2024-2025学年苏科版七年级数学下册期中易错题压轴题专项复习（考试范围：第7~9章）【19大题型】含答案

期中易错题压轴题专项复习【19大题型】

（考试范围：第7〜9章）

【苏科版2024]

A题型梳理

【易错篇】

【考点1哥的运算】

【考点2单项式乘单项式】

【考点3单项式乘多项式】

【考点4多项式乘多项式】

【考点5完全平方公式】

【考点6平方差公式】

【考点7平移】

【考点8轴对称与轴对称图形】

【考点9旋转】

【考点10中心对称与中心对称图形】

【压轴篇】

【考点11哥的运算的逆用】

【考点12多项式乘积不含某项求字母的值】

【考点13多项式乘多项式与图形面积】

【考点14整式乘法中的规律性问题】

【考点15整式乘法中的恒成立问题】

【考点16利用平移、轴对称、旋转设计图案】

【考点17多结论类问题】

【考点18新定义类问题】

【考点19阅读理解类问题】

A举一反三

【易错篇】

试卷第1页，共26页

【考点1幕的运算】

【例1】（24-25七年级•四川资阳・期末）

2024

4

1.计算IX（1.25产3X5的值等于（）

A.4B.-4C.5D.-5

【变式1-1]（24-25七年级•吉林白城•阶段练习）

2.下列计算正确的是（）

A.a5-a5=a25B.（-5a5/;5）2=-25a1%10

C.x2+x6=x8D.-m7=-m5

【变式1-2]（24-25七年级•四川成都•期末）

3.已知4"36+1=0,贝1|32*34":27、的值为.

【变式1-3]（24-25七年级•重庆渝北・期末）

4.若4"=6,8"=16,a,6为整数，则24"'=.

【考点2单项式乘单项式】

【例2】（24-25七年级•四川遂宁•期末）

5.设（廿一、"2）.卜511y）=//,则，3机]的值为（）

A.—B.—C.1D.~

822

【变式2-1]（24-25七年级•四川成都•期末）

6.先化简，再求值：（-2°”）（-仍2）2+[-；0263].46,其中°=2,b=l.

【变式2-2]（24-25七年级•山东聊城•期末）

7.若（a"。.卜产则加+〃的值为.

【变式2-3]（24-25七年级•浙江金华•期中）

8.如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方

式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等.

试卷第2页，共26页

辱霞豳幽

(1)若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为厘米；

(2)若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是平方

厘米.

【考点3单项式乘多项式】

【例3】(24-25七年级•四川成都・期末)

9.如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形4BCD内，未被

覆盖的部分用阴影表示.如果当8c的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保

持不变，那么6：。的值为.

图1图2

【变式3-1](24-25七年级•广东深圳•期中)

10.若x(x+a)+3x-26=/+5x+4恒成立，贝!.

【变式3-2](24-25七年级•湖南邵阳・期末)

11.数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得

的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题："-2/(3x--+1)=-6x3+4x2y-2x2^

么中的一项是.

【变式3-3](24-25七年级•湖南常德・期末)

12.如图，某校园的学子餐厅Wi-Fi密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，

输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络.若他输入的密码是2842・，最后两被隐藏了,

那么被隐藏的两位数是.

试卷第3页，共26页

账号:XueZiCanTing

5㊉3㊉2=151025

9㊉2㊉4=183654

8㊉6㊉3=482472

学子餐厅欢迎你!

7㊉2㊉5=143549

【考点4多项式乘多项式】

【例4】（24-25七年级•山西临汾•期末）

13.有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为20+6、宽为。+28的长

方形，需要3类卡片（）

a

qb

a4类

bB类"C类|

A.2张B.3张C.4张D.5张

【变式4-1]（24-25七年级•河南省直辖县级单位•期末）

14.有一块长为（加+6）米为正数），宽为（加+3）米的长方形土地，若把这块地的长增加

1米，宽减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（）

A.没有变化B.变大了C.变小了D.无法确定

【变式4-2]（24-25七年级•四川成都・期末）

15.先化简，再求值：；6（2"46）-（2。+9伍-6）-2（仍+1）,且单项式与_3肛“是同

类项.

【变式4-3]（24-25七年级•福建福州•期末）

16.发现规律：

我们发现，（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得

出：(x+p)(^x+q)=x2+px+qx+pq=x2+[^p+q)x+pq.

运用规律

⑴如果（x+3乂尤-5）=x?+加X+”,那么机的值是,“的值是

(2)如果(x+a)(x+b)=x2+3x-2.

①求（。-3）伍-3）的值;

试卷第4页，共26页

②求的值.

【考点5完全平方公式】

[例5](24-25七年级•甘肃兰州・期中)

17.已知=2a-46+6c-14,则的值是()

A.4B.-4C.8D.-8

【变式5-1](24-25七年级•上海闵行•期中)

18.如果关于x的整式9x2-(2切+；是某个整式的平方，那么小的值是.

【变式5-2](24-25七年级•福建漳州・期中)

19.若x,y是自然数，且满足x2+/=4x+2y-4,则x+昨.

【变式5-31(24-25七年级•湖南娄底•期中)

20.已知(x-2023『+(x-20257=24,则(苫一2024)2的值是()

A.12B.11C.13D.10

【考点6平方差公式】

【例6】(24-25七年级•河南新乡•期中)

21.某同学在计算3(4+1)(4?+1)时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数

差公式计算：3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)162-1=255,请借鉴该同

学的经验，计算：具i+£|+/=一•

【变式6-11(24-25七年级•甘肃兰州•期中)

22.下列各式中能用平方差公式计算的是()

A.(x+y)(x+y)2B.(x+y)(y-x)

C.(x+y)(-x-y)D.(-x+j)(y-x)

【变式6-21(24-25七年级•福建泉州・期中)

23.为了美化校园，学校把一个边长为am(a>4)的正方形跳远沙池的一组对边各增加1m,

另一组对边各减少1m,改造成长方形的跳远沙池.如果这样，你觉得沙池的面积会()

A.变小B.变大C.没有变化D.无法确定

【变式6-3](24-25七年级•山西临汾•期中)

试卷第5页，共26页

24.霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁.其结

构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸

结合的连接方式一榨卯（sunmao）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精

湛超群绝伦.如图①是一个样卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为

（2“+b）cm,宽为（2a-6）cm的长方形，中间凿掉一个边长为acm的正方形，且该零件的高

为acm.求这个零部件体积.

图D

【考点7平移】

【例7】（24-25七年级•广东广州•期中）

25.现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修

建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方

【变式7-1］（24-25七年级•安徽合肥・期末）

26.日常生活情境：移动储物柜，小明沿墙挪动墙角的三角储物柜，示意图如图所示.则下

列能表示平移距离的是（）

C.线段CE的长D.线段/。的长

试卷第6页，共26页

【变式7-2]（24-25七年级•陕西咸阳•期末）

27.如图，在三角形48c中，ABAC=90°,AB=4cm,BC=5cm,AC=3cm,将三角形

48c沿8c方向平移acm（a<5）得到三角形。斯，且NC与。E相交于点G,连接AD,则

【变式7-3]（24-25七年级•广东清远•期末）

28.如图，在网格上，平移△48C,并将△4BC的一个顶点/平移到点。处，其中点£和

点3对应，点厂与点C对应.

A

B

（1）请你作出平移后的图形AO跖；

（2）线段与所的关系是：

【考点8轴对称与轴对称图形】

[例8]（24-25七年级・广西河池•期末）

29.如图，在中，ABAC=9Q°,NB=50。，AD1BC,垂足为D,AADB与

关于直线/。对称，点8的对称点是点夕，则NC49的度数为.

【变式8-11（24-25七年级•甘肃陇南•期末）

30.下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（）

试卷第7页，共26页

【变式8-2］（24-25七年级•江苏泰州,期末）

31.如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形.的顶点均在格点上，请完

⑴画出&ABC关于直线DE对称的△/££；

⑵在直线。E上画出点尸，使尸8+PC最小.

【变式8-3］（24-25七年级•浙江杭州・期末）

32.一张矩形纸片ABC。，若如图（1）翻折，点A的对应点4恰好落在尸夕上，折痕分别

为PE,PG,则/即G的度数为.若如图（2）翻折，点A的对应点H落在/8'PG的

则ZA'PB'的度数为

试卷第8页，共26页

【考点9旋转】

【例9】（24-25七年级•安徽合肥・期中）

33.如图，将方格纸中的图形绕点。逆时针旋转90。后得到的图形是（）

【变式9-1]（24-25七年级•广东广州・期末）

34.“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线

垂直照射在太阳光板上.现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针最小旋转

（）可以使得接收光能最多.

支点/久九世

A.46°B.44°C.36°D.54°

【变式9-2]（24-25七年级•广东潮州•期中）

35.如图所示，把一个直角三角尺4CB绕着30。角的顶点2顺时针旋转，使得点/落在C2

的延长线上的点£处，则ND8C的度数为（）

A.120°B.135°C.150°D.160°

试卷第9页，共26页

【变式9-3］（24-25七年级•广西百色•期末）

36.如图，五角星图案绕着它的中心。旋转〃。后第一次与自身重合，则"的值为.

【考点10中心对称与中心对称图形】

【例10】（24-25七年级•山东临沂•期末）

37.未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色.下列是世界著名人工智能品牌公司的图标,

其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

【变式10-1］（24-25七年级•新疆阿克苏•期中）

38.如图，A42c与关于点。成中心对称.下列说法：①乙BAC=ABJA］CI；@AC

=AC；③。4=。小；④A48C与A4//G的面积相等，其中正确的有—.（只填序号）

【变式10-2］（24-25七年级•江苏南通•假期作业）

39.如图，AB1BC,AB=BC=2cm,弧OA与弧OC关于点O成中心对称，贝UAB、BC、

弧CO、弧OA所围成的面积是cm2.

试卷第10页，共26页

【变式10-3]（24-25七年级•北京•期中）

40.如图，在平面直角坐标系工⑪中，△/SC的顶点坐标分别为42,4）,8（1,0）,C（5,l）.

（1）将ZUBC绕原点。逆时针旋转90。得到△44G，其中/,B,C分别和4,Bx,。对应,

画出△44。，

（2）画出MBC关于点o成中心对称的.

【压轴篇】

【考点11幕的运算的逆用】

【例11】（24-25七年级•湖北武汉•阶段练习）

41.若。加=20,加=20,ab=2Q,贝!|---=.

mn

【变式11-1]（24-25七年级•四川巴中•期中）

42.已知2*+2.3»2=36£-3,贝i]x=.

【变式11-21（24-25七年级•安徽滁州•期中）

43.已知X=28+2”.

（1）若、=/，则自然数加=；

（2）若x+2"是一个完全平方数，则自然数〃=.

【变式11-31（24-25七年级•浙江温州•期中）

44.己知整数。、b、c、d满足。<6<c<d且2"3“4。5”=10000,贝！]4a+36+2c+d的值为,

试卷第11页，共26页

【考点12多项式乘积不含某项求字母的值】

【例12】（24-25七年级•湖北武汉•期中）

45.如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为Sj,S2,两个小正方形，

面积分别为S3,S4,若2S1—S2的值与AB的长度无关，则邑与S4之间的关系是.

【变式12-1］（24-25七年级•福建泉州•期末）

46.对于多项式x-a,x-b,x-c,x-d（a,b,c,d是常数），若无与x-6的积减

去x-c与x-d的积，其差为常数，则0,b,C,4应满足的关系是（）

A.a+b=-c—dB.a-b=c-d

C.a+b=c+dD.ab=cd

【变式12-2］（24-25七年级•四川巴中•期中）

47.若（―+〃x+3）（x2-3x+〃?）的展开式中不含f和项，则机+〃=

【变式12-3］（24-25七年级•安徽淮北•期中）

48.［知识回顾］

有这样一类题：

代数式ax-y+6+^x-5y-\的值与x的取值无关，求。的值；

通常的解题方法；

把x,y看作字母，。看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的

系数为0,即原式=（a+3）x-6y+5,所以，+3=。,即0=-3.

AD

图1图2

［理解应用］

试卷第12页，共26页

⑴若关于x的多项式（2机-3）x+2»?一3加的值与x的取值无关，求m的值;

（2）己知3［（2x+l）（x3刈+6（-x2+孙-1）的值与x无关，求y的值;

（3）（能力提升）如图1,小长方形纸片的长为。、宽为从有7张图1中的纸片按照图2方

式不重叠地放在大长方形NBCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，

设右上角的面积为岳，左下角的面积为$2，当的长变化时，$2的值始终保持不变,

求。与6的等量关系.

【考点13多项式乘多项式与图形面积】

【例13］（24-25七年级•云南迪庆・期中）

49.【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式.

图1图2图3图4

（1）【知识探究】如图1,是用长为2°,宽为2b的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形,

然后按照图2拼成一个正方形，可以得到（。-6）2、（a+6>、成三者之间的等量关系式：

（2）【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等

式，如图3,观察大正方体分割，写出可以得到的等式；若。+6=6,

ab=7,求/+〃的值；

（3）【拓展探究】如图4,两个正方形/BCZ）、CEFG的边长分别为x,y（x>y）若这两个正

方形的面积之和为34,且8E=8,求图中阴影部分的面积.

【变式13-1］（24-25七年级•北京•期中）

50.长方形窗户/BCD（如图1）,是由上下两个长方形（长方形NEED和长方形E8C尸）

的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳

帘的高度分别是。和2b（即。b=a,BE=2b）,其中a>6>0.当遮阳帘没有拉伸时（如

图1）,若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形/2CD）的

面积.如图2,上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2a至G”.当下面窗户

试卷第13页，共26页

⑴求长方形窗户/BCD的总面积；（用含°、6的代数式表示）

22

（2）如果上面窗户的遮阳帘拉伸至=下面窗户的遮阳帘拉伸至CP=《8C处时，窗

户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求？.

b

【变式13-2]（24-25七年级•福建福州•期中）

51.我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合

百般好，隔离分家万事休.”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着

重要的作用.在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘.

情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含。、b

的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；

情境一

情境二乙同学用1块A木片、4块8木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所

拼正方形的边长（用含。、6的式子表示），并求所用C木片的数量；

情境二

情境三丙同学声称自己用以上的A,B,C三种木片拼出了一个面积为21+7成+4〃的长

方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形.

试卷第14页，共26页

你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形.(要求:

所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽).

【变式13-3](24-25七年级•黑龙江哈尔滨•期中)

52.八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解,

为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具的正方形6x6的正方形8,axb的长方

形C),

(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张/和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积

法”可以得出的整式乘法关系式为

⑵在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片("xa的正方形bxb

的正方形2,。*6的长方形C),并要求同学们用2张1张8和3张C拼成一个长方形,

请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；

框1

()()=2a2+3ab+b2

(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线

上添加适当的式子，使等式成立；

+=2/+2b2

试卷第15页，共26页

(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知(。+h2+(。-6『=40,求2a+6的最大值,

请认真思考，并完成解答.

【考点14整式乘法中的规律性问题】

【例14】(24-25七年级•四川眉山•期中)

53.观察下列各式：

(x-l)(x+l)=x2-1;

(x-l)(x2+x+l)=x3-1;

(x-l)(x3+x2+x+1)=x4-1;

根据规律计算：22022—22021+2202°—2仰9+……+2,—2?+2?—2的值是()

02023_)

A.-——B.22023-1C.—22023

3

【变式14-1](24-25七年级•广西南宁•期中)

54.阅读：在计算(xf(x"+x"—+...+X+1)的过程中，我们可以先从简单的、特殊的

情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方

法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般.如下所示：

⑴【观察】①(x-l)(x+l)=；

②@_1乂/+x+l)=；

(3)(X-1)(X，+x~+x+l)=；............

(2)【猜想】由此可得：(x-l)(x'+xL-..+x+i)=；

(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题:计算：52°24+523+52022+52必+…+5+1的

值.

【变式14-2](24-25七年级•广东湛江•期末)

55.观察并验证下列等式：

13+23=(1+2)2=9,

13+23+33=(1+2+3)2=36,

试卷第16页，共26页

13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100,

（1）续写等式：F+23+33+43+53=.（写出最后结果）

⑵我们已经知道1+2+3+…+〃=；77（"+1）,根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：

F+23+3,+…+（"-厅+/=；（结果用因式乘积表示）

（3）利用（2）中得到的结论计算：

33+63+93+---+573+603；

【变式14-3］（24-25七年级•河南商丘•期末）

56.口历与人们口常生活密切相关，口历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份

的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如7x20-6x21=

11x16-9x18=,不难发现，结果都是.

2025年1月

日—二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

（1）完成上面的填空.

（2）请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律.

（3）若设每个方框的左上角数字设为"，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明.

【考点15整式乘法中的恒成立问题】

【例15］（24-25七年级•上海•期中）

57.m、〃为正整数,如果（-/）"=-d"成立，那么（）

A.机必为奇数B.〃必为奇数

C.加、"必同为奇数D.加、"必同为偶数

【变式15-11（24-25七年级•安徽安庆•阶段练习）

58.等式x（2x+a）+4x-3b=2x~+5x+6成立，贝|a=,b=.

【变式15-2］（24-25七年级•福建泉州•期中）

试卷第17页，共26页

59.若规定a、6两数之间满足一种运算：记作即：若优=6,贝U(a,b)=c.我们叫

这样的数对称为“一青一对”.例如:因为=9,所以(3,9)=2.

(1)计算(4,2)+(4,3)=()；

(2)在正整数指数幕的范围内，若(421,5")2(4,5)恒成立，且x只有两个正整数解，则左

的取值范围是.

【变式15-3](24-25七年级•浙江宁波•期末)

60.对定义一种新运算尸，规定：尸(x,y)=(mx+〃.y)(3x-j)(其中也"均为非零常

数).例如：尸(1,1)=2刃+2〃，尸(-1,0)=3加.当b(1,-1)=-8*(1,2)=13,则

尸(x,y)=；当x?//时，尸(%/)=尸(了,到对任意有理数%了都成立，则加,"满足

的关系式是.

【考点16利用平移、轴对称、旋转设计图案】

【例16](24-25七年级•辽宁鞍山•阶段练习)

61.实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖(图①中阴影正方形的边长是大正

方形边长的一半)，请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案.(阴影部

分用斜线画)

(1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中

心对称图形而不是轴对称图形；

(2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形,

且互不相同.(两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案)

【变式16-1](24-25七年级•贵州安顺•期中)

62.如图，图2中的图案可以看作是由图1中的基本图案通过一定的图形变换形成的，这个

图形变换不可能是()

试卷第18页，共26页

图1图2

A.旋转B.轴对称C.平移D.轴对称和旋转

【变式16-2】（2024•四川广安・中考真题）

63.在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3x3正方形方格纸，剪掉其中两个方

格，使之成为轴对称图形.规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅

图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）

图1图2

请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3x3的正

图3

【变式16-3]（24-25七年级•江苏南京•期末）

64.平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式.图（1）,（2）中的梯形I〜V的顶点都在边

长为1个单位长度的正方形网格点上.

试卷第19页，共26页

（1）如图（1）,梯形ii可以看成由梯形i经过一次得到；梯形in可以看成由梯形I经过一

次得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）；

⑵如图（2）,梯形v可以看成由梯形w经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转;

@1次轴对称；®1次平移和1次旋转；@1次旋转和1次轴对称.其中，所有正确结论的

序号是.

【考点17多结论类问题】

【例17］（24-25七年级•重庆•阶段练习）

65.已知。、b、c、d均为常数，e、/均为非零常数，若有两个整式/=/+ex+/,

5=5x3-6x2+10=a（x-l）3+Z＞（x-1）2+c（x-1）+（Z,下列结论中，正确个数为（）

①当/+8为关于X的三次三项式时，则7=-10；

②当多项式/乘积不含/时，则e=6；

（3）a+b+c=19；

④当A能被x-2整除时，2e+f=-4;

⑤若x=2%或加-2时，无论e和/取何值，A值总相等，则%=-2.

A.4B.3C.2D.1

【变式17-1］（24-25七年级•山东济南•期中）

66.定义：如果2"'=〃（w,"为正数），那么我们把小叫做"的。数，记作加=。（"）.例

如：因为2i=2,所以。（2）=1；因为2,=16,所以。（16）=4,。数有如下运算性质：

D（s“）=D（s）+O（。，D^=D（q）-D（p）,其中4＞尸.下列说法错误的是（）

A.。⑻=3

B.若。（3）=2,。⑸=a+6,O（15）=24+26

C.若D（“）=l,则0（/）=3

D.^fZ）（3）=2a-b,Z）（5）=a+b,则Z）H=-a+26

【变式17-2］（24-25七年级•河北张家口•期中）

67.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例.这个

试卷第20页，共26页

三角形给出了（。+h"（”=1,2,3,4,5,6）的展开式的系数规律.例如，在三角形中第三行的三

个数1,2,1,恰好对应（4+6）2=/+2仍+62展开式中各项的系数；第四行的四个数1,3,

3,1,恰好对应着（4+6）3=/+3力6+3/+63展开式中各项的系数，等等.

有如下两个结论：

①（a+b）'=a5+5a4b+10a3b2+10a2^3+5ab4+b5；

②当。=-2,6=1时，代数式/+3q26+3q62+〃的值是-］；

上述结论中，正确的有—（写出序号即可）.

【变式17-3］（24-25七年级•重庆沙坪坝•阶段练习）

68.若一个只含。字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘（。+1）,若该多项式的项数

是奇数，则用该多项式去乘称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数

是偶数，用该多项式去乘m+i）,若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘m-D称这

为第二此操作，以此类推.

①将多项式（力-1）以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；

②将多项式（〃+2a）以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；

③将多项式（/+2a+1）以上述方式进行4次操作后，当a=2时，所得多项式的值为243；

④将多项式（。-1）以上述方式进行〃次操作后所得多项式为+1）7;

四个结论错误的有（）

A.0B.1C.2D.3

【考点18新定义类问题】

【例18］（24-25七年级•四川成都•期末）

试卷第21页，共26页

69.定义一种新运算，对任意数。，b,必6=/+人_3,例如：22X1=22+1-3,

2x^y=（2x）~+y—3.

(1)设/=XA(〃?-2)X(加为常数)

①已知关于x的方程4=（|向-1）-—6为一元一次方程，求：加的值及方程的解.

②已知A与B为关于x的多项式，8="的值满足2"+2-27=8,若Nx5中不含一

次项，求：3机-〃的值.

⑵如果数对（凡6）满足=,我们称数对（。涉）为“嘉幸数”，已知数对（2,〃?）与（1,〃）

)+41(机一〃)+；m2n-Sn2+的值.

均为“嘉幸数”，求代数式4（加+n）（m+n）-2mn2024

【变式18-11（24-25七年级•浙江台州•期末）

70.规定两正数b之间的一种运算，记作{氏可：如果°。=%,那么{a,6}=c.例如：因为

34=81,所以{3,81}=4.小慧在研究这种运算时发现：{a,b}+{a,c}={a,6c},例如:

{5,6}+{5,7}={5,42}.证明如下：设{5,6}=x,{5,7}=%{5,42}=z,根据定义可得：

5*=6,5>=73=42,因为5隈5^=6x7=42=51所以5,x5>=5%=5=，即》+P=z,所以

{5,6}+{5,7}={5,42}.请根据前面的经验计算:

（1）{4,2}+{4,32}的值为；

（2）2x[mn,2mn]+^mn,^m2n^+^mn,-^m2n3^的值为.

【变式18-2]（24-25七年级•湖南长沙•期中）

71.阅读以下材料：

已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数

均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的

两个两位数为“幸福数对”，例如43x68=34x86=2924,所以43和68与34和86都是“幸福

数对”.

解决如下问题：

⑴请判断24与63是否是“幸福数对”？并说明理由：

（2）为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为。，个位数字为6,且

a*另一个数的十位数字为c,个位数字为1,且cwd,试说明“，b,c,"之间满足

试卷第22页，共26页

怎样的数量关系，并写出证明过程；

（3）若有一个两位数，十位数字为（V+x+1）,个位数字为（2/+X+3）；另一个两位数，十

位数字为（2/+X+5）,个位数字为（V+x+2）.若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两

位数.

【变式18-3]（24-25七年级•浙江宁波・期末）

72.对羽y定义一种新运算尸，规定：尸（苍力=（必+即）（3x7）（其中私”均为非零常

数）.例如：F（l,l）=2/n+2/7,F（-l,0）=3m.当b=-8,尸（1,2）=13,则

尸（x,y）=；当x?//时，尸对任意有理数乐〉都成立，则加,“满足

的关系式是.

【考点19阅读理解类问题】

【例19】（24-25七年级•上海闵行•期中）

73.阅读理解题

阅读材料：

两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10,该类乘法的速

算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计

算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0

补齐）.

比如47x43,它们乘积的前两位是4X（4+1）=20,它们乘积的后两位是7x3=21,所以

47x43=2021；

再如62x68,它们乘积的前两位是6X（6+1）=42,它们乘积的后两位是2x8=16,所以

62x68=4216；

又如21x29,2x（2+l）=6,不足两位，就将6写在百位：1x9=9,不足两位，就将9

写在个位，十位上写0,所以21x29=609

该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；

设其中一个因数的十位数字为。，个位数字是6,6表示1〜9的整数），则该数可表

示为10.+6,另一因数可表示为10。+。0-6）.

两数相乘可得：

试卷第23页，共26页

(10tz+Z?)[10a+(10-Z>)]

=100/+10”(10一6)+10皿+6(10一6)

=100a~+100<7—1Oab+10。6+6(10—b)

=100a2+100fl+/)(10-/>)

=100a(a+l)+b(10-b).

(注：其中。(。+1)表示计算结果的前两位，“10-6)表示计算结果的后两位.)

问题：

两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字

与个位数字之和是10.

如44x73、77x28、55x64等.

(1)探索该类乘法的速算方法，请以44x73为例写出你的计算步骤；

(2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是。，则该数可以表示为.

设另一个因数的十位数字是6,则该数可以表示为.(。、6表示1〜9的正整数)

(3)请针对问题(1)(2)中的计算,模仿阅读材料中所用的方法写出如：100。(a+1)+b(10-b)

的运算式：_____________________

【变式19-1](24-25七年级•湖北十堰•期中)

74.阅读材料：F的末尾数字是3,32的末尾数字是9,寸的末尾数字是7,3,的末尾数字是

1,3,的末尾数字是3,……，观察规律，34e=(3)x3,•日的末尾数字是1,「.S)”的末尾

数字是1,，(34)"x3的末尾数字是3,同理可知，3"+2的末尾数字是9,3碗+3的末尾数字是

7.解答下列问题：

(1)32M的末尾数字是14^2的末尾数字是二

(2)求22°22的末尾数字；

⑶求证：12的+37刈8能被5整除.

【变式19-2](24-25七年级•福建龙岩•期末)

75.在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用

下图的三角形解释二项和的乘方规律.杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪(1050

年左右)也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.杨辉三角两

试卷第24页，共26页

腰上的数都是1,其余每一个数为它上方(左右)两数的和.事实上，这个三角形给出了

(a+/))"(〃=1,2,3,4,5,6…)的展开式(按“的次数由大到小的顺序)的系数规律.例如，此三

角形中第三行的3个数1,2,1,恰好对应着(a+6)2=/+2M+62展开式中的各项系数，第四

行的4个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3孑b+3a&+"展开式中的各项系数，等

等.请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：

(1)写出(。+6)4的展开式；

(2)利用整式的乘法验证你的结论.

【变式19-31(24-25七年级•山东济南•期末)

76.【概念学习】

一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且

都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式.

【特例感知】

代数式机+〃+P中任意两个字母交换位置，可得到代数式〃+P+n+m,m+p+n,

因为“+”?+〃=。+〃+%=加+〃+〃，所以加+"+。是对称式.而交换式子加中字母加，

”的位置，得到代数式"一%,因为加-所以加一”不是对称式.

【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：

⑴下列代数式中是对称式的有(填序号)；

U(-2)-

④(加-〃J

⑵若关于加，〃的代数式左(加一〃丫+痴2—〃2为对称式，则左的值为；

⑶在(2)的条件下，已知上述对称式左(加-〃)2+而？_〃2=一]0,且机〃=],求(加-〃)2的

试卷第25页，共26页

值.

试卷第26页，共26页

1.A

【分析】本题主要考查积的乘方，同底数毫相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数塞相

乘法则的逆用.

4

先逆用同底数幕相乘将x-,再逆用积的乘方法则计算，即可求解.

【详解】解:

45

45

—X—X—x5

545

=lx-x5

5

=lx-x5

5

故选：A.

2.D

【分析】本题考查了同底数哥的乘除法运算，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键.

根据运算法则逐一运算判断即可.

【详解】解：A：a5-a5=aM,故A错误；

B：(-5。5/丫=25储明°,故B错误；

C：x2+x6=x2+%6,故C错误；

D：-m1=-m5,故D正确；

故选：D.

3.3

【分析】本题考查了代数式求值，同底数塞乘除法，嘉的乘方的逆运算，掌握相关运算法则

是解题关键.由题意可得4"36=-1,再将32x34。+27'变形为32+-J即可计算求值.

【详解】解：,・・4〃-36+1=0,

4a—3b——1,

答案第1页，共47页

24fl4fl2+4a3A

3X3+(33)"=32X3+3坊=3-=3，

故答案为：3.

4.2

4

【分析】本题考查了同底数幕除法的逆运算，积的乘方的逆运算，由同底数幕除法的逆运算

可得24A36=2，〃+2?J进而利用积的乘方的逆运算计算即可求解，掌握以上知识点是解题的

关键.

【详解】解：24°-3i=24ff^23Z,=(4")24-8"=624-16=,

9

故答案为：—.

4

5.A

【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数

幕的乘法法则是解题关键.

先根据单项式乘单项式法则列出关于加、〃的方程，进而求得加、〃的值，最后代入计算即

可.

【详解】解：