2025届中考数学中档及压轴题方法与技巧复习：二次函数中的存在性问题（原卷版）

2025届中考复习专题10:二次函数中的存在性问题

总览1题型解读

解题策略梳理模块三角的存在性问题

模块一三角形存在性问题【题型9】转化为相似或全等三角形

【题型1】等腰直角三角形【题型10］转化为等腰三角形问题

【题型2】等腰三角形存在性问题【题型11］化为正切值或斜率

【题型3】直角三角形存在性问题【题型12］角的存在性问题之与特殊角结合

【题型4】相似三角形存在性问题【题型13］角的存在性问题之2倍角与半角

模块二特殊四边形存在性问题【题型14］顶点是动点——构造圆

【题型5】平行四边形存在性问题

【题型6】正方形存在性问题

【题型7】矩形存在性问题

【题型8】菱形存在性问题

题型汇编

/核心•技巧/

解题策略梳理

一、等腰三角形的存在性问题：几何法与代数法讲解

【问题描述】

如图，点A坐标为（1,1）,点8坐标为（4,3）,在无轴上取点C使得△ABC是等腰三角形.

八y

B

*

A

A

~OX

【几何法】“两圆一线”得坐标

(1)以点A为圆心，A8为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C,有AB=AC；

(2)以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C,有BA=BC；

(3)作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C,有C4=CB.

【注意】若有三点共线的情况，则需排除.

作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来,可通过勾股或者三角函数来求.

A。=AB=7(4-l)2+(3-l)2=713

作AHL:轴于H点，AH=1

C1H=C2H=7134=273

0(1-24,0)C2(1+24,0)

Cpa同理可求，下求C5.

显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、2均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0）,

点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：

AH=3,BH=2

设ACs=x,贝!!BC5=X,C5H=3-X

(3-X)2+22=X2

13

解得：x=~

o

19

故C5坐标为(W，0)

而对于本题的C5,或许代数法更好用一些.

二、直角三角形存在性问题：几何法与代数法讲解

【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1）,点5坐标为（5,3）,在X轴上找一

点C使得△△3c是直角三角形，求点C坐标.

【几何法】两线一圆得坐标

（1）若NA为直角，过点A作A3的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（2）若为直角，过点3作A5的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（3）若NC为直角，以为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C（直径所对的圆周角为直角）

重点还是如何求得点坐标，%G求法相同，以C?为例:

【构造三垂直】

易证△AMBMBNCz

AMMB

BN~NC2

由A、B坐标得AM=2,BM=4,NC2=3

3

代入得：BN、

13

故C2坐标为（5，0）

C3,C4求法相同，以C3为例:

AMMC3

易证△AMC3-'2\C3NB，=

C3/VIND

由A、2坐标得AM=1,BN=3,设MC3=a,C3N=b

1a、

代入得：一=一，即出?=3,又a+b=4,故a=l或3

b3

故C3坐标为（2,0）,坐标为（4,0）

构造三垂直步骤：

第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；

第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似.

【代数法】表示线段构勾股

还剩下G待求，不妨来求下G：

(1)表示点:设a坐标为(机，0),又A(1,1)、B(5,3)；

（2）表示线段：AB=2y[5,Achlf+f,BCi=d（m_5『+32；

(3)分类讨论：当ABAC,为直角时，AB-+AC,2=BC；；

2222

(4)代入得方程：20+(77I-l)+l=(m-5)+3,解得：m=|.

三、等腰直角三角形在性问题方法突破

【三垂直构造等腰直角三角形】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题.

【模型呈现】如图，在RtAABC,ZACB=90°,将斜边4B绕点A顺时针旋转90。得到AD,过点。

作。E_LAC于点E,可以推理得到△ABC四△ZME,进而得到AC=OE,BC=AE.

我们把这个数学模型成为“K型”.

推理过程如下：

EAc

【模型迁移】

【兰州中考(删减)】二次函数〉=加+云+2的图像交x轴于点A(-1,0),B(4,0)两点，交y轴

于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNLx轴交

直线3c于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为f秒.

(1)求二次函数y=o^+bx+2的表达式；

(2)在直线跖V上存在一点P,当AP3C是以N3PC为直角的等腰直角三角形时，求此时点。的

坐标.

【分析】

iQ

(1)y=——x2+—x+2；

22

(2)本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作

水平线，得三垂直全等.

设HP=a,PQ=b,则BQ=a,CH=b,

\a+b=4-a=1

由图可知：Lfl=2；解得:

b=3

故D点坐标为(1,3).

同理可求此时。点坐标为(3,2).

思路2:等腰直角的一半还是等腰直角.

如图，取BC中点M点，以3M为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点.根据B点

和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2,故尸点坐标易求.

P点横坐标同D点，故可求得。点坐标.

四、平行四边形存在性问题方法突破

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：

(1)对应边平行且相等；

(2)对角线互相平分.

这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:

(1)对边平行且相等可转化为：/一/二%一”

[%-yB=yD-yc

xA+xcxB+xD

(2)对角线互相平分转化为:22

yA+ycyB+yD

2-2

可以理解为AC的中点也是BD的中点.

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一:

尤A_XB=X"-尤c-+无B

-yB=yD-yc1%+yc=yD+yB

xA+xcxB+xD

-

22\xA+xc=xB+xD

%+先=力+切1%+/=%+%

2-2

当AC和为对角线时，结果可简记为：A+C=B+D(各个点对应的横纵坐标相加)

以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若

坐标系中的4个点A、B、C、。满足“A+C=8+Z>”，则四边形ABC。是否一定为平行四边形？

反例如下：

之所以存在反例是因为“四边形A5C。是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价

的转化，故存在反例.

虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：

(1)四边形A3C。是平行四边形：AC,一定是对角线.

(2)以A、B、C、。四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论.

【题型分类】

平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.

1.三定一动

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐标系内确定点O使得以A、B、C、。四个点为顶点的四

边形是平行四边形.

思路1:利用对角线互相平分，分类讨论：

设。点坐标为(tn,n),又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

(5+4=[-4-

(1)3C为对角线时，”「、，可得A(7,6)；

3+5=2+及

115m

(2)AC为对角线时，，;，解得3(-1,4)；

[2+5=3+及

f1-L—3-1-FF7

(3)45为对角线时，-.二，解得2(3,0).

2+3=5+〃

当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D^B+C-A,D2=A+C-B,£>3=A+8-(此处特指点的横纵坐标相加减)

2.两定两动

已知A(1,1)、B(3,2),点C在x轴上，点。在y轴上，且以A、B、C、。为顶点的四边形是

平行四边形，求C、。坐标.

【分析】

设C点坐标为(机，0),。点坐标为(0,又A(1,1)、B(3,2).

1+3=m+

(1)当A5为对角线时，|°,解得['"=4,故c(4,0)、D(0,3)；

[1+2=0+〃[n=3

⑵当"为对角线时，；二；二，解得二故C⑵。)、。…

[1-LQ—3-1-TY1[vyi~—D

⑶当4。为对角线时，"二2+屋解得故9，。）、。（。，】）.

【动点综述】

“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐

标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直

线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”.

从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标.若把一个

字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量x2.

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未

知量.究其原因，在于平行四边形两大性质：

（1）对边平行且相等；

（2）对角线互相平分.

但此两个性质统一成一个等式：[4+xc=xB+xD（

两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在

2个未知量.

由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题.

五、矩形的存在性问题方法突破

矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；

（2）对角线相等的平行四边形；

（3）有三个角为直角的四边形.

【题型分析】

矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形,

坐标系中的矩形满足以下3个等式：

xA+xc=xB+xD

（AC为对角线时）

%+%=%+yD

因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解.

确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个.

题型如下:

（1）2个定点+1个半动点+1个全动点;

（2）1个定点+3个半动点.

【解析思路】

思路1：先直角，再矩形

在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造

直角三角形，再确定第4个点.对“2定+1半动+1全动”尤其适用.

引例：已知A（1,1）、B（4,2）,点C在无轴上，点。在平面中，且以A、B、C、。为顶点的四

边形是矩形，求。点坐标.

【分析】

点C满足以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C有c[g,0}

C2[y,oL。3（2,0）、C4（3,0）

在点C的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D的坐标.

【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求。点坐标,

也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此.

思路2：先平行，再矩形

当AC为对角线时，A、B、C、。满足以下3个等式，则为矩形:

xA+xc=xB+xD

%+>c=%+yD

~XD)+(力

其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形.表示出点坐标后，代入点坐标解方

程即可.

无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次

方程组.

引例：己知A(1,1)、B(4,2),点C在x轴上，点。在坐标系中，且以A、B、C、。为顶点的

四边形是矩形，求。点坐标.

y

・B

【分析】

设。点坐标为(〃，0),。点坐标为(。，c),又A(1,1)、B(4,2).

先考虑平行四边形存在性：

[1-LZL—/7+7?

(DAB为对角线时‘i+2],+。’满足此条件的。使得以A、B、C、0为顶点的四边形是平

行四边形，另外48=。，得：,("if+(2—1)2=JU+(0_c)2,

a=3a=2

综合以上可解：<6=2或<6=3.故C(3,0)、D(2,3)或C(2,0)、D(3,3).

c=3c=3

(2)AC为对角线时，]；；；：；；；，另外AC=BD,得"+(0-行=w-4)2+(c—2)2,综

14

CI——

3

停。)、呜T

合以上可解得：＜b=-故C

3

c=-1

I；］；：；，另外AD=BC，得，色-I1+(c-l)2=,("4)2+(0-2)2

(3)4。为对角线时，

4A

d=­

3

'号,故喂‘°)、

综合以上可解得：＜

C-1

【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事.

【代数法】表示线段构相等

(1)表示点：设点。5坐标为(相，。)，又A点坐标(1,1)>5点坐标(4,3),

2222

(2)表示线段：AC5=^-1)+(0-1),BC5=^(m-4)+(O-3)

(3)分类讨论：根据AC5=8CS，可得：7(m-1)2+12=7(m-4)2+32-

(4)求解得答案：解得：机=亮，故C5坐标为片,01

【小结】

几何法：(1)“两圆一线”作出点；

(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标.

代数法：(1)表示出三个点坐标A、B、C；

(2)由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；

(3)根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、®AC=BC；

(4)列出方程求解.

问题总结：

(1)两定一动：动点可在直线上、抛物线上；

(2)一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；

(3)三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口.

六、菱形的存在性问题方法突破

作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形:

(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边都相等的四边形是菱形.

坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相

垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形A8CD是菱形，则其4个点坐标需满足:

XA+%=XB+~

%+%=%+yD

考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.

即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，

故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.

因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：

（1）2个定点+1个半动点+1个全动点

（2）1个定点+3个半动点

解决问题的方法也可有如下两种：

思路1：先平四，再菱形

设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、8。为对角线），再结合一组邻边相

等，得到方程组.

思路2：先等腰，再菱形

在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3

个点，再确定第4个点.

1.看个例子：

如图，在坐标系中，A点坐标（1,1）,2点坐标为（5,4）,点C在x轴上，点。在平面中，求。点

坐标，使得以A、B、C、。为顶点的四边形是菱形.

八y

*B

A

*

思路1:先平四，再菱形

设C点坐标为（m,0）,。点坐标为（p,q）.

（1）当AB为对角线时，由题意得：（A8和CD互相平分及AC=BC）

1+5=m+p

,,9

<l+4=0+q，解得：\P=~

8

(m-I)2+(O-l)2=(m-5)2+(0-4)2

q=5

(2)当AC为对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）

1+m=5+pm=2m=8

<1+0=4+^解得：p=-2或Wp=4

(1-5)2+(1-4)2=(m-5)2+(0-4)2q=-3q=-3

(3)当A。为对角线时，由题意得：

1+p=5+mm=l+2y/6m=l-2A/6

<1+4=4+0,解得：＜p=5+2C或卜=5-2几

(1-5)2+(1-4)2=(l-m)2+(l-0)24=34=3

思路2：先等腰，再菱形

先求点C,点C满足由A、B,C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定

C,再确定。点.

(1)当。时，

C点坐标为(1+2施0),对应。点坐标为(5+2瓜3)；

C点坐标为(1-26,0),对应D点坐标为(5-2A/6,3).

(2)当ft4=2C时，

C点坐标为(8,0),对应。点坐标为(4,-3)；

C点坐标为(2,0),对应。点坐标为(-2,-3).

(3)AC=BC时，

C点坐标为［晋。点坐标为《,5).

以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便

的方法.

七、正方形的存在性问题方法突破

作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化

更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：

（1）有一个角为直角的菱形；

（2）有一组邻边相等的矩形；

（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形.

依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标.

从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性

质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）.

比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在

某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解.

从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：

（1）2个定点+2个全动点；

（2）1个定点+2个半动点+1个全动点；

甚至可以有：（3）4个半动点.

不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！

常用处理方法：

思路1：从判定出发

若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；

若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；

若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件.

思路2：构造三垂直全等

若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等

腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点.

总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判

定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系.

正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主.

例：在平面直角坐标系中，A(1,1),B(4,3),在平面中求C、。使得以A、B、C、。为顶点的四

边形是正方形.

A

y

・B

A

*

O

如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形.

至于具体求点坐标，以G为例，构造即可求得G坐标.至于像C$、Cf这两个点

的坐标，不难发现，C5是AC3或BG的中点，Cf是BC?或的中点.

题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路.

八、相似三角形存在性问题

【模型解读】

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性

问题

【相似判定】

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法,

解决问题.

【题型分析】

通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双

动点”两类问题.

【思路总结】

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定

2、3可以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角.

然后再找：

思路1：两相等角的两边对应成比例；

思路2：还存在另一组角相等.

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑

思路1.

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

搞定这两个问题就可以了.

九、角的存在性问题

方法突破

除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的

不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键.

回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：

（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；

（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；

（3）等腰三角形：等边对等角；

（4）全等（相似）三角形：对应角相等；

（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；

（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角.

角平分线：Z1=Z2等腰三角形：Z1=Z2

圆周角定理：N1=N2

三角函数：若tanNl=tan/2,贝!J/1=N2

想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在

以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角.

模块一三角形存在性问题

【题型1】等腰直角三角形

【例题1】如图，抛物线尔+&+2交X轴于点A(-3,0)和点3(1,0),交y轴于点C.

(1)求这个抛物线的函数表达式.

(2)点。的坐标为(-1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大

值.

(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N,使AMZVO为等腰直角三角形，

且4CVO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【例题2】如图，抛物线y=V+bx+c过点A(-I,o)、点8(5,0),交y轴于点C.

(1)求b,c的值.

(2)点「优,%)(0＜毛＜5)是抛物线上的动点，过点尸作PELx轴，交BC于点、E,再过点尸作所〃x

轴，交抛物线于点F连接所，问：是否存在点尸，使！PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

[_巩固练习/

【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线+c与％轴交于A、B两点，点B

2

(3,0),经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C(4,g),与y轴交点为。，点尸是直线AC下

方的抛物线上的一个动点(不与点A、C重合).

(1)求该抛物线的解析式.

(2)点。在抛物线的对称轴上运动，当AOPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写

出符合条件的点尸的坐标.

【巩固练习2】如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数、=办2+原+4的图象与无轴交于点

A(—2,0),3(4,0),与>轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知E为抛物线上一点，f为抛物线对称轴/上一点，以8,E,尸为顶点的三角形是等腰直角

三角形，且NBFE=90°,求出点尸的坐标；

【巩固练习3】(2024・四川眉山・中考真题)如图，抛物线y=-f+6x+c与x轴交于点A(-3,0)和点8,

与y轴交于点C(0,3),点。在抛物线上.

(2)当点。在第二象限内，且AACD的面积为3时，求点。的坐标；

(3)在直线2C上是否存在点尸，使△。叫是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点

尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【题型2】等腰三角形存在性问题

【例题1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a/+6x+c交x轴于点A(T,O)、3(2,0),交y

轴于点C(0,6),在y轴上有一点颐0,-2),连接

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点。为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求AADE面积的最大值；

(3)抛物线对称轴上是否存在点尸，使AAEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，

若不存在请说明理由.

【例题2](2024・四川达州・中考真题)如图1,抛物线>="2+履_3与无轴交于点4(-3,0)和点3。，。)，

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点若点P是直线AC上方抛物线上一

点，且SAPMC=2sADMC，求点尸的坐标；

(3)若点N是抛物线对称轴上位于点。上方的一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等

腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【巩固练习。如图，抛物线丁=加+法+4交x轴于A(-3,0),3(4,0)两点，与y轴交于点C,连

接AC,3c.点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，点尸的横坐标为".

(1)求此抛物线的表达式；

(2)过点P作尸河_Lx轴，垂足为点V,交BC于点。.试探究点P在运动过程中，是否存

在这样的点。，使得以A,C,。为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q

的坐标，若不存在，请说明理由；

【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=-1/+法+0经过点A(-5,0)和点8(1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)如图，连接相)、点M在线段AB上(不与A、3重合)，作ZDMN=ZDBA,MN交

线段4)于点N,是否存在这样点使得ADMN为等腰三角形？若存在，求出4V的长；

若不存在，请说明理由.

【巩固练习3】如图，已知二次函数y=af+®+c的图像与x轴相交于4-1,0),8(3,0)两点，与y

轴相交于点C(0,-3).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若「是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点H,与线段3c交于点

连接尸C.当APCM是以尸M为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标.

【巩固练习4】(2024.黑龙江齐齐哈尔.中考真题)综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知

直线y=：x-2与x轴交于点A,与y轴交于点C,过A,C两点的抛物线y=依?+bx+c(a彳0)与x

轴的另一个交点为点B(T，。)，点尸是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴

的平行线，分别交直线AC于点E,点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。是x轴上的任意一点，若AACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点。的坐标.

【巩固练习5】(2024•四川雅安・中考真题)在平面直角坐标系中，二次函数，=依2+法+3的图象与

无轴交于4(1,0),8(3,0)两点，与y轴交于点C.

⑴求二次函数的表达式；

⑵如图①，若点P是线段BC上的一个动点(不与点8,C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线

于点。，当线段尸。的长度最大时，求点。的坐标；

(3)如图②，在(2)的条件下，过点。的直线与抛物线交于点。，且/CQE»=2NOCQ.在y轴上是

否存在点E,使得ABDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【题型3】直角三角形存在性问题

【例题1】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题.

【模型呈现】如图，在RtAABC,ZACB=90°,将斜边AB绕点A顺时针旋转90。得到AO,过点。

作。E_LAC于点E,可以推理得到△ABCgZYDAE,进而得到AC=DE,BC=AE.

我们把这个数学模型成为“K型”.

推理过程如下：

EAc

【模型迁移】二次函数y=a尤?+法+2的图像交X轴于点A3(4,0)两点，交y轴于点C.动

点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点/作MN_Lx轴交直线3c于

点N,交抛物线于点。，连接AC,设运动的时间为f秒.

(1)求二次函数>=公2+云+2的表达式；

(2)在直线上存在一点P,当APBC是以N3PC为直角的等腰直角三角形时，求此时点。的

坐标.

【例题2］如图，已知抛物线y=ox2+6x+c(aw0)的对称轴为直线x=-l,且抛物线与x轴交于A、

3两点，与y轴交于C点，其中A(1,O),C(0,3).

(1)若直线y=”经过3、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=-l上找一点使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出

点M的坐标；

(3)设点尸为抛物线的对称轴x=-l上的一个动点，求使ABPC为直角三角形的点P坐标.

【例题3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞="d+2x+c与x轴交于A(-l,0),3(3,0)两点，

与y轴交于点C,点。是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

(2)请在y轴上找一点使的周长最小，求出点M的坐标；

(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点，AC为直角边的三角形是直

角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=工/+"+。与X轴交于A、B两点，点B

2

(3,0),经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C(4,』)，与y轴交点为。，点P是直线AC下

方的抛物线上的一个动点(不与点A、C重合).

(1)求该抛物线的解析式.

(2)点。在抛物线的对称轴上运动，当AOPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写

出符合条件的点尸的坐标.

【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+6x+c与无轴交于3(4,0),C(-2,0)两

点.与y轴交于点4(0,-2).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得人1/18是以为一条直角边的直角三角形:若存在,

请求出点〃的坐标，若不存在，请说明理由.

【巩固练习3】(2024.四川遂宁.中考真题)二次函数、=/+云+。(。片0)的图象与x轴分别交于点

A(-l,0),8(3,0),与>轴交于点C(0,-3),P,Q为抛物线上的两点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)当尸，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点。的坐

标

4/、

【巩固练习4](2024.山东泰安.中考真题)如图，抛物线G:y=依2+§x-4的图象经过点£>(1,-1),

(1)求抛物线的表达式；

(2)将抛物线G向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线G，求抛物线C2的表达式，并

判断点。是否在抛物线G上；

(3)在x轴上方的抛物线Q上，是否存在点尸，使是等腰直角三角形.若存在，请求出点尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

【题型4】相似三角形存在性问题

【例题1】如图，抛物线y=af+bx+c与x轴交于点4(-1,0),点8(3,0),与y轴交于点C,

且过点。(2,-3).点。是抛物线>=依2+a+。上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,直线与线段BC相交于点E,当△OBE与AABC相似时，求点。的坐标.

【例题2】如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x-l与抛物线、=-/+法+。交于4B两点，其

中A(/TV,0)、B(4,〃)，该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D

(1)求小、”的值及该抛物线的解析式；

(2)如图2,连接3。、CD,在线段CD上是否存在点。，使得以A、D、。为顶点的三角形与△

A3。相似，若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【例题3］如图，已知抛物线>=加-2尤+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1),点2(9,

10),AC〃无轴.

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)求tan/ABC的值；

(3)若点。为抛物线的顶点，点£是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标.

与x轴交于点A,与y轴交于点5,抛物线^=-/+以+，经过A、3两点，在第一象限的抛物线上

取一点£),过点。作。CLx轴于点C,交于点E.

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)是否存在点。，使得/组和“小相似？若存在，请求出点£>的坐标，若不存在，请说明理由.

【巩固练习2】（2024.内蒙古呼伦贝尔・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数

广加+法+c（4W0）的图像经过原点和点4（4,0）.经过点A的直线与该二次函数图象交于点3。，3），

与y轴交于点C.

4

JNx

（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）点尸是二次函数图象上的一个动点，当点尸在直线A3上方时，过点尸作PELx轴于点E,与直

线A3交于点。，设点尸的横坐标为加.

①加为何值时线段尸。的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点P,使得此叫与△AOC相似.若存在，请求出点尸坐标；若不存在，请说明理由.

【巩固练习3】如图，抛物线>=工/一9彳+4与无轴交于A、B两点（A点在3点左侧），与y轴交

于点C.动直线跖（E/7/x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交

y轴、线段BC于E、/两点，动点尸同时从点8出发，在线段上以每秒2个单位的速度向原点

。运动.是否存在K使得△BPF与△ABC相似.若存在，试求出/的值；若不存在，请说明理由.

【巩固练习4】如图，已知抛物线>="2+乐+3(。20)的图像与工轴交于41,0),3(4,0)两点，与y

轴交于点C