使其对角线交于点O；（不写作法，保留

作图痕迹）

(2)已知四边形ABCD是垂美四边形，且AC36,BD42，则它的面积为________；

(3)如图，四边形ABCD是垂美四边形，ABc,BCd,CDa,DAb，探究a、b、c、d的数量关系；

(4)如图，已知D、E分别是ABC中边BC、AC的中点，ADBE,AC3,BC4，请运用上题的结论，求

AB的长．

【答案】(1)见解析(2)123(3)a2c2b2d2(4)AB5

【分析】（1）分别以点E、点G为圆心画弧，交于EG上方于点F，交EG下方于点G，连接EF、EH、GF、

GH，四边形EFGH即为所求；（2）将四边形ABCD分为上下两个三角形，分别求出两个三角形的面积再相

加即可；（3）将四边形ABCD分为四个小的直角三角形，再根据勾股定理分别用OA、OB、OC、OD表示

出a2、b2、c2、d2即可知道a、b、c、d之间的数量关系；

（4）连接DE，根据题意可得四边形AEDB是垂美四边形，结合（3）的结论即可求出AB长度．

【详解】（1）解：如图1：

（2）解：如图2，

11

Rt△ACD中，SACDE，Rt△ABC中，SACBE，

ACD2ABC2

1111

SSSACDEACBEACBD3642123．

四边形ABCDACDACB2222

（3）∵ACBD，∴RtABO中，c2OA2OB2；

RtCDO中，a2OC2OD2，Rt△BCO中，d2OB2OC2，

RtADO中，b2OA2OD2，∴a2c2OA2OB2OC2OD2，

b2d2OA2OB2OC2OD2；∴a2c2b2d2；

（4）解：连接DE，如图3，

1131

∵D、E分别是ABC中边BC、AC的中点，∴BDBC2,AEAC,DEAB；

2222

∵ADBE，∴四边形ABDE是垂美四边形；∴AB2DE2BD2AE2；

22

2123

即ABAB2，得AB5．

22

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练地掌握勾股定理，读懂题目的新定义，巧妙地运用等量代

换得出结论是解题的关键．

16．（2023春·浙江·八年级专题练习）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．

(1)如图1，已知四边形ABCD是垂美四边形．①若AC36,BD42，则它的面积为_____________；

②若ABc,BCd,CDa,DAb，探究a、b、c、d的数量关系．(2)如图2，已知D、E分别是ABC中边

BC、AC的中点，ADBE，AC6,BC8，请运用②中的结论，直接写出AB的长为___________________．

【答案】(1)①123；②c2a2b2d2(2)25

【分析】（1）①由面积和差关系可求解；②由勾股定理列出方程组，可求解；

1

（2）由三角形的中位线定理可得BDDC4，AEEC3，DEAB，由②的结论，列出方程可求解．

2

【详解】（1）解：①如图1，四边形ABCD是垂美四边形，ACBD，

1111

S四边形ABCDSABDSBCD，S四边形BDAOBDCOACBD3642123；

ABCD2222

②如图1，四边形ABCD是垂美四边形，ACBD，

在Rt△AOB中，AO2BO2AB2，在RtAOD中，AO2DO2AD2，

在Rt△COB中，CO2BO2CB2，在RtCOD中，CO2DO2CD2，

AO2BO2CO2DO2CD2AB2，AO2DO2CO2BO2CB2AD2，

CD2AB2CB2AD2，即：c2a2b2d2；

（2）解：如图，连接DE，

D、E分别是ABC中边BC、AC的中