重庆市涪陵第一中学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（解析）

第页，共页涪陵一中2025年春期第一次月考高一下数学试题时间：120分钟满分：150分一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1.复平面内，复数表示的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的几何意义求解即可.【详解】在复平面内，复数表示的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.2.已知向量，，若，则实数m等于（）A B.0 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用向量数量积的坐标表示，列式计算即得.【详解】向量，，则，解得，所以实数m等于.故选：D3.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，，，则原梯形的面积为（）A. B. C.8 D.4【答案】C【解析】【分析】根据直观图可知其平面图形为直角梯形，再计算面积即可得答案.【详解】解：根据梯形直观图可得其平面图形为直角梯形，上底为，下底，高为，所以原梯形的面积为.故选：C4.已知单位向量的夹角为与垂直，则（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根据数量积的定义求出，依题意可得，根据数量积的运算律计算可得；【详解】因为单位向量、的夹角为，所以，又与垂直，所以，即，即，解得，故选：C.5.已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝.故选：D.6.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（）A.74m B.60m C.52m D.91m【答案】A【解析】【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度.【详解】在中，，，，在中，，由，，在中，.故选：A7.在中，点，在边上，且，为边上的三等分点（其中为靠近点的三等分点），且，则（）A， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用向量的加法、减法线性运算即可求解.【详解】，所以，.故选：8.如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】利用平面向量基本定理计算即可.【详解】设，则，又因为G是的重心，故，所以有.故选：A二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A. B. C.z的共轭复数为 D.z的虚部为【答案】BD【解析】【分析】根据复数的运算法则化简复数，结合复数的基本概念，复数的乘方及模的运算逐项判定即可.【详解】，，A错误；，B正确；的共轭复数为，C错误；的虚部为，D正确；故选：BD10.设向量，，则下列结论中错误的是（）A. B.C. D.与垂直【答案】ABC【解析】【分析】根据向量的坐标运算依次依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A选项，因为，所以，故A选项错误；对于B选项，又，故B选项错误；对于C选项，显然与不共线，故C选项错误；对于D选项，，，所以与垂直，故D选项正确．故选：ABC11.在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（）A.若是高，则 B.若是中线，则C.若是角平分线，则 D.若，则是线段的三等分点【答案】BC【解析】【分析】分别求CD为高线，中线，角平分线及等分线时CD的长.【详解】由题，，所以，若CD是高，，得，故A错误；若CD是中线，，所以，所以，故B正确；若CD是角平分线，则，即，得，故C正确；若D为线段AB的三等分点，或，，或，所以或，故D错误.故选：BC.【点睛】根据D在AB的位置，可用，表示，用向量方法解决平面几何问题是常用思路.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为_________．【答案】【解析】【详解】试题分析:因,故,故应填答案.考点：向量的数量积公式及运用．13.已知球表面积为，点、、在球的球面上，且，则球心到平面的距离为______.【答案】1【解析】【分析】利用球的表面积公式计算可得，在所在的平面中利用正弦定理计算可得其外接圆的半径，利用勾股定理可得球心到平面的距离为1【详解】如图，根据球的表面积公式，可得在所在的平面中，，由正弦定理可得，所以平面在中，球心到平面的距离故答案为：114.已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为______________.【答案】【解析】【分析】根据棱台的上、下底面的面积之比为1：4，利用相似比得到棱台的上、下底面的边长之比为1：2，再根据截去的小棱锥的侧棱长为2和正四棱锥的底面边长为2，得到棱台的底面边长和斜高，代入公式求解.【详解】如图所示：因为棱台的上、下底面的面积之比为1：4，所以棱台的上、下底面的边长之比为1：2，因为截去的小棱锥的侧棱长为2，所以正四棱锥的侧棱长为4，又因为正四棱锥的底面边长为2，即，所以，作，则，，所以此棱台的表面积为，故答案为：四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知复数（其中为虚数单位）.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据共轭复数的定义计算可得；（2）根据复数模的定义计算可得.【小问1详解】.【小问2详解】因为，所以.16.已知在中，内角所对的边分别为.，求角和边.【答案】当时，，；当时，，【解析】【分析】由正弦定理求得可得或，进而分类讨论，即可求解，得到答案.【详解】由正弦定理，得，因为，所以或，当时，，此时；当时，，此时.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确计算是解答的关键，同时注意由正弦定理求得，得到或，防止丢解是解答的难点，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，同时测得海里.（1）求的长度；（2）求，之间的距离.【答案】（1）（2）海里【解析】【分析】（1）根据题意，求得，得到，再中，利用正弦定理，即可求解；（2）根据题意求得，在中，由余弦定理求得，再在中，利用余弦定理求得，即可求解.【小问1详解】如图所示，在中，，，且海里.可得，又因为，所以，由正弦定理，可得.【小问2详解】因为，且，，可得，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，即（海里）所以间的距离为海里.18.已知一个圆锥的底面半径为，母线长为.（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;（2）若圆锥中内接一个高为的圆柱.求圆柱的表面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圆锥侧面展开图的定义计算；（2）由圆锥截面性质，在轴截面中得到相似三角形，由比例性质可得圆柱的底面半径后可得圆柱表面积．【详解】（1）（2）如图所示，设圆锥底面半径为,圆柱的底面半径为，表面积为,则易知，即【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，考查圆柱表面积，考查圆锥的内接圆柱性质．解题关键是掌握圆锥平行于底面的截面的性质．

19.已知向量与共线，其中是的内角．（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值，并判断取得最大值时的形状．【答案】（1）;（2）为等边三角形．【解析】【分析