上海市顾村中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

第页，共页上海市顾村中学2024学年第二学期期中考试高一年级数学学科一、填空题（每题3分，共30分）1.若角的终边在直线上，则的值为______.【答案】【解析】【分析】在直线方程任取一点，利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角的终边在直线上，取直线上任一点，当时，，则；当时，，则；综上，的值为.故答案为：.2.扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于________.【答案】【解析】【分析】根据扇形面积与半径及圆心角的大小关系列方程求解即可.【详解】扇形的半径，它的圆心角为，所以扇形面积，所以故它的圆心角等弧度，故答案为：3.且角与终边相同，则角α等于_______度.【答案】【解析】【分析】任意角表示出，结合其所在的范围确定其大小即可.【详解】由题设且，又，所以时，.故答案为：4.已知，则________.【答案】##【解析】【分析】根据三角诱导公式，得到，再由，即可得到答案.【详解】由，又由.故答案为：.5.已知，则________.【答案】##【解析】【分析】根据三角函数的基本关系式，化简得到，代入计算，即可求解.【详解】因为，则.故答案为：.6.已知，，则_______.【答案】或【解析】【分析】根据给定条件，结合特殊角的三角函数值求出角.【详解】由，，所以或.故答案为：或7.在中，，则的形状是_____．【答案】等腰三角形【解析】【分析】由诱导公式及正弦定理化简后，由正弦函数的性质可得解.【详解】由诱导公式可得，由正弦定理可得，所以，由，可得，即，因为,所以或（舍去），故三角形为等腰三角形.故答案为：等腰三角形8.已知函数为偶函数，则________.【答案】【解析】【分析】根据题意，转化为，得到，进而求得的值，得到答案.【详解】因为函数为偶函数，可得，即，解得故答案为：.9.已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得.【详解】令，则，当时，，由题意可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.10.已知函数在上的最大值为2，则实数a的值为________.【答案】【解析】【分析】首先排除的情况，再考虑端点处函数值，最后利用辅助角公式得，根据最大值求得，再验证是否满足题设，即可得结果.【详解】由，显然时最大值不为2，当时,;当时,当时,此时最大值为，舍去；所以函数最大值不可能在端点处取得；当，由且，，此时，此时，要使函数最大值为2，则，故，当时，，，此时有最大值2；当时，，，此时最大值不为2；综上，.故答案为：二、选择题（每题4分，共16分）11.“”是“”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【答案】A【解析】【分析】由充分条件与必要条件定义判断即可.【详解】当时，，故充分性成立；当时，，故必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A12.若函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知结合诱导公式可得出关于的等式，即可得出结果.【详解】函数的图象向右平移个单位后得到，所以，，解得，又，令，得，所以的最小值为.故选：B.13.，是一元二次方程两根，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由,是方程的两个根，利用根与系数的关系分别求出及的值，然后将利用两角和与差的正切函数公式化简后，将及的值代入即可求出值,进而求得的值．【详解】∵,是方程的两个根，∴，,则，又∵，∴，∴，，故选：C.【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，考查了特殊角的三角函数和整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．14.在中，若，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知条件可以得到然后分与两种情况，若可直接判断，若，则得到，结合正弦定理边化角即可判断.【详解】由已知，得或，即或，由正弦定理得，即，即，∵，均为的内角，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形.故选：D.【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．三、解答题（共54分）15.已知角的终边经过点，且.（1）求值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用三角函数的定义直接求解即可；（2）结合诱导公式以及弦化切的方法即可直接求解.【小问1详解】角的终边经过点，且，，解得，.小问2详解】由（1）知，，则.16.在中，角所对的边分别为，已知，.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理，得到，即可求解；（2）由（1）知，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】解：在中，因为，且，由正弦定理得，所以.【小问2详解】解：由，可得，所以，且，又由（1）知，所以，因为，则，所以的面积为.17.若图象最高点都在直线上.（1）求的值；（2）在中，分别是的对边，若点是函数图像的一个对称中心，且，求外接圆的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简函数，求得，即可得到的值.（2）由点是图像的一个对称中心，得到，求得，利用正弦定理，求得的外接圆的半径为，结合圆的面积公式，即可求解.【小问1详解】解：由函数，当时，可得，因为图象最高点都在直线，所以.【小问2详解】解：因为点是函数图像的一个对称中心，可得，因为为三角形的内角，所以，可得，设的外接圆的半径为，由正弦定理得，所以，所以外接圆的面积为.18.记，其中实常数．（1）求函数的最小正周期；（2）若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值，并求取得最大值时的值．【答案】（1）（2）当时，．【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式即可得出答案；（2）求出，再整体换元，找出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.小问1详解】．∴函数的最小正周期为．【小问2详解】，，则．令，因为，则．所以当，即时，．19.“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且．（1）求扇形空地AOB的周长和面积；（2）当米时，求PQ的长；（3）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值．【答案】（1）周长为米，面积为平方米（2）米（3）平方米【解析】【分析】（1）借助面积公式与周长公式计算即可得；（2）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得；（3）结合题意，利用正