上海市西中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（解析）

上海市市西中学2024学年度第二学期期中考试高二数学2025.4一、填空题：（每题3分，3·12=36分）1.直线的倾斜角是____________．【答案】##0【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系即可得结果.【详解】易知直线的斜率为0，设倾斜角为，其中，由，可得.故答案为：2.抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程求出准线方程．【详解】由抛物线，可得，抛物线的准线方程为，故答案为：．3.事件A与事件B是独立的，且，则________.【答案】【解析】【分析】由独立事件的乘法公式即可得出答案.【详解】因为事件A与事件B是独立的，且，所以.故答案为：4.某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为____________m/s．【答案】7【解析】【分析】根据题意，求导可得，代入计算，即可得到结果.【详解】由可得，则，即质点在时的瞬时速度为m/s．故答案为：5.将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有____________种．【答案】6【解析】【分析】先分为两组，再进行排列，得到答案.【详解】先分为两组，再进行排列，故不同的分配方案为种.故答案为：66.两直线与的夹角为____________．（结果用反三角表示）【答案】【解析】【分析】确定斜率，，根据夹角公式计算得到答案.【详解】因为直线的斜率为，直线的斜率为，设两条直线的夹角为，则，因为，所以．故答案为：7.设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________．【答案】【解析】【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可.【详解】由题意可得：4−k>06+k>06+k>4−k，解得：所以的取值围为：.故答案为：.8.已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】【分析】求得，得到，进而求得切线的方程，得到答案.详解】由函数，可得，则，即曲线在点处的切线的斜率为，切点坐标为，所以曲线在点处的切线方程为.故答案为：.9.直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为____________．【答案】##【解析】【分析】先直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，再利用两直线平行求出的值，最后利用平行直线间距离公式计算.【详解】直线的斜率为，则直线的方程为，即，因直线与直线平行，则，得，则直线与之间的距离为.故答案为：10.一组数据的平均值为3，方差为1，记的平均值为a，方差为b，则_________.【答案】【解析】【分析】利用平均数和方差的运算性质可求出值，再求即可.【详解】因为一组数据的平均值为3，方差为1，所以的平均值为，方差为，所以，，所以.故答案为:11.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案.【详解】由题意得在上恒成立，，故，即，令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，故a的最小值为.故答案为：.12.已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________．①在区间上严格增；②是的极小值点；③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点．【答案】【解析】【分析】已知导函数的图象，结合图象可识别导数值的正负，从而判断函数的单调情况，由变号零点的先负后正或先正后负判断极小或极大值点即可得解.【详解】当时，，此时，函数单调递减，①错误；时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，则是的极小值点，②正确；时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，则是的极大值点，③正确，④错误.故答案：二、选择题（每题4分，4·4=16）13.直线必过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将直线分离参数为，令，可得定点.【详解】根据题意，直线，即，令，得，故直线必过定点.故选：B14.设函数在处存在导数为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.【详解】因为函数在处存在导数为，所以，所以.故选：D15.若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（）A.0 B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案.【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即，所以ABD错误，C正确.故选：C16.已知函数，其导函数图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可求解．【详解】从的图象可以看出，在区间,内，导函数大于0，且在区间,内，导函数单调递增，在区间,内，导函数单调递减，所以函数在区间,内单调递增，且的图象在区间内,越来越陡峭，在区间,内越来越平缓，故选项符合题意．故选：B．三、解答题（8+12+12+16）17.设．（1）若，求的值；（2）若，求的值；【答案】（1）（2）6561【解析】【分析】（1）令，得，根据二项展开式的通项公式可得.（2）令，得，令，得，根据平方差公式展开求解即可【小问1详解】令，得，解得，所以【小问2详解】当时，令，得，令，得，即，所以18.已知函数．（1）当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程．（2）若函数在处有极值，求函数的极值．【答案】（1）、、；（2）极大值为；极小值为.【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，直线斜率不存在和斜率存在，斜率不存在时写出直线方程再检验，斜率存在时联立方程组，解即可；（2）先求导，解得出的值，再求导研究的单调性即可求极值.【小问1详解】当时，，当直线斜率不存在时，与曲线有且仅有1个公共点，符合题意；当直线斜率存在时，设，联立，得，因直线与曲线有且仅有1个公共点，则，得或，则直线的方程为：或综上，符合条件的直线方程为、、.【小问2详解】由，得，因函数在处有极值，则，得，则，，则得或；得，则在上单调递增，在上单调递减，则极大值为，极小值为．19.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求在上的最大值．【答案】（1）增区间为，减区间为（2）【解析】【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，利用导数与函数单调性的关系，可得答案；（2）由（1）所得函数单调性，利用分情况，可得答案.【小问1详解】函数的定义域为，则．因为时，由，可得，由，可得．此时，函数的增区间为，减区间为．综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为．【小问2详解】当时，函数在上单调递减，此时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，；当时，函数在上单调递增，此时，．综上所述：.20.设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成．（1）若，求的值；（2）设，、分别为与轴左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小；（3）过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围．【答案】（1）2（2）（3），离心率的取值范围【解析】【分析】（1）由点在圆和双曲线上代入可解；（2）由双曲线的性质和在中由余弦定理可得；（3）由与的渐近线平行结合点斜式设出直线方程，利用点到直线的距离得到与相切，然后由点坐标为方程组的实数解解出，再联立与相切和圆的方程解出点坐标，令可得的范围；由离心率的齐次式计算可得.【小问1详解】将分别代入与可得，解得，因为，所以；【小问2详解】由题设，．、坐标分别为、，即为的两个焦点．因为，所以点只能在