2024北京某中学高一（下）期中数学试题及答案

2024北京汇文中学高一（下）期中

数学

一、选择题（每题5分，共50分）

1.（5分）若复数z=-2+3则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）已知向量之=（2,1）,b=（4,x）,且之〃3，则x的值为（）

A.-2B.2C.-8D.8

3.（5分）在三角形N8C中，角/,B,C对应的边分别为a,b,c,若/4=120°,a=2,6=2叵,

3

则2=（）

A.—B.C.—D.-

36666

4.（5分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）

A.冗B.TTC.A/2兀D.2n

3

5.（5分）已知尸为△NBC所在平面内一点，BC=2CP，贝U（）

A.AP=^^AB+|ACB.AP-yAB^AC

C.AP-yAB^-ACD.AP=yAB-^AC

6.（5分）已知非零向量W，b-则”|Z-EI=后|”是吗-2b=0"成立的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

7.（5分）在△NBC中，角/,B,C的对边分别是a,b,c,若2acos3=c,则△/BC的形状是（）

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

8.（5分）对于非零向量ir，m定义运算“义"：ir><n=|ir||n|sin0,其中。为ir，n的夹角.设a，b，

3为非零向量，则下列说法错误的是（）

A.axb=bxaB.（a+b）xc=axc+bxc

c.若ZxE=0,则W〃ED.Ixb=（-1）Xb

9.（5分）如图，直三棱柱48C-451cl中，ABLBC,AAX=AB,尸为棱小历的中点，。为线段小。

1

上的动点.以下结论中正确的是（）

A.存在点。，^BQ//AC

B.不存在点0,使8QL81C1

C.对任意点0,都有8。，/小

D.存在点Q,使3。〃平面PCCi

10.（5分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根

直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正

午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度

最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午

太阳高度角（BPZS4SC）为26.5°,夏至正午太阳高度角（即乙4DC）为73.5°,圭面上冬至线与夏

至线之间的距离（即。3的长）为a,则表高（即/C的长）为（）

夏至正午阳光

Aasin53°

,2sin47°

B2sin47°

asin530

ratan26.50tan73.5°

tan47°

nasin26.5°sin73.5°

,sin47°

二、填空题（每题5分，共30分）

11.（5分）己知复数z=i（1+力，则z=;0=.

12.（5分）已知向量2=（1，-1），b=（-2,1）,则2a+E=;向量:在式上的投影向量

2

的坐标为.

13.（5分）正四面体/BCD中，二面角/-8C-。大小的余弦值为.

14.（5分）已知点。（0,0）,A（1,2）,B（加，0）（加＞0）,则cos＜赢，0B＞=,

若8是以。/为边的矩形的顶点，则m=.

15.（5分）若八48。的面积为近（a2+c2-/）2）,且NC为钝角，则/3=；义的取值范围

4a

是.

16.（5分）如图矩形N8CD中，AB=2BC=2,£为边的中点，将△4DE沿直线翻转成△

AXDE.若〃为线段4c的中点，则在△NOE翻转过程中，下列叙述正确的有（写出所有序

号）.

①2M是定值；

②一定存在某个位置，使CELD41；

③一定存在某个位置，使。

④一定存在某个位置，使MB〃平面小OE.

三、解答题（每题14分，共70分）

17.（14分）如图，在四棱锥尸-48CD中，如，底面48CD,底面/BCD为正方形，E,尸分别是42,

尸2的中点.

（I）求证：£F〃平面尸40；

（II）求证：EFLCD.

P

18.（14分）已知/（x）=y[3sin2x+2cos2x.

（i）求y（x）的最小正周期及单调递减区间；

（II）求函数/（X）在区间[0,上的最大值和最小值.

19.（14分）如图，四边形N2CD是菱形，DE_L平面4BC。，AF//DE,DE=3AF.

3

(1)求证：平面84P〃平面CDE；

(2)求证：平面E/CLL平面E8D；

(3)设点M是线段AD上一个动点，试确定点M的位置，使得〃平面2斯，并证明你的结论.

20.（14分）已知在△48C中，sin2^=sin5sinC.

(1)若//=工，求的大小;

3

(2)若灰;=1,求△4BC的面积的最大值.

21.(14分)对于数集丫=｛-1,肛，血，…其中0cxi＜应"、2,定义向量集y=｛ZG=

(s,Z),sGX,tEX｝,若对任意16匕存在石6匕使得£;石=0，则称X具有性质尸.

(I)判断｛-1,1,2｝是否具有性质产；

(II)若x＞2,且｛-1,1,2,x｝具有性质P,求x的值；

(IID若X具有性质尸，求证：1b,且当乙＞1时，修=1.

4

参考答案

一、选择题（每题5分，共50分）

1•【解答】解：复数z=-2+3

则复数z在复平面内对应的点（-2,1）位于第二象限.

故选：B.

2.【解答】解：•••2=（2,1）,b=（4,x）,且;〃

•*.2x-4=0,即x=2.

故选:B.

3.【解答】解：：/4=120°,。=2,b=2愿,

3

由正弦定理可得：

sinAsinB

sinB=b.43vVs1

SIM-sinA二一--

aNZ/

,/N/=120°

.•.3=30°,

即B=2L.

6

方法2：VZA^U0°,.-.0°<S<60°,排除/,B,C,

故选：D.

4.【解答】解：由题知，如图,

为圆锥的轴截面，边长均为2,

贝帼锥的高P0=2X与3，

底面半径r=2X^口，

2

故圆锥体积vIjTr'poJ■兀XIXV3

oOo

故选：A.

试题5

试题

5.【解答】解：由于前=2而，

利用向量的线性运算，AC-AB=2AP-2AC-

整理得:AP=^AB^-AC.

故选：A.

6.【解答］解：若非零向量a，b®足a-2b=0,则a-b二b，Ia-bI=Ibb

故"I=RI"是"a-2b=0"成立的必要条件，

若|a-b|=|b|，两边同时平方可得，a2-2^•b=0,a，(a-2b)=0，

令2(1,0)，b=(1.时,满足非零向量a，-2b=(0,a•(a-2b)=。成立，

但工-2b卉I.

故"|Z-EI=|bI"不是“；-2芯=3”成立的充分条件，

综上所述，“|=|E是"a-2b=0v成立的必要不充分条件.

故选:B.

7.【解答］解：c=2acos2,由正弦定理可得

sinC=sin(4+5)=2siih4cos5,

由两角和的正弦公式可得：siih4cos5+cos4sinS=2siiL4cos5,

siiL4cos5=cosZsinB，

可得taiL4=tan5,

又0V4,5<n,

；.A=B,

故△45C的形状为等腰三角形.

故选：A.

8.【解答】解：非零向量ir，门，定义运算"X"：irX口=|加Hsin。，其中。为ir，n的夹角.

故：@aXb=aXb=|a||bIsin8,

故Z正确.

②aXb二IaIIbIsin0=0，

贝！J：e=o或n,

所以：a和b共线，

故：C正确.

③由于：aXb=(-a)Xb=|a||b|sin0，

故：。正确，

所以利用排除法得到：8错误.

试题6

试题

故选：B.

9.【解答】解：

N选项，由于80n平面N8C=8,B氏AC,NCu平面/BC,贝ij80,/C一定异面，/选项错误;

8选项，根据直三棱柱性质，881，平面NBC,BCu平面N8C,故3SJ_8C,

又ABLBC,ABCBBi=B,AB,幽u平面/幽小，

故2C_L平面48314，

又A41U平面48214，

故8C_L时，

显然8C〃SCi，

即BXCXLBAX,

故小，0重合时，BQLBiCy8选项错误；

C选项，直棱柱的侧面/85小必是矩形，

而AA\=AB,

故矩形ABB.成为正方形,

则

8选项已经分析过，8CLL平面/8814，

由481u平面ABBMi，

故4BJ2C,

又BCCBA[=B,BC,“u平面BC41，

故NBJ平面8c41，

又BQu平面BCAi，

则8。，/当必然成立，C选项正确；

。选项，取中点M,连接CM,PM,

根据棱柱性质可知，CM和QP平行且相等，

故平面尸CQ可扩展成平面CMPCi，

过5作BALLCM,垂足为N,

根据BBi±平面ABC,BNu平面ABC,

故BBiLBN,

显然AB1//CC1，

试题7

试题

故5MLeci，

由BALLCM,CCiDCM=C,CQ,CA/u平面CWQ,

故8N_L平面CMPCi，

若2。〃平面PCCX,

则BQLBN,

过0作0O〃AB1，交4cl于O,连接8。，于是80081共面,

又BQCBBi=B,BQ,即u平面也困，

故8N_L平面BQOBi，

由于5Qu平面2。困，

故2N_L3i。延长。。交/C于J,

易得BiO〃BJ,

则BJLBN,

而J在线段NC上，

这是不可能的，。选项错误.

故选：C.

10.【解答】解：由题可知：/BAD=73.5°-26.5°=47°,

在△R4D中，由正弦定理可知：一理——=一号一，即一?--=——

sin/BADsin/ABDsin47sin26.5

则AD产噂?°,

sin47

又在△ZCZ)中，噌■二sinNADC=sin73.5°，

AD

所以AC&sin26.50sin73.50

sin470

故选：D.

二、填空题(每题5分，共30分)

11•【解答】解：z=i(1+z)=-1+3

则z=-1-i，lzl=V(-1)2+12=V2,

故答案为：-1-1；y]~2-

12.【解答]解：&=(1,-1),b=(-2,1),

则2a+b=(2,-2)+(-2,1)=(0,-1)；

a*b=lX(-2)+(-1)X1=-3,Ib\=y](-2)2+l2=V5J

—►—•—•

故向量Z在E上的投影向量的坐标为：芸且xE—=_3]=(旦，-旦).

|b||b|5。55

试题8

试题

故答案为：（o,-1）；（旦，-3）.

55

13•【解答】解：设正四面体N8CD的棱长为2,

取8C中点O,连接/。，DO,则就是二面角/-8C-D的平面角,

,:AO=DO=6,

,c°s/AOD;立必科占L

2XV3XV33

故答案为：1.

3

14.【解答】解：根据题意，点。（0,0）,A（1,2）,B（加，0）,

则0A=（I，2）,0B=（m,0）,贝”0A|=45，10B尸加，

OA.0B=m,

故cos<赢，~55>=¥理=遮,

10AIIOBI5

若2是以CM为边的矩形的顶点，而赢与6诉垂直，则必有屈，赢，

又由屈=（m-1,-2）,贝第瓦•瓦=（加7）+2X（-2）=0,解可得加=5,

故答案为：近_,5.

5

15.【解答】解：ZUBC的面积为1（次+,2-62）,

4

可得：1.（a2+c2-Z,2）=Lcsin8,=V^,

42cosB

可得：taii8=J5，所以8=三，/C为钝角，AE（0,2），

36

试题9

试题

tanA=---，

cotA

---e（我，+°°）.

tanA

S=gi^=sin（A+B）=cos2+，sin5=L恒16（2,+-）.

asinAsinAtanA22tanA

故答案为：—；（2,+8）.

3

16.【解答】解：对于①④，取CD中点R连接MF,BF,则板〃。小，BF//DE,

平面〃平面，也〃平面小。£,故④正确，

由/小MF=^AXD=^,FB=DE=y[2>

由余弦定理可得MB2^MF2+FB2-2MF•FB♦cos/MFB=2,

4

所以“2=微堤定值，故①正确，

对于②，当4C=遮时，

因为小£=1,CE=&,所以A]C2=AIE2+CE2,

所以4E_LCE,

因为矩形N8CD中，DE=CE=M，DC=2,

所以DE2+CE2^DC2,即DE±EC,

又因为NlECDEnE,所以CE_L平面小。£,

所以CEL'i，故②正确，

假设③正确，即在某个位置，使DEL4C,

又因为矩形N8CD中，DE=CE=®,DC=2,

所以DE2+CE2=DC2,BPDELEC,

又因为4CAEC=C,所以。E_L平面小EC,

则这与。4，小£矛盾，

所以不存在某个位置，使小C,故③错误.

故答案为：①②④.

三、解答题（每题14分，共70分）

试题10

试题

17.【解答】证明：（I）£,尸分别是尸3的中点，

可得EF〃P4,

而斯0平面尸40,P/u平面尸40,

所以所〃平面P4D；

（II）尸。_L底面48mPDu平面P4D,

所以平面P4D_L平面48cD,平面尸4DC平面4BCD=4D,

因为底面/BCD为正方形，CDLAD,CDu平面/BCD,

所以CO,平面尸40,

所以CDA.PA,

由（I）可得E尸〃P4

所以EF_LCD

18.【解答】解：(I),:于(x)=^3sin2x+2cos2x=^3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+---)+1,

6

'.f(x)的最小正周期T=2"=1T,

2

令2瓦+2Lw2x+2Lw2汨+空•,keZ,解得：H：+2E_W尤WArt+2^■,任Z,

26263

可得/（X）单调递减区间为内1+工，左兀,kEZ.

6

(II)Vxe[O,

•..02x+—兀e1=rr—兀,-7-兀--i1,

666

.♦.由函数图象性质可有,

当2x+3-=-^-,即-时，f(x)max=3；

626

当2%+3-=।丁“即x=2L时，f（尤）min—o.

662

19.【解答】证明：（1）'JAF//DE,AFC平面CDE,DEu平面CDE,

；./尸〃平面CDE.

同理，/2〃平面CDE,

'：AF^AB=A,

平面34F〃平面CDE；

(2):四边形/BCD是菱形，

：.AC±BD,

'：DE±^ABCD,/Cu平面/BCD,

：.AC±DE,

试题11

试题

•:BDCDE=D.

；./C_L平面£8。，

平面EAC,

平面E4C_L平面EBD-,

解：（3）8A/=工8。时，〃平面加卯，理由如下:

3

作MN//ED,则平行且等于工2。，