2023-2024学年山东省淄博市张店某中学八年级（下）期中数学试卷（五四学制）+答案解析

2023-2024学年山东省淄博市张店实验中学八年级（下）期中数学试卷

（五四学制）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.式子，—在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A./〉3B.C.a;<3D.立（3

2.下列运算正确的是（）

A•通+通=而B.yi2^^2=76C.73x72=6D-A/8-=2^2

3.在矩形48。中，对角线NC与8。相交于点。，则下列结论不一定成立的是（）

A.AB=BCB.CD=AB

C.ABAD=/BCDD.OB=OD

4.把方程/Q+l）=3（，—2）化成一般式g2+近+c=og>0）的形式，则°、从c的值分别是（）

A.a=l,b=—2,c=-3B.a—1,b=-2,c=-6

C.a—1>b=-2,c=3D.a=l,b=—2,c=6

5.将方程/-6/+1=0配方后，原方程可变形为（）

A.（立—3）2=8B.（x—3）2=—10C.（x+3）2=—10D.+3）2=8

6.关于x的一元二次方程（a+1）/+32+浸-1=0有一个根是0,则°的值为（）

A.0B.1或一1C.一1D.1

7.如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为1和6,则图中阴影部分的

面积为（）

A.y6-1

B.而+1

C.276-2

D.2乃+2

8.如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成

图1所示菱形，测得/8=60°，对角线2C=10an,接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩

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下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接8E,则图3中△BCE的面积为（）

图I图2

A.50\/3cm2B.50cm2C.25Vz§cw?D.25cm2

9.如图，在平面直角坐标系中，边长为核的正方形/O5C,顶点5分别在x

轴的正半轴和了轴的正半轴上，将正方形NO2C绕点。顺时针旋转15°，则旋转后

点C的坐标为（）

A.

B.(y3,1)

C.(1")

D.(V6,\/2)

10.如图四边形ABCD与BEFG是并列放在一起的两个正方形，。是BF与EG的交

点.如果正方形/8CO的面积是9,CG=2,则△DEO的面积为（）

A.1

C.4

25

D-T

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.已知一元二次方程/—32+m=0的一个根为的=1,则另一个根，2=.

12.如图，数轴上点4表示的数为4,化简：a+\/a2—4a+4=.

■।A■

0a2

13.菱形ABCD的对角线4。=12，S菱形ABCD=48,则AB的长为.

14.若|1001-a\+Va-1002=a,则a—10012=.

15.如图所示，四边形4BCD中，4CLLBD于点。，40=。0=4,

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B

80=0。=3，点尸为线段/C上的一个动点.过点P分别作PMJ_AD于点M,作PNrD。于点N,连接

PB,在点P运动过程中，PM+PN+的最小值等于.

三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题10分)

解方程：

⑴/+2-3=0；

(2)3x(a;-2)=8—4a;.

17.(本小题10分)

计算：

(1)|-\/5--\/6+-x(―\/5+2A/6)；

(2)|vZ5-2|+|v/5-3|+J(—2广

18.(本小题10分)

己知，如图，NABC=N40C=9O°，点£、产分别是/C、5D的中点，4。=10，BD=8.

(1)求证：EFLBD；

(2)求EF的长.

19.(本小题10分)

【阅读理解】

爱思考的小名在解决问题：已知a=c1行,

求2a2-8a+1的值.他是这样分析与解答的:

2+V3

1

,/a=-----=-----------------a—2=—\/3.

2+\/3(2+73)(2-V3)

(Q—2户=3,即Q2—4Q+4=3.

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a2—4a=-1.

2a2—8a+1=2(a2—4a)+1=2x(-1)+1=-1.

请你根据小名的分析过程，解决如下问题：

⑴计算：Ml：一；

1111

(2)计算：7T+T+73+y2+V4+^3+"'+yiOO+^99=——

⑶若&=4—2,求3a2—12a—1的值.

20.(本小题12分)

如图，菱形/BCD的对角线/C,8。相交于点。，过点。作。E///C,且DE=；4。，连接CE.

(1)求证：四边形OCED为矩形；

(2)连接AE.若RD=4,AE=2y10＞求菱形48CD的面积.

21.(本小题12分)

2

已知关于x的一元二次方程x-mx+m+3=0的两个根为a,b.

(1)若a,6分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5,求加的值；

(2)若a,6分别为矩形的两条对角线的长，求加的值.

22.(本小题13分)

如图，已知四边形N5CD为正方形，48=3核，点£为对角线“。上一动点，连接0£，过点£作£/，。后，

交BC于点F,以DE、环为邻边作矩形DEFG,连接CG.

(1)求证：矩形DMG是正方形；

(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

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23.（本小题13分）

如图1,正方形/BCD边长为4,点£在边上（点E与点/、2不重合），点/作4F_LDE,垂足为G,

/尸与边5c相交于点F.

（1）求证：△£>/£g△ABF；

1Q

（2）设=将△DEF的面积用含x为的式子表示；若的面积为,，求/尸的长;

⑶在⑵的条件下，取。£,/尸的中点跖N,连接"N（如图2）,求VN的长.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：依题意，得

3-2》0,

解得，a;W3.

故选：D.

二次根式的被开方数是非负数.

考查了二次根式的意义和性质.概念：6(a20)叫二次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数,

否则二次根式无意义.

2.【答案】B

【解析】解：4通与石不是同类二次根式，不能合并，故错误；

B.\/12\/2=般,故正确；

C.弧乂®故错误；

D-=2v^-V2=V2>故错误；

故选：B.

根据二次根式的加减乘除法则依次判断.

此题考查了二次根式计算法则，正确掌握二次根式的加减乘除计算法则是解题的关键

3.【答案】A

【解析】解：•.•四边形/BCD是矩形，对角线/C与8。相交于点o,Ar\--------------

:.CD=AB,ABAD=ABCD=90°，。3=OO,但N3与不一定相等，

4符合题意，而8、C>。不符合题意，广

DC

故选：A.

由矩形的性质得。。=4B，ABAD=ABCD=90°>OB=OD>但N3与8c不一定相等，可判断/

符合题意，于是得到问题的答案.

此题重点考查矩形的定义和性质，正确理解和应用矩形的性质是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：去括号得，/+a;=3/—6，

移项得，/—22+6=0，

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所以a、b、。的值可以分别是1,—2,6.

故选：D.

先去括号，再移项、合并同类项，化为a/+瓶+c=O（a〉O）的形式，再根据对应相等得到°、6、c的值.

一元二次方程的一般形式为a/+鼻+。=0（£#0,。也。为常数），其中a叫二次项系数，6叫一次项系数，

c叫常数项.

5.【答案】A

【解析】解：_6c+1=0,

x2-6x--1<

则/一6z+9=—1+9，即（①—3）2=8,

故选：A.

将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分

解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：把立=0代入方程（a+1）/+3c+a?—1=0得—1=0，解得向=1,a2=-1,

而a+1r0,

所以a=1.

故选：D.

把立=0代入方程（a+1）/+3/+一1=o得—1=0,然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定

义确定满足条件的a的值.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

7.【答案】A

【解析】解：•.•两个正方形的面积分别为1和6,

它们的边长分别为1和，

由图可知，

长方形的长为（1+通），宽为大正方形的边长通，

二.阴影部分的面积为：（述+l）x遍-1-6=遍-1,

故选：A.

分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，再根据图形即可得到阴影部分的面积为：

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(V6+l)xA/6-1-6,然后计算即可.

本题考查求阴影部分的面积，二次根式的应用.解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

8.【答案】D

图I图2图3

图1连接NC,

•.,菱形ABCD中，AB=BC，

•.-ZB=60°,

△46。是等边三角形，

,对角线4。=10cm,

BC=10cm,

：,CE=BC=Wcm，

图3过点E作EHrB。，交3c的延长线于点X,

•.•△OCE是等边三角形，

ADCE=60°，

，/ECH=30°，

EH=gcE=5cm,

△6CE的面积=—-EH=—x10x5=25(cm2),

故选：D.

根据菱形的性质可知3。=10cm，过点£作交的延长线于点〃，根据等边三角形的性质可

知=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得E8的长，再根据△BCE的面积求

解即可.

本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积

等，熟练掌握这些性质是解题的关键.

9.【答案】B

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【解析】解：如图，连接过点。'作。0,2轴于点n

•.•将正方形/08C绕点O顺时针旋转15°得到正方形40"。，

：,0B'=B'C=V2^NAOO=15。,

■,0C^V20B'=2<

•.•/4。。'=45。，NA。。=15。，

:"C'OD=30°，

又•.•NOOC'=90。，

■,C'D=^DC=1,

：.0D=4ieD=M，

.•C（竭1），

故选：B.

连接0。，，过点。作。轴于点D,根据旋转的性质得出OP=EC，=/,乙4'0。=15°，推出

AC'OD=30°,再根据含30°角的直角三角形的性质即可得出。'。与。。的长，从而得出结果.

本题考查了正方形的性质，旋转的性质，正确作出图形构造直角三角形是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：连接BD,

•.,正方形ABCD的面积是9,

;.BC=3,

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,「CG=2，

.•.BG=BC+CG=3+2=5,

二正方形BEFG的面积=25,

•.,四边形48CD和四边形BEFG都是正方形，

：,AABD=ABEG=^°,

：.BD//EG,

19^

△OOE的面积=ABOE的面积=。正方形8MG的面积=与，

44

故选：D.

连接3。，根据正方形的面积可得8。=3，从而可得BG=5，进而可得正方形3EFG的面积=25，然后

根据正方形的性质可得/48。=/3后。=45°，从而可得BD//EG,然后利用平行线间的距离处处相等

可得：△OOE的面积=4B0E的面积=；正方形BEFG的面积，即可解答.

本题考查了正方形的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关

键.

11.【答案】2

【解析】解：则根据根与系数的关系得：

Xi+X2

=l+a；2

_-3

——丁

=3,

解得：X-2=2,

即方程的另一个根为2,

故答案为：2.

根据根与系数的关系得：於+1=3,求出即可.

本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：

当①1和©是一元二次方程a/+近+c=0（a、b、c为常数，a¥0）的两个根时，那么叫+的=」，

a

c

Xx-X2=

a

12.【答案】2

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【解析】【分析】

此题主要考查了二次根式的性质，正确得出a的取值范围是解题关键.

直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出。的取值范围进而化简即可.

【解答】

解：由数轴可得：

0<a<2,

贝！Ja+\/a2—4a+4

=a+J(2—a)?

=Q+(2-Q)

=2.

故答案为：2.

13.【答案】2，话

【解析】解：如图，

•/AC=12，S菱形4go。=48,

x1280=48,

：,BD=8,

•.•四边形/BCD是菱形，

,-.A0=^AC=6,BO=~BD=4,AC1BD，

：,AB=+BO2=2y13-

故答案为：2，瓦.

利用菱形的面积公式求出BD=8,利用菱形的性质得到AAOB=90°，OB=|B£>=4,OA=|>LC=6,

利用勾股定理求出AB的长即可.

本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键.

14.【答案】1002

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【解析】【分析】

本题考查了绝对值，以及二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数.由二次根式有意义的条

件得到1002是解题关键.

首先根据二次根式有意义的条件得到a21002,由此化简绝对值，即可求解.

【解答】

解：:“a—1002有意义,

Q—100220,

解得：Q21002,

/.|1001-a|=a-1001,

.,.由1001-Q|+a—1002=a，

得：a—1001+da—1002=a，

化简，得：y/a-1002=1001.

a-1002=10012.

a-10012=1002.

故答案为：1002.

15.【答案】7.8

【解析】解：•.•4。=CO=4,BO=DO=3,

：.AC=8,四边形/BCD是平行四边形，

•.♦4C1BO于点。，

S^ADP+S&CDP=SAADC,

：,^AD-PM+^DC-PN=^AC-OD,

即1x5xPM+1x5xPN」x8x3,

222

5x(PM+PN)=8x3,

：,PM+PN=4.8,

二当依最短时，PM+PN+PB有最小值,

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由垂线段最短可知：当_BP，47时，PB最短,

二当点尸与点。重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值=4.8+3=7.8,

故答案为：7.8.

证四边形/BCD是菱形，得。0=40=5,连接P。，由三角形面积关系求出PM+PN=4.8,得当PB

最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BPL4C时，PB最短,即可得出答案.

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；

熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

16.【答案】解：(1)原方程变为：

(2+3)(x-1)=0,

.-.X+3=0或z—1=0,

——3,x2—1•

⑵原方程变为：

3x(x—2)+4(®—2)=0,

.•.(/—2.+4)=0,

：.x—2—0或3,+4=0,

c4

••①1=2,X2———•

o

【解析】(1)利用因式分解法解答即可；

(2)利用因式分解法解答即可.

本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键.

Q11

17.【答案】解：⑴—百\/^+,(—+2A/^)

/DZ

Q11

=-Vb--VG--Vb+\/6

ND/

=Vb+|A/6；

o

(2)|A/5—2|+|\/5—3|+(—2)2

=述-2-述+3+2

=3.

【解析】(1)先算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；

(2)先根据绝对值的意义和二次根式的性质化简，再算二次根式的加减即可.

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本题主要考查了二次根式的混合运算，绝对值的意义，二次根式的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的

关键.

18.【答案】证明：(1)连接DE

•.•乙48。=/40。=90°，点£是/。的中点，

,-.BE=^AC,DE=|>1C,

：,BE=DE,

•.•点厂是的中点，BE=DE,

EF1BD;

(2)-：BE=^AC,

BE=5,

•.,点尸是8。的中点，

；.BF=DF=4,

在Rt^BEF中，EF=y/BE2-BF2="25—16=3.

【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求BE=DE，根据等腰三角形的性质，可

得结论；

(2)根据题意可得BE=5,BF=4,根据勾股定理可求M的长.

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半是本题的关键.

19.【答案】x/2-19

【解析】解：(1)?」=,L叵二一=^2-1.

V2+1(y2+1)(72-1)

故答案为：y/2—1；

⑵原式=d我-鼻

—(2+1)(6—1)(通+2)(通)(4+73)(74一通)……

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______yiUiJ-频_______

(，H孤+799)(\/100-\/99)

=V2-1+V3-V2+V4-V3+……+\/100-y99

=^100-1

=10-1

=9.

故答案为：9；

(3)•：a=^—=,「飞2厂、=八+2,

V5-2(述-2)(述+2)

：,a-2=V5.

」.(a—2)2=5,即(？一4a+4=5.

a2—4a=1.

3a2-12a-1=3(a2-4a)-1=3x1-1=2.

(1)分母有理化即可；

(2)先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；

(3)先分母有理化求出a=西+2,再求出a—2=①，两边平方后求出-4a=1，再求出代数式的值

即可.

本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进

行计算是解此题的关键.

20.【答案】(1)证明：•.•四边形/BCD是菱形，对角线/C,8。交于点。，

,-.OC=OA=^AC,AC1BD,

■：DEHAC,DE=^AC,

:.DE//OC,DE=OC，

.•.四边形OCED是平行四边形，

,四边形OCED是矩形.

(2)解：•.•B0=4,AE=2-/10-

OD=OB=^BD=2,

：,CE=OD=2,

■：AACE=90°,

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AC=\/AE2-CE2=22=6，

*，-S菱形AB。。=-AC-BD=-x6x4=12,

.・.菱形/5CQ的面积为12.

【解析】（1）由菱形的性质得。。=。4=；4。，ACLBD,而。后〃A。，DE=Uc,所以。£〃0。，

DE=OC，而/。。。=90°，即可证明四边形。。即是矩形；

（2）由BD=4，得CE=0D=0B=2，则AC—\/AE~—CE^-6，求得S菱形ABCD==12.

此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、菱形的面积公式等知识，推导出。E=。。是解

题的关键.

21.【答案】解：（1）由一元二次方程根与系数的关系得：ab=m+3,

■.■a,6分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5,

gab=5,

+=5,

解得：m=7；

（2）：a,6分别为矩形的两条对角线的长，

：.a=b,即一元二次方程/2-mx+m+3=0有两个相等的实数根，

△=62-4ac=0>

△=庐—4ac=m2—4（m+3）=0,

即m2-4m—12=0>

解方程得：mi=6,加2=—2（不合题意，舍去），

m的值为6.

【解析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系得到a+b=加，ab=m+3,由菱形的面积等于两条对角

线的长的一半建立关于m的方程求得答案即可；

（2）利用矩形的两条对角线的长相等，一元二次方程有两个相等的实数根，由△=0建立关于m的方程求得

答案即可.

此题考查一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根得判别式，熟练掌握菱形、矩形的性质是解决

问题的关键.

jD

22.【答案】解：（1）如图，过£作EMrBC于M，ENLCD^N,-----

/MEN=90。，虫C......r\

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•.•点E是正方形N3C。对角线上的点，

：,EM=EN,

:NDEF=90°，

.-.ADEN=AMEF,

■：ADNE=AFME=90°,

在△£)£"和中，

[Z.DNE=4FME

<EN=EM,

[ADEN=AFEM

：.3DENmAFEM(ASA),

:.EF=DE,

•.•四边形DEFG是矩形，

矩形。EFG是正方形；

(2)CE+0G的值是定值，定值为6,理由如下：

•正方形DEFG和正方形ABCD,

：,DE=DG,AD=DC,

■：ACDG+Z.CDE=4ADE+ACDE=90°,

：.NCDG=NADE,

在△AOE和△CDG中，

'A