2025北京昌平某中学九年级（下）开学考数学试卷

2025北京昌平一中初三（下）开学考

数学

一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

2.若尤=2是关于x的一元二次方程/+依—「=0的一个解，则。的值为（

A.2B.4C.-2D.-4

3.抛物线y=（无+2）2—1的对称轴是（）

A.x——2B.x=2x=­lD.x=l

4.如图，AB是的直径，点。在AB的延长线上,。。切于点C,如果/A=30°,QD=4,

2#)D.3

5.点（―Ly），（2,%）在抛物线丁=3%2—1上，则%,%的大小关系是（

)

A.必<为B.%>为C.%=%D.无法判断

6.为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习.如图，架在消防车上的云梯A3可伸缩，也

可绕点5转动，其底部B离地面的距离3c为2m，当云梯顶端A在建筑物石尸所在直线上时，底部3到

E尸的距离为10m,若=则此时云梯顶端A离地面的高度AE的长是（）

EC

10c10c

A.10tantz+2B.--------1-2C.--------F2D.10sincz+2

tanacostz

7.我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献.根据中国汽车工业协会发布

的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能

源汽车销量的月平均增长率为x,则x满足的方程是（）

A.95.5（1+2%）=99.1B.95.5（1+2光丫=99.1

C.95.5（1+无）2=99.1D.95.5（1+/）=99.1

8.如图，已知。。及外一定点P,嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：

①点A是。。的中点；

②直线PQ,m都是。。的切线；

③点P到点。、点R的距离相等；

④连接尸。，QA,PR,RO,OQ,则5角必=白四边形依。。.

o

对上述结论描述正确的是（）

A.只有①正确B.只有②正确C.①②③正确D.①②③④都正确

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）

9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.分解因式：x2y-4y=.

11.已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点（L0），写出一个满足上述所有条件的二次函

数的解析式________________.

12.如图，D、e是VABC边A3、AC上的两点，且。石〃6C,DE：BC=1：3,那么AD:AB=

A

OX\f

BC

13.图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2,其液体水平宽度AB为16cm,

竖直高度CD为4cm,则。。的半径为cm

图1

14.如图，A3是的直径，PA,尸。是O。的切线，切点分别为A,C.若AB=2,

ZABC=60°,则24的长是.

6小明看到公园地面上有一个心形封闭图形A,为了研究图形A的面积，设计了一项试验：在图形A外部

绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子.假设石子落在圆内的每一点都是等可能

的(不考虑边界)，记录的试验数据如下:

掷石子的总次数P50100200500・・・

石子落在图形A内的次数加154380201・・・

石子落在阴影部分的次数〃3557120299・・・

随着投掷次数的不断增多，石子落在图形A内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形A内的

概率为；由此估计图形A的面积为..平方米.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点N(n,o),其中根+“=-2,抛物线

y=at2+Zzx+c(a>0)经过点M和N,以下四个结论:

yjk

—__________N、-

(91x

@abc>0-,②3a+c>0；③关于x的一元二次方程依2+H+2C=0无实根；④点(玉,％)，(马，％)

在抛物线上且在对称轴的同侧，当友一9|=2时，总有尿一%|23时，则aN1.其中所有正确结论的

序号是.

三、解答题(本题共12小题，共68分.第17-22题各5分；第23-26题各6分；第27-28题

各7分.)

17.计算：sin2450+cos30°-tan60°+(-2025)°.

x+5c

----<3x

18.解不等式组：<2

3x-4>2(x+1)

19.关于x的一元二次方程£+(m—3jx+2—m=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程的实数根均为非负数，求加的取值范围.

20.如图，菱形ABCD的对角线AC和3D交于点。，分别过点A、8作4石〃5£).BE//AC.AE和

BE交于点E.

(1)求证：四边形A£B。是矩形；

(2)连接EC,当NABD=60。.AB=2若时，求tanNCEB的值.

21.我国古代著作《管子•地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法.研究发

现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音.例如，三根弦按长度从长到短排列分别

奏出乐音“do,mi,so”,需满足相邻弦长的倒数差相等.若最长弦为15个单位长，最短弦为10个单

位长，求中间弦的长度.

22.在平面直角坐标系x0v中，函数y=履+次左w0)的图象经过点A(—2,—2)和3(1,4).

(1)求该函数的解析式；

（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y=+〃的值小于函数丁=履+伏左。0）的值，直接写出〃

2

的取值范围.

23.如图，在VABC中，AB^AC.

求作：射线AE,使得A石〃5c.

小靖同学的作法如下：

①以点A为圆心，AB长为半径画圆，延长R4交于点。；

②作^ABC的角平分线交©A于点E;

③作射线AE.

所以射线AE即为所求.

请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明

证明：连接DC，•••=•••点C在上.

•••是0人的直径，,NBCD=（）（填推理依据）

BE平分/ABC,ZABE=ZCBE.DE=CE，

ZDAE=ZCAE（）（填推理依据）.

•.AD=ACAE±DC.（）（填推理依据）.AE〃3C.

24.如图，的直径AB垂直弦CZ）于点E,歹是圆上一点，。是§尸的中点，连结C/交03于点G,

连结BC.

(1)求证：GE=BE.

(2)若AG=6,BG=4,求CO的长.

25.某兴趣小组通过实验研究发现：当音量X（单位：力）满足40VXW70时，听觉舒适度丁与音量工之

间满足二次函数关系.当音量为45dB时，听觉舒适度为6；当音量为55dB时，听觉舒适度达到最大值10.

10---T---T---T---T---T---T---T---T---'

9—t—*—*—*—*—*—*—*—:

8—♦—*—+—♦—*—+—+—*—■

7—:…：——：——：——：…：——：——：

6——1——1——।——।——f——：——1——।——；

5—i—1—i—I—j—i—I—I-J

4---T---T---T---T---T---T---T---T---:

3--T---T---T---T---T---T---T---T---{

2、—♦—♦—♦—♦—♦—+—+—♦—;

1---4.---*-------------S-----+

/\：：：：：：：：!A

v

O354045505560657075x/dB

图1

（1）求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象;

（2）在家听音乐时，小明听到的音量％与所坐位置到音箱的距离d（单位：m）的关系如图2所示.若

她希望听觉舒适度不小于9,根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离d的取值范围

（结果保留小数点后一位）.

26.在平面直角坐标系xQv中，二次函数y=G?+6x+c（a>0）的图象经过点（2,c）.

（1）求此二次函数图象的对称轴；

（2）若二次函数>=依2+灰+。（。>0）的图象上存在两点4（%,%）,B（x2,y2）,其中

m-l<xi<m,m+2<x2<m+4,且％=%，求机的取值范围.

27.在VABC中，ZB=ZC=a（O°<a<45°）,40，3（7于点加，。是线段上的动点（不与点2,

C,M重合），将线段Z）拉绕点。顺时针旋转2a得到线段DE.

A

图1图2

（1）如图1,如果点E在线段AC上，求证：MEVAC-,

（2）如图2,如果。在线段的0上，在射线MB上存在点厂满足。尸=OC,连接AF,EF,求

证：AE±FE.

28.在平面直角坐标系xOy中，OO的半径为2,对于点P,。和。。的弦A3,给出如下定义：若弦A3

上存在点C,使得点P绕点。逆时针旋转60。后与点。重合，则称点。是点P关于弦A3的“等边旋转

点”.

①点5的坐标为，点3（填“是”或“不是”）点P关于弦A3的“等边旋转点”；

②若点p关于弦A3的“等边旋转点”为点Q，则尸。的最小值为,当PQ与OO相切时，点。的坐

标为；

（2）已知点D&O）,E（-1,O）,若对于线段。石上的每一点又，都存在。。的长为2百的弦G”,

使得点M是点。关于弦GH的“等边旋转点”，直接写出/的取值范围.

参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.根据轴

对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意.

故选：B.

2.【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是

解题关键.

把龙=2代入一元二次方程/+公―々=o中即可解得a的值.

【详解】解：把x=2代入一元二次方程必+公一a=。中得：4+2a—a=0,

解得：a=-4-

故选：D.

3.【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称

轴，本题得以解决.

【详解】解：抛物线y=（九+2『—1的对称轴是直线x=—2,

故选:A.

4.【答案】c【分析】本题考查了切线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，连接

OC,由切线的性质得NOCD=90。，根据等腰三角形的性质得/OC4=/A=30°，通过外角性质可得

ZDOC=ZOCA+ZA=60°,则”=30。，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关

键.

【详解】解：连接OC,

D5

DC切OO于点C,

二ZOCD=90°,

OC^OA,

Z0CA=ZA=3Q°,

•••/DOC=ZOCA+ZA=60%

，ND=30°,

OC=~OD=2,

2

DC=^OD--OC~=A/42-22=2A/3，

故选：C.

5.【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，首先确定抛物线的对

称轴，再根据开口方向，根据二次函数的性质即可判断当,为的大小关系.

【详解】解：：抛物线y=—d―1,

2

.•.抛物线开口向上，对称轴为直线x=0,

在对称轴右侧y随x的增大而增大，

/.（一1,%）关于对称轴的对称点为（1,%）,

：1<2,

%<必•

故选：A.

6.【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键.

根据NABD的正切可得AD=AD-tana=10tanc,而DE=BC=2,进而即可求解.

【详解】解：在直角三角形A3。中，tana二——，

BD

AD=BD-tana=10tanc,

根据题意可得：DE=BC=2,

/.AE=AD+DE=10-tana+2,

故选：A.

7.【答案】c【分析】设新能源汽车销量的月平均增长率为x,根据题意，得95.5（1+无1=99.1,解答

即可.

本题考查了平均增长率问题，正确列方程解答是解题的关键.

【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为巧根据题意，得95.5（1+尤）2=99.1,

故选：C.

8.【答案】C【分析】由第一步作图痕迹可知直线MN是PO的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直

径所对的圆周角等于90。，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明△POQgdOR,由此

由第一步作图痕迹可知直线MN是P0的垂直平分线，因此点A是P0的中点，

故①正确；

VP0是0A的直径，

:.ZPQO=ZPRO=90°,

:.PQLOQ,PRYOR,

...直线产。，依都是。。的切线，

故②正确；

直线P。，网都是的切线，根据切线长定理，可知PQ=PR,

故③正确；

PQ=PR,OQ=OR,PO=PO,

:.APOQ^APOR,

・・°&POQ一°/OR，

•v=—S,

","aPOQ—22四边形PR。。,

:点A是PO的中点，

•V_J_C_J_C

••_2APOG_4Q四边形PRO。，

故④错误.

故选：C

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理.熟练掌握

以上知识是解题的关键.

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）

9.【答案】X>3【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式

有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件”被开方数要为非负数”可进行求

解.

【详解】解：由题意得：x-3>G,

%>3；

故答案为

10.【答案】y（x+2）（x-2）【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式和平方差公式法分解因式等知

识点，熟练掌握用平方差公式分解因式是解决此题的关键.先提取公因式乃然后利用平方差公式分解因

式即可.

【详解】解：龙2y—4y=＞（九2—4）=》（尤+2）（无一2）,

故答案为：y（x+2）（x-2）.

11.【答案】y^-x2+l（答案不唯一）【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌

握。＞0时，函数开口向上，有最小值；。＜0时，函数开口向下，有最大值.

【详解】：二次函数有最大值，

二次函数的二次项系数小于0,可设二次函数的解析式为y=-炉+c,

又•.•它的图象经过点（L0）,

0——1+c,

c=1f

二次函数的解析式为y=-x2+1.

故答案为：y=-/+1（答案不唯一）

12.【答案】-【分析】通过证明VADEsVABC,可求解.

3

【详解】解：•.•£）£〃BC，

:.AADE^AABC,

ADDE1

"AB~BC~3J

故答案为：--

3

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键.

13.【答案】10【分析】本题考查垂径定理，勾股定理.

由垂径定理得到AD=；AB=8cm,设的半径为xcm,则=。。=Xcm,

OD=OC-CD=x-4（cm）,在△AOZ）中，根据勾股定理有力加+=的2,代入即可解答.

【详解】解：连接A。，

C

,/OCLAB,

AD=—AB=—xl6=8（cm）,

22''

设G»O的半径为xcm,则。4=OC=xcm,

/.OD=OC-CD=(x-4)(cm),

:在△AOZ)中，AD2+OD2=的？，

即82+(X-4)2=X2,

解得：x=1。，

QO的半径为10cm.

故答案为：10.

14.【答案】百【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理的应

用.通过连接OC,利用切线性质得到垂直关系，证明4P也△OCP，得到NAOP=NCOP,再圆

周角定理求出/AOC,最后在RtAQ4P中应用勾股定理求得的长.

【详解】连接OC,OP,

VPA，尸C是的切线，

PA=PC,

又•••Q41Q4,OC1PC,OP=OP,

△OAPKOCP（HL定理），

ZAOP=/COP,

而NAOC=2/A3C=120°（圆心角是圆周角的两倍）,

ZAOP=6Q°,

在川△OAP中，ZAPO=30°,

A3是。。的直径，OA=^AB=1,

OA=-PO=1

2

PO=2

•••PO2=OAr+P/V

PA=y]PO--OA2=V3,

故答案为：73.

15.【答案】①.0.4②.0.4万【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概

率.用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比.

（1）大量试验时，频率可估计概率；

（2）利用概率，根据图形A的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积.

【详解】解：（1）因为石子落在图形A内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形A内的概率

为04；

故答案为：04；

（2）•.•圆的半径为1米,

它的面积为%xl2=n,

,/石子落在图形A内的概率为0.4,

.♦.估计图形A的面积为0.4万平方米，

故答案为：0.4万.

16.【答案】②④【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，对称轴，

数形结合法，抛物线与刀轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练

掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键.

①根据题中二次函数丁=以2+法+。的图像（a>0）判断开口方向，x=-—=-（m+n）=-l,以及抛

物线与V轴的交点，可判断a,b,c的符号，进而可判断；

②由二次函数y=a%2+6x+c的图象知：当x=l时，y=a+b+c>0,3y=3a+3>+3c>0；当

x=—3时，y=9a-3b+c>Q,两式相力口，化简可得

③一元二次方程公2+"+2c=0的判别式2c=〃—8ac，结合a,b,c的关系与符号，进

而可判断；

④设芯>%2，且％1，尤2在对称轴右侧（在左侧同理），则占=%+2,

y—%-%）+。（玉一%2）=4依2+4。+2），结合a,b,c的关系与符号，进而可判断.

①因为。>0,所以抛物线开口向上，

hbm+n

对称轴x=---，由于m+72=—2,即对称轴X=----=-----=—1,

2a2a2

可得b=2a>0,

抛物线与y轴交于负半轴，所以cvo,

综上，abc<0,结论①错误；

②：二次函数丁=奴2+6*+。的图象与刀轴交于^^〃,0)由图可知。

又,:m+n=-2,

•*--3<m<-2?

由二次函数y=ax2+/zx+c的图象可知：

当九=1时，y=a+b+c>03y=3a+3b+3c>Of

当％=—3时，y=9〃—3b+c>0,

两式相加，化简可得3〃+c>0,结论②正确；

③一元二次方程6之+汝+2。=0的判别式A=b2—4ax2c=b2—Sac，

因为b=2〃,所以△=4/—8QC=4(Q—2c),

由cv0M>0,可得Q—2C〉0,所以A=4a(a—2C)>。，方程有两个不相等的实根,

结论③错误；

④设为>42，且在对称轴右侧(在左侧同理)，

则%=%+2,

%-%_©+/?(%-x2),

=Q[(%2+2)-¥+Z?x2,

=〃(+4%2+4-%2)+2b,

=4%+4〃+2Z7,

♦:b=2a,

X—％=4%+4〃+4〃=4OV2+Sa,

x2>—1(在对称轴右侧)，

4ax2+x(-1)+8a=4a,

又瓦―%|23,

4tz>3,

3

即。》一，结论④正确.

4

综上，正确结论的序号是：②④.

三、解答题(本题共12小题，共68分.第17-22题各5分；第23-26题各6分；第27-28题

各7分.)

17.【答案】3【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算以及零指数幕，原式分别代入特殊角三角

函数值，再计算零指数幕，最后再进行加减运算即可.

「五丫A/3L

【详解】解：原式=—+—xV3+l

I2J2

13,

=—+—+1

22

=3.

18.【答案】X>6【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键.

先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分，即为不等式组的解集.

【详解】解：由土上<3x,

2

解不等式可得x>l,

由3x-4>2(x+l),

解不等式可得%>6，

综上可得，不等式组的解集为％>6.

19.【答案】(1)见解析(2)m<2【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，

一元一次不等式的应用.解题的关键在于正确的解方程.

(1)根据△=(m—3)2—4(2)=7/2—2m+1=(m—1『20,进行作答即可；

(2)由f+(m—3)x+2—m=0,解得西=1,x2=2-m,由方程的实数根均为非负数，可得

2-m>0,计算求解即可.

【小问1详解】

I?：vx2+(m-3)x+2-m=0,

・•.A=(加一3)2-4(2-m)=m2-2m+l=(m-l)2>0,

・•.该方程总有两个实数根；

【小问2详解】

解：-.-X2+(m-3)x+2-m=0,

=0,

解得，石=1,%=2-加，

•・•该方程的实数根均为非负数,

2—m>0,

解得，m<2,

•-m的取值范围为加工2.

20.【答案】（1）见解析（2）tanZCEB=—【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，

6

解直角三角形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键.

（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形AEBO是平行四边形，根据菱形的性质得到4403=90°,

根据矩形的判定定理得到四边形AEBO是矩形；

（2）根据菱形的性质得到ACS3D,求得。5=工45=!义26=百，得到4。=走48=3,根据

222

三角函数的定义即可得到结论.

【小问1详解】

-.AE//BD,BE//AC，

••・四边形AEBO是平行四边形,

•••四边形A3CD是菱形，对角线AC和5D交于点。，

.■.ZAOB=9Q°,

••・四边形AEBO是矩形；

【小问2详解】

-ZAOB=90°,ZABD=60°,

.­.sinZABO=—,cosZABO=—,

ABAB

AO=AB=2A/3x=3，BO=—AB=2^/3x—=y/3,

2222

■.-BE//AC,

.•.ZCEB=ZACE

•.•四边形AEBO是矩形，四边形4BCD是菱形，

-ZEAC=9Q°，AO^OC,AE=BO,

AC=2AO=6,AE=6，

•••tanZCEB=tanNACE.

AC6

21.【答案】12【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为》,列式求解即

可，掌握分式的运用是解题的关键.

【详解】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为X,

15xx10

解得，x=12,

检验，当x=12时，原式有意义，

••.中间弦的长度为12.

22.【答案】（1）y=2x+2

（2）n<5【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特

征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键.

（1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可.

（2）根据函数图象得出当x>2时，对于x的每一个值，函数4x+〃<6,即可求出〃的取值范围.

2

【小问1详解】

把A（-2,-2）和6（1,4）代入y=H+b（k力0）中，

,r-2k+b=-2

得\，

[k+b=4

,该函数的解析式为y=2x+2；

【小问2详解】

由（1）知：当龙=2时，y—2,x+2=6,

,当尤>2时，对于x的每一个值，函数y=的值小于函数y=Ax+仪左/0）的值，

...当x>2时，对于x的每一个值，函数,x+〃V6,

2

1C-

..—X2+“<6,

2

解得«<5,

，”的取值范围是〃<5.

23.【答案】（1）图见解析

（2）90°,直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆心角相等，三线合一【分析】（1）按照所给作法以

及角平分线的尺规作图法补全图形即可；

（2）由直径所对的圆周角是直角可得/3CD=90。，由相等的圆周角所对的弧相等可得£>E=CE，由等弧

所对的圆心角相等可得=由三线合一可得AELOC,然后由垂直于同一直线的两直线

平行即可得出结论.

【小问1详解】

解：使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）如下:

【小问2详解】

证明：连接AE，DC，

•：AB^AC,点。在04上.

（5班）是。4的直径，，/3。=90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理依据）

BE平分^ABC,ZABE=Z.CBE.DE=CE>

:./DAE=/CAE（等弧所对的圆心角相等）（填推理依据）.

.AD=AC>.-.AE±DC.（三线合一）（填推理依据）.二凡£〃3。.

故答案为：90°,直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆心角相等，三线合一.

【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），画出直线、射线、线段，直径所对的圆周角是直角，

角平分线的有关计算，利用弧、弦、圆心角的关系求证，根据三线合一证明，垂直于同一直线的两直线平

行等知识点，熟练掌握基本的尺规作图方法和技巧是解题的关键.

24.【答案】（1）证明见解析

（2）CD=8【分析】（1）利用ASA证明△CEG/△CEB,即可得到G£=M；

（2）连结OC,求出直径A5的长，即得半径OC=OB=5，求出OG,由（1）知

GE=BE=-BG=2,再求出OE,利用勾股定理求出CE,根据垂径定理即可求出8.

2

【小问1详解】

证明：..•。是3尸的中点，

/FCD=/BCD,即AGCE=Z.BCE,

,/CDLAB,

ZCEG=/CEB=90°,

又：CE=CE,

：.ACEG^ACEB(ASA),

:.GE=BE；

【小问2详解】

解：如图，连结OC,

AB=6+4=10>

OC=OB=-AB=5,

2

OG=OB—BG=5-4=1,

由(1)知6石=3石=工36=2,

2

OE=OG+GE=1+2=3,

■■CE=^OC2-OE2=4-

.直径ABLCD,

CD=2CE=2x4=8.

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理.熟练掌握圆的基本性

质、三角形全等的判定定理是解题的关键.

17

25.【答案】(1)y=-—(%-55)-+10,图象见解析；

(2)1.2m<^<4.0【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、从函数图象

获取信息等知识.

(1)利用待定系数法求出二次函数解析式，再画出二次函数的图象即可；

19

(2)当y=9时，9=-—(x-55)+10,解得％=60或%=50，由图2可得，当％=60时，d^l.2,

当％=50时，4。4.0,即可得到答案.

【小问1详解】

解：根据题意可设，y=a（x—55丫+10,

当音量为45dB时，听觉舒适度为6；

.・・6=a（45-55y+10,

解得a=———，

25

19

该二次函数的解析式为丁=-石（x-55）+10；

图1

19

当y=9时，9=-—（x-55）-+10,

解得％=60或％=50,

由图2可得，当％=60时，d«1.2m,当％=50时，d»4.0,

...小明所坐位置到音箱的距离d的取值范围1.2mVdV4.0,

故答案为：1.2mVdV4.0

26.【答案】（1）此二次函数图象的对称轴是直线x=l

（2）【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2）,正确设二次函数的顶点

2

式是解题关键.

（1）先求出二次函数经过点（0,c）和（2,c）,再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得；

（2）先根据（1）设二次函数的解析式为y=a（x—1『+左（。>0），再求出

%—工2）（%+%2-2），判断出入1-％2<0，2加+1〈再+犬2<2加+4,从而可得玉+%2=2,

据此建立不等式组，解不等式组即可得.

【小问1详解】

解：对于二次函数>=4«2+法+《。>0）,

当x=o时，y=c,

这个二次函数的图象经过点（o,c）,

又•.•这个二次函数的图象经过点（2,C）,

0+2

・••此二次函数图象的对称轴是直线X=--=1.

2

【小问2详解】

解：由（1）可设二次函数的解析式为>=。（九—1『+左（。>0）,

•.•这个二次函数的图象上存在两点A（石,%）,3（%,%），

y=。（石一1）一+左，%=。（％2一+左，

/.%—%=-1）+k—<2—1）~+k

=。（石-1）--a5-1）~

=a[（xT『-（工2T）1

=。（内一%）（再+X2-2），

m-l<x1<m,m+2<x2<m+4,

/.-x2<0,2m+1<+x2<2m+4,

%，a>0,

：.%一%=一/）（菁+/—2）=0,

；.%+4-2=0,即X]+%=2,

/-2m+l<2<2m+4,

.,1

•■—1<nt<一.

2

27.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，中位

线定理等知识点，掌握相关数学结论即可.

（1）由旋转可知：DM=DE,/MDE=2a,进而得NDEM=NDME；根据

ZMDE=ZDEC+ZC=2a,/C=a,可得NDEC=NC；结合在AMEC中，

/DME+NMED+ZDEC+NDCE=180°-即可求证；

(2)延长到点N,慢EN=FE,连接CN、AN,可推出。石〃CN,DE=-CN,证

2

△ABF注△ACN(SAS),即可求证；

【小问i详解】

证明：：线段DM绕点D顺时针旋转2a得到线段DE.

:.DM=DE，ZMDE=2a，

；./DEM=/DME,

:•/MDE=/DEC+/C=2a,ZC=a,

；•/DEC=a,

：./DEC=NC,

在AMEC中，；/DME+/MED+ZDEC+NDCE=180°,

：.ZMED+ZDEC=90°,

：.ZMEC=90°,

即ME_LAC；

【小问2详解】

证明：如图，延长FE到点、M使EN=FE,连接CN、AN,

VDF=CD,

：.DE//CN,DE=-CN,

2

•••/DCN=180°-/MDE=180°—2a,

ZACN=ZACB+ZDCN=180°—a,

ZABF=180°-ZABC=180°-cr,

：.ZABF=ZACN,

,/AB^AC,AM±BC,

：.CM=BM,

,：DF=DC,

BF+BD=DM+CM,

二BF+BM-DM=DM+CM,

：.DM=-BF,

2

•/DE=-CN,

2

：.DM=DE，

:.BF=CN，

在△ABb和八45中，

AB=AC,

•：＜NABF=ZACN,

BF=CN,

：.AABF^AACN(SAS),

AF=AN,

,:EF=EN,

：.AE^FE.

28.【答案】⑴①（1,-百），是；②3；（-2,-273）

（2）—2</<—2叵或1</〈士史【分析】（1）①连接。3,设AB与无轴交于点N,勾股定理求

32

得的长得出8点的坐标，进而勾股定理求得24=