选修2-2综合测评

1/13选修2-2综合测评（满分：150分；时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设为虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若函数满足，则（）A.B.C.D.3.函数的单调递增区间为（）A.和B.和C.和D.和4.已知，且，试证“数列对任意正整数都满足，或者对任意正整数都满足”，当此题用反证法否定结论时,应为（）A.对任意的正整数,都有B.存在正整数，使C.存在正整数，使且D.存在正整数，使5.若实数满足,则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.图①〜图④是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A.①②B.③④C.①③D.①④7.设函数，定义，则的值是（）A.B.C.0D.18.已知均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A.B.若，则的取值集合为（是虚数单位）C.若，则或D.一定是实数9.已知,若，则（）A.B.C.D.10.若函数的极值点是，函数的极值点是,则有（）A.B.C.D.与的大小不确定11.已知是复数的共轭复数，且，则复数在复平面内对应的点的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线12.定义:如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.设函数，若，则14.观察下列式子：根据上述规律，第个不等式应该为_____.15.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是_____.16.下列四个命题中，正确的为_____(填上所有正确命题的序号).①若实数满足，则中至少有一个不小于1；②若为复数，且，则的最大值等于2；③对任意，都有；④定积分.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(10分）已知复数为虚数单位.(1)若复数与在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求；(2)若实数满足，求的共辄复数.18.(10分）设函数(1)用分析法证明；(2)设，求证中至少有一个大于.19.(12分）已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极小值,求实数的取值范围.20.(12分）已知函数，记数列的前项和为，且有.当时，.(1)直接写出的值；(2)猜想数列的通项公式，并给予证明.21.(12分)现有一张长为,宽为()的长方形铁皮，准备用它做一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，如图，在长方形铁皮的一个角上剪下一块边长为的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，把余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体铁皮容器的高为体积为.(1)求关于的函数关系式；(2)求该铁皮容器体积的最大值.22.(14分）已知函数，其中.(1)若在处取得极值，求的值；(2)求的单调区间；(3)若的最小值为1，求的取值范围.

参考答案一、选择题1.答案：D解析：，在复平面上对应的点为，位于第四象限，故选D.2.答案：A解析：由已知可得，令，则，解得.故选A.3.答案：B解析：由题意得，令，得或，故选B.4.答案：D解析：命题的结论等价于“数列是递增数列或是递减数列”，其否定是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.5.答案：C解析：构造函数，则，故函数在上单调递增，由“”可得到“”，反之，由“”亦可得到“”，选C.6.答案：B解析：①②正确；③不正确，导函数图象过原点，且在原点附近的导数值异号，但三次函数在处不存在极值；④不正确，三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负.故选B.7.答案：A解析：由题设可算得，即，又，且，故，选A.8.答案：D解析：A不成立，如取；B不成立，，如取C不成立，如取；D成立，设，则，因此是实数.故选D.9.答案：C解析：依题意知或,因为，所以，则，故，故选C.10.答案：B解析：由题意得，又函数的极值点是，函数的极值点是，所以，所以，，故选B.11.答案：A解析：设，则，代入,得，即，整理得复数在复平面内对应的点的轨迹是圆.12.答案：C解析：由题意可知，在区间上存在，满足方程在区间上有两个不相等的实数根.令，则有两个不同的零点，解得实数的取值范围是，故选C.二、填空题13.答案：见解析解析：，故答案为.14.答案：见解析解析：根据规律，不等式的左边是个正整数倒数的平方的和，右边分数的分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项,2为公差的等差数列，所以第个不等式应该为15.答案：见解析解析：设，则的导数为，当时，,即当时，恒大于0，当时，函数为增函数，为奇函数，函数为定义域上的偶函数，又当时，,当时，，或，故使成立的的取值范围是，故答案为.16.答案：见解析解析：①若实数满足,则用反证法证明，假设都小于1,则,与已知矛盾,故可得中至少有一个不小于1，故①正确；②若为复数,且,则由，可得的最大值等于2，故②正确；③令，其导数为在上为增函数，当时，对任意，都有,故③正确.④定积分表示以原点为圆心，为半径的圆的面积的四分之一，故④正确.三、解答题17.答案：见解析解析：由已知得复数(1)复数与在复平面上所对应的点关于虚轴对称,则它们的实部互为相反数，虚部相等,所以.(2)因为，所以,整理得，因为,所以,且，解得，所以复数,所以的共轭复数为.18.答案：见解析解析：证明：(1)要证，只需证即证即证，即证，这显然成立，.(2)假设都小于或等于，即则有，两式相加得,这与矛盾，中至少有一个大于.19.答案：见解析解析：(1)当时，，因为，所以曲线在点处的切线方程为.(2)由已知得则，记，则.①当时，，函数单调递增，因为,所以当时,,当时，，所以在处取得极小值,满足题意.②当，则,当时，，故函数单调递增，可得当时，时,，所以在处取得极小值，满足题意.③当时，当时，在内单调递增，时，在内单调递减，所以当时，在处取极大值,不合题意.④当，即时，当时，单调递减，，当时，单调递减，，所以在处取得极大值,不合题意.综上可知，实数的取值范围为.20.答案：见解析解析：(1).(2)由(1)猜想下面用数学归纳法证明：①当时，由(1)可知猜想成立；②假设（且)时猜想成立，即,则当时，，即,即，化简整理得当时猜想成立，综上所述，对任意成立.21.答案：见解析解析：(1)由题意得，即(2)铁皮容器的体积，当，即时，在上，恒成立，函数单调递增，此时；当，即时，在上，，函数单调递增，在上，，函数单调递减，此时所以22.答案：见解析解析：(1)由题意得在处取得极值，，即,解得.(2