2024-2025学年陕西省汉中市高一年级下册第一次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年陕西省汉中市高一下学期第一次月考数学检测试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的,

请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1,设全集O=R,集合Z={x|0<x<3},5={x|2x-1<3}；则力口(①B)=()

A.[2,3)B.(2,3)C.(1,2)D.(-叫2)

【正确答案】A

【分析】先求出各个集合，再利用交集和补集的性质求解即可.

【详解】令2x—1<3,解得x<2,则3={x|x<2},故用8={x|x22},

因为Z={x[0<x<3},所以/Pl(%8)=[2,3),故A正确.

故选：A

2,I

2.=7i°,6=0.2,c=logJI0.2,则a,瓦c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

【正确答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法计算即可.

【详解】因为4=兀°2>兀°=1，

0<b=0.2"<0.2°=l，

c=logJt0.2<logJtl=0,

所以c<b<a.

故选：D.

3.设S"为等差数列{4}的前〃项和，已知$3=4,56=10,则。16+。17+。18=()

A.12B.14C.16D.18

【正确答案】B

【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质求解即得.

【详解】由等差数列的片段和性质知，S3,S6-S3,Sg-S6,S12-S9,S15-S12,S18-S15成等差数列,

由$3=4,56-5=6,得该数列首项为4,公差为2,

所以+%7+%8=S18—S[5=4+5x2=14.

故选：B

4.已知函数/(x)=-E-sinx,则函数y=/(x)的图象大致为()

1+x

【正确答案】C

【分析】

根据函数为偶函数和xf0时函数值为正，即可得到答案.

【详解】因为/(x)定义域为R>/(-^)=—一-y-sin(-x)=/(x),

1+(-x)

所以/(x)为偶函数，故排除A,D；

当x30时，/(x)>0,故排除B.

故选：C

本题考查根据函数的解析式选择对应的图象，考查数形结合思想的应用，求解时注意从解析式挖掘

函数的性质，并注意特殊值代入法的应用.

5.2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有

一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形4(图1),并把每一条边

三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线6（图2）,如

此继续下去形成雪花曲线8（图3）,直到无穷，形成雪花曲线々，己，…，匕,••••设雪花曲线《的

()

V3D.Z>=34/

T66

【正确答案】B

2）、

【分析】根据题意分别写出%,b“,/”的通项公式，且当〃22时'-"与用累加法

可求出通项，然后对选项进行逐一判断求解.

【详解】由题意知，边长％=1,边数4=3,周长4=3,面积S[=等

M—1n-l

所以得：a=a、•,2=3X4"T,

n3I

M-1

4，〃=3"%

所以得：ln-anbn=3x

因为：5,=—«,2sin—=

12134

M-1M-1

(由2)=3.4"".

当〃22时，Sn_Sn_\=b〃_]L

<79169

所以得：S.=(S”—S〃T)+(Si—S“_2)+…+应一邑升电—SJ+E

V3373444n—12627闻4

二——+—一+

416995809

、匕i□-+2A/327JJ4V3也、壬田

当〃=1时，SC=---------------x—=——，也适用，

158094

所以：地—生野

S""580{T9）

64

所以得：4=768,故A项错误；所以得：/=—,故B项正确;

49

5

所以得：S=28,故c项错误；所以得：b6=3l6,故D项错误；

27

故选：B.

6.二次函数/（》）="2+2仅-l）x+2在区间（-叫4]上为减函数，则。的取值范围为（）

A.[.B.[0,1]C.1-00mD.1；

【正确答案】D

【分析】

根据二次函数的单调性，即可求得参数的范围.

【详解】,・,二次函数/（、）在（-8,4）上为减函数,

a>0,

1

.•<1—。°<a”—•

、a

故选：D.

本题考查二次函数的单调性，属基础题.

7.设函数/（x）=sin"+；（。〉0）的最小正周期为T.若2兀<7<3兀，且对任意xeR,

恒成立，则①=（

2345

A.-B.-D.

346

【正确答案】B

【分析】由2兀<7<3兀可得g<°<l,由对任意xeR,/（到+/[m]20恒成立，可得

/（4//1]之。’计算即可得

【详解】由/（x）+/g「O,且/（x）e[-l/，故/[£|=1,

7171713

即有69~+—=—+2kji[k€Z）,解得g=1+6左（左€Z）,

,2兀2

又2兀<丁<3兀，69>0,故2兀<——<371,即一

co3

综上，CD——.

4

故选：B.

8.己知S）,是数列｛%｝的前"项和，4=2,a,用=2（%+2"）,不等式22%—邑0+1-128〃+240

对任意的〃eN*恒成立，则实数力的取值范围为（）

A.(-oo,32]B.(-oo,16]C,[4,+co)D.(-00,8]

【正确答案】A

【分析】通过变形，化成瑞-会=1，得数列号是首项为1、公差为1的等差数列，进而求出

通项，然后利用错位相减法求和，代入原不等式，根据不等式求最值结合恒成立条件可得答案

【详解】•••一=2（%+2"）,.•.爵一果=L又/=>1'

,数列是首项为1、公差为1的等差数列，

.,*———TI,:・a=nx2〃，

2n〃

=1x2+2x22+3x2、…+〃x2”

A2S〃=1x2?+2x23+…+(〃-l)x2"+nx2n+l②

2(]_2〃)

=2+22+23+---+2,,-nx2,,+1=-^-------^-wx2)!+1=(l-w)x2,!+1-2»

1—2

.•.'=(〃-l)x2"+i+2,

/.不等式2M-52„+1-128n+2<0,

即2nAx2"-2nx22,,+2-2—128〃+2V0,

64

即；lV2"+2+_,

2"

...2〃+2+与a』**竺=32,

2"V2"

64

当且仅当2»2=一，即〃=2时等号成立，・・・4V32,

2〃

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是()

A.-71=-180°

B.第一象限角都是锐角

C.在半径为2的圆中，色TT弧度的圆心角所对的弧长为T女T

63

71

D.终边在直线^=一》上的角的集合是a=2br——#eZ

4

【正确答案】AC

【分析】根据弧度制、象限角、终边相同的角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】―兀(rad)=—180。，A正确；

7兀

角一也是第一象限角，不是锐角，B错误；

3

JTTTTT

在半径为2的圆中，一弧度的圆心角所对的弧长为占x2=g,C正确；

663

71

终边在V=-》上的角的集合是《aa=E--,keZ\,D错误.

4

故选：AC

10.已知S“是数列｛4｝的前“项和，且q=%=l,%=%_]+%_2（〃23）,则下列结论正确的

是（）

A.数列｛。用+4｝为等比数列B.数列｛。m-2叫为等比数列

10

C%=2"：（T）"D,520=|（4-1）

【正确答案】ABD

【分析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB.求出数列｛%｝前几项，验证后判断C,求出前

20项和可判断D,

【详解】因为%=%+2a一2（〃23）,所以4+an_x=2味+2an_2=2（%+*），

又%+%=2w0,所以｛%+%+1｝是等比数列，A正确；

同理%-2%_]=an_x+2an_2-2an_x=-an_x+lan_2=-｛an_x-2an_2）,而％-2%=-1,

所以｛%+「2%｝是等比数列，B正确;

若%=竺手艺，则4=23+；1）2=3,但为=1/3,C错；

由A｛%+4_J是等比数列，且公比为2,

因此数列4+出，。3+。4，。5+。6,…仍然是等比数列，公比为4,

所以S2Q=（%+2）+（。3+%）+（。19+%0）=~-—~=~（41°-1）,D正确.

故选：ABD.

方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系,

从而得证新数列的性质.而对称错误的结论，可以求出数列的某些项进行检验.

x+3,x<0

11.已知函数/(x)=<hcl八，若方程〃x)=7"有三个不同的零点不、/、七，且

|lnx+2|,x>0

%1<X2<X3,则()

A.实数加的取值范围为{加|0<加<3}B.函数/(x)在(-8,0)]!，+oo]单调递增

C.斗马七的取值范围为(一3-\0]D.函数g(x)=/(/(1))有4个零点

【正确答案】BCD

【分析】作出函数/(x)的图像，根据图像可判断A错误，B正确；根据图像确定出-3<国VO,

再根据对数运算求解出乙七=「，即可得再%》3的范围，则C正确；采用换元法令/(x)=f,确

定出/的值，结合/(x)的图像求解出g(x)的零点个数.

【详解】作出函数/(x)的图像如图所示:

对于A,由图像可知，实数〃7的取值范围是(0,3],故A错误;

函数/(x)在(一8,0)/!，+力

对于B,由图像可知,上单调递增，在上单调递减，故B

正确；

对于C,由图像可知，一3<西<0,由1in/+2|=匹七+2],即一(111%2+2)=拈％3+2,解得

-4

x2x3=e,所以XF2X3的取值范围是(一3e-4,o],故C正确；

对于D,由g(x)=/(/(x))=O,令=则/⑺=0,解得/=一3或/=!，由图象可知

e

当〃x)=-3时，方程有1个解，当/(x)=4时，方程有3个解，所以函数g(x)有4个零点，

e

故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

3「门

12.函数/(x)=1xe,e的值域为___________.

lnx+1(e\)

【正确答案】口,+8)

【分析】由xe]：,e2及对数函数的性质，可得到Inx的取值范围,

进而得到lnx+1的取值范围,

3

从而得到------的取值范围，即可求得函数/(')的值域.

lnx+1

【详解】因为,所以lnx£(—l,2],lnx+l£(0,3],

3

所以;------£工+8),即/(')的值域为口,+8).

lnx+1

故答案为.口,+00)

13.已知sin]。一,则cos[2，+；]=________.

_...........3

【正确答案】--##-0.6

7T

【分析】先利用诱导公式将cos（2，+§）进行变形,再结合二倍角公式进行求解.

【详解】因为cos[26+§]=cos7t—^——2d]=—cos]g_2”,

（2兀）（（兀））ff扑2巾一小

qcos[-—2^j—cos-21。-—cos218-

已知sin将其代入可得：

。兀心一0（⑹1°5_3

cos------28—1-2x——1—2x———.

（3）（5）255

3

因为cos126+g卜一cos1$一28,所以cos

5

故答案-为「|3

14.已知各项均为正数的等比数列{4},若《+%+%=6,则忧+若+d的取值范围为.

【正确答案】口2,36).

6

【分析】设等比数列的公比为q(4>0),求得4=；---------r，化简

1+q+q

212

,,,,,=36x(1-----------)-<1—---------<1

W+d+d=d(l+q2+/4)1/,结合基本不等式，求得31,41,

qq

进而求得成+a；+al的取值范围.

【详解】设等比数列的公比为q(q>0),

6

因为4+%+%=6,可得/(i+q+d)=6,所以4=

1+q+

36

则a；=aj(1+^2+/)=—(l+d+/)

(l+”q)

(l+q+q2)2-2(q+q2+q3)2q(l+q+/)

(\+q+q)(\+q+q)

=36x(1——^-T)=36X(1-~)

1+q+q[+[+「

q

因为q〉0,所以1+^22,

当且仅当q=l时，等号成立,

q

12

I——<-—<l

所以一+q+]23,可得3—乙<。，则3%+l

q—Fq+1

qq

12<36x(l-—~)<36,,「…八

所以1,即《7+厅+区的取值范围为口2,36).

—i-q十i

q

故答案为.口2,36）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

15.已知tana=一一，求下列各式的值.

2

sin(2兀一a)cos(兀+a)cos

(1)---------

3兀

cos(兀一a)sin(a-7r)sim---Fa

2

⑵2sin2tz-3cos2tz+l-

【正确答案】⑴t

【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可;

【小问2详解】

2sin2a-3cos2a12tan2a-31

2sin2a—3cos2a+1=+l=----z------+l

si.n?a+cos2atana+l

r9c

2x3[0

2+l13

4

16.已知数列｛%｝是单调递增的等比数列，数列｛2｝是等差数列，且

4=b[=3,%+=17,。3—=14.

(1)求数列｛%｝与数列也｝的通项公式；

(2)求数列｛%-2｝的前〃项和S”.

【正确答案】(1)%=3",bn=5«-2

3,,+1-5«2-zj-3

(2)S=-—————

"2

【分析】(i)设等比数列｛4｝的公比为q,等差数列也｝的公差为d,根据等差数列以及等比数列

定义结合数列｛4｝的单调性求得q和d,即可求数列｛%｝与数列｛4｝的通项公式；

(2)利用等差、等比前项和公式并分组求和即可得.

【小问1详解】

设等比数列｛%｝的公比为q,等差数列｛〃｝的公差为d,

值+&=17,f/q+b]+d=17,

v彳导v

4=14,[a^q1-(/?!+2tZ)=14,

3q+d=14,,

即上；c,即d+2q—15=0,解得q=—5或q=3.

3q~-2a=17,

当q=—5时，a2<aA,不满足｛%｝单调递增，

-1

当q=3时，an+1-an=3an-an=2an=6x3">0,满足｛4｝单调递增，

故q=3,所以4=3".

又3q+d=14,所以d=5,

所以6“=3+5(〃-1)=5〃—2,

即数列｛%｝与数列也｝的通项公式为%=3"也=5〃-2.

【小问2详解】

利用等比数列前1项和公式可得，

数列的前n项和为3(T)=3人3,

1-32

数列也｝的前〃项和为〃(3+；_,

所以数列｛%-〃｝的前〃项和

s.=(%-4)+(%-8)+…+(4-4)=(%+%+…+%)-(4+&+，-+4)

3,,+1-35/+〃3"+i—5〃2—〃—3

-—22—-2

即S=尸-5/-〃-3.

n2

17.已知函数/(X)=Gsinxcosx-cos?》.

(1)求/(X)的最小正周期和单调递增区间；

(2)将/(x)的图象先向左平移四个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的;倍，得到函数g(x)

的图象，求g(x)在区间0,；上的最值及取得最值时X的值.

7171

【正确答案】(1)最小正周期兀；单调递增区间：+-,ksZ

_63_

(2)g(x)在区间［0,一71］上的最大值是1:，此时x=一71；最小值是-1,此时x=—71.

42124

【分析】(1)先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为标准形式，再根据三角函数的周期公式

和单调性来求解；

(2)根据三角函数图象的平移和伸缩变换规则得到g(x)的表达式，然后结合给定区间求其最值.

【小问1详解】

己知/(x)=J^sinxcosx—cos?x,根据二倍角公式，可得：

r(\V3.-l+cos2x百.c1c1-兀)1

/x=——sm2x-------------=——sm2x——cos2x——=sm2x————

2222(6)2

所以/(x)的最小正周期T=—=n.

2

7171TlTT27r

令2左兀——<2x——<2kn+—,keZ,解这个不等式可得,2左兀——<2x<2左兀+——.

26233

兀兀

即得到kitVxVkitH—,左£Z.

63

所以/(X)的单调递增区间是肌：,E+|左£Z.

/(X)的最小正周期是兀,单调递增区间是法-3EJ，左£Z;

【小问2详解】

先根据图象变换规则求g(x)的表达式:

将/(x)=sin(2x-弓)-；的图象向左平移弓个单位，根据“左加右减”的原则，得到

y=sinL2(x+-)--J--

oo262

再将所有点的横坐标缩短为原来的;倍，根据“横坐标伸缩”的原则，得到g(x)=sin(4x+°)-1的

262

图象.

因为所以4x£［0,兀］,4x-\—e［—,—］.

4666

当4xH—=—，即1=—时，sin(4xH—)取得最大值1,此时g(x)取得最大值1———.

6212622

TT7兀7171111

当4xH—二—，即1=—时，sin(4xH—)取得最小值—，此时g(x)取得最小值------=—1.

6646222

711Tl71

综上所得，g(x)在区间［0,一］上的最大值是:，止匕时x=一；最小值是-1,此时x=—.

42124

18.已知函数/(x)=log2X,不等式2—+，＜437解集为M,

(1)设函数g(x)=〃2x)+x+m在xeM上存在零点，求实数加的取值范围;

(2)当xeM时，函数〃(x)="(x)—a1/'］的最小值为—；，求实数a的值.

【正确答案】(1)(-7,-2)

(2)a=\

g<o

【分析】(1)解指数不等式得到集合M,再判断g(x)的单调性，即可得到＜g>o解得即可;

(2)首先得至11〃(%)=(1082%-1)(1082、-2),令/二log2X,c[t)=[t-a][t-2),^€(0,2),

依题意可得C”)在(0,2)内的最小值为-；，即可得到方程(不等式)组，解得即可.

【小问1详解】

因为2了+、<4"-2=261,则x2+x<6x—4,解得l<x<4,BPAf=(1,4),

又因为g(x)=/(2x)+x+m=log2(2x)+x+m=log2x+x+m+1,

且y=log2X,y=x+w+l在(1,4)内单调递增，则g(x)在(1,4)内单调递增,

g(l)=m+2<0

若函数g(x)在xeM上存在零点，则＜

g(4)=加+7>0，

解得—7〈加＜—2,所以实数加的取值范围(—7,—2).

【小问2详解】

(log2x-a)(log2x-2),

令t=log2x,由x£(1,4)可知"log2xe(0,2),贝ij(log2%-tz)(log2x-2)二。一a)"-2),

令c⑺=("a)(7-2),re(o,2),

则。⑺=(/—])(%—2)=产—(a+2)/+2a在(0,2)内的最小值为—“

a

由c(7)=〃一(°+2)f+2a的图象开口向上，对称轴为/=—+1,

2

0<-+1<2

2

可得《,解得。=1,即实数。的值为1.

8a—(a+2)1

4--4

19.已知数列｛%｝的前〃项和S“满足2s.=3(a〃—1)(〃eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)记a=7_启—北是数列｛〃｝的前〃项和，若对任意的〃eN*，不等式

(4-T)

1k

“丁时都成立’求实数上的取值范围;

(3)记％=—是否存在互不相等的正整数加，s,t,使加，s,7成等差数列，且q-1,

a”十乙

Cs-1,4-1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的加，s,t；如果不存在，请说明理由.

【正确答案】⑴%=3"；(3)不存在.

【分析】⑴当〃22时，25„_1=3(^-1),与题目中所给等式相减得：