山东省济南市济南振声学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析）

第页，共页2024-2025学年第二学期高一年级第一次测试数学学科试题2025.3说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共两卷，第Ⅰ卷为选择题，满分58分，第Ⅱ卷为非选择题，满分92分．时间共120分钟．请用2B铅笔和0.5mm黑色签字笔在答题卡指定区域作答，否则不得分．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法的运算得到答案.详解】，故选：A.2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求解.详解】解：由正弦定理，得，故选：B3.如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法求面积即可.【详解】因为为等腰直角三角形，所以，，根据斜二测画法可得，所以.故选：B.4.设是两个不共线的向量，若则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【答案】A【解析】【详解】因为+==2，故三点共线.故答案为A.5.达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数定义得、、三者之间关系，另有弧长公式，两式相除即可.【详解】设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得故选：.【点睛】本题主要考查扇形弧长公式.6.已知复数满足，则最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解即得.【详解】是复平面内复数对应点轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆，是上述圆上的点到复数对应点的距离，而，所以的最小值是.故选：A7.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据锥体体积公式即可求解.【详解】由祖暅原理可知：三个几何体体积相等，则，解得，由，解得，所以.故选：D【点睛】本题考查了锥体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.8.已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由意在可知，代入数量积的运算公式求，再根据正弦定理说明时，也取得最大值，最后求面积.【详解】，，，，且，当时，时，也取得最大值,此时，，.故选：A【点睛】本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能力，本题的关键是根据正弦定理，且，说明时，也取得最大值，后面的问题迎刃而解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量、满足，，，则下列正确的是（）A. B.C.向量与的夹角为 D.向量与的夹角为【答案】AD【解析】【分析】根据向量的模长公式和夹角公式计算即可判断.【详解】对于AB，因为，，，所以，故A正确，B错误；对于CD，，所以，又，所以，故C错误，D正确.故选：AD.10.定义：两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（）A.若，则B.C.若四边形为平行四边形，则它的面积等于D.若，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】A选项，得到或或同向或反向，A正确；B选项，时满足要求，时，两者不等；C选项，利用平行四边形面积公式得到C正确；D选项，根据叉乘和向量数量积公式化简得到，再平方后，利用基本不等式进行求解，得到答案.【详解】A选项，，所以或或，所以或或同向或反向，故，A正确；B选项，，，若，则，故，若，则，此时，B错误；C选项，若四边形为平行四边形，则它的面积等于，而，C正确；D选项，由题意得，，两式平方相加可得，即，又，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D正确.故选：ACD11.如图所示的几何体是一个棱长为的正八面体，则（）A.与是异面直线B.该正八面体的表面积是C.该正八面体的体积是D.平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为【答案】ABD【解析】【分析】由异面直线的性质判断A正确；由正八面体由八个全等的正三角形组成，再求面积之和可得B正确；由正八面体的体积等于计算可得C错误；由球的截面性质求出截面圆的半径，再求出面积可得D正确.【详解】A：由正八面体的性质可得，，所以与不平行，又由图可得，与不相交，所以与是异面直线，故A正确；B：因为正八面体由八个全等的正三角形组成，且棱长为2，由三角形面积公式可得八面体的表面积为，故B正确；C：连接，交点设为，再连接，如图：因为四边形为正方形，所以对角线的一半长，又由勾股定理可得，所以八面体的体积为，故C错误；D：取的中点，连接，在中，，因为，所以正八面体外接球的球心为，半径为，作于，则平面，由等面积可得，平面截该正八面体的外接球的截面是圆，与平面所截面积相等，其半径，所以截面圆的面积为，故D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：在求组合体的体积或面积时可采用拼接的方法.第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数，则实数m的值是_______．【答案】或【解析】【分析】先由复数的除法运算求出复数，求复数的模即可求解.【详解】由，所以，解得或.故答案为：或.13.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________.【答案】【解析】【分析】把石瓢壶的壶体近似看成一个圆台，可根据条件求出母线长，利用圆台侧面积公式计算即可.【详解】根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面，上底面半径为下底面半径高则该圆台的母线长为故圆台的侧面积故答案为：.14.平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为__________．【答案】##【解析】【分析】根据给定的不等式，结合数量积的运算律求出，再利用数量积的运算律结合二次函数性质求出最小值.【详解】由，得，整理得，依题意，，不等式恒成立，则，因此，于是，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，其中．（1）设，若是纯虚数，求实数m的值；（2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）计算出，根据纯虚数得到方程和不等式，求出；（2）求出和，利用向量夹角余弦公式求出余弦值，进而得到投影向量【小问1详解】，因为是纯虚数，所以且，解得；【小问2详解】当时，，故，，故．设，则；所以在上的数量投影向量为．16.已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案；（2）由余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式可得出答案.【小问1详解】因为，，且，则.，由正弦定理得，因为，所以，可得，即.且，所以.【小问2详解】在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，或（舍），所以的面积.17.如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．（1）证明：∥平面；（2）在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；N为的中点，证明见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明后证得线面平行；（2）N为的中点时，平面平面．由线面平行的判定定理证明与平面平行后可得证面面平行．【小问1详解】证明：取的中点，连接，，在中，因为E、M分别为、的中点所以且．又为的中点，，所以且，即且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．【小问2详解】当N为的中点时，平面平面．证明：连接，．因为N，F分别是和的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，，所以．因为平面，平面，所以平面．又因为平面，平面，，所以平面平面．18.重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.（1）将用含有的关系式表示出来；（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？【答案】（1），（2）答案见解析【解析】【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出，（2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值.【小问1详解】因为，，所以，.【小问2详解】因为，所以，在中，由余弦定理易得，因为，所以，当，即时，取最大值取最大值，此时，，故当时，取最大值.【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，第（2）问解题的关键是根据已知条件在中利用余弦定理表示出，再利用三角函数恒等变换公式化简即可，考查数学计算能力，属于较难题.19.如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中①若，求；②若，且与的夹角为，求；（2）如上图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在轴，轴正半轴上，分别为BD，BC中点，求最大值.【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①由题意，，将其两边平方，再开方即可得到；②由，由表示出和，再由已知用表示出，因为与的夹角为，然后由，即可得到；（2）由题意，设出坐标，表示出，由，将表示成，在中依据余弦定理可得，代入得，