备战2025年高考数学(新高考专用)通关秘籍09圆锥曲线大题(易错点+六大题型)(学生版+解析)(新高考专用)

/秘籍09圆锥曲线大题目录【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测【应试秘籍】总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点易错点：解题规范【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略【题型一】极点、极线【题型二】自极三角形与调和点列【题型三】齐次化法解决斜率相关问题【题型四】定比点差法【题型五】定点、定值【题型六】求轨迹方程型概率预测☆☆☆☆☆题型预测解答题☆☆☆☆☆考向预测极点、极线圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。一些固定题型解题方法的掌握还是需要熟练，并且理解圆锥曲线中解析几何的解题思维，延伸知识点例如极点、极线，齐次化解法、定比点差法等等比较热门的需要熟练于心。易错点：解题规范圆锥曲线大题在遇到直线与曲线相交相关的问题是，极点、极线的思想只能辅助我们解题，不可出现在答题过程中，都需要设点或设线，写出完整的证明过程。例（2023年全国乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．变式1：（2024·湖南衡阳·二模）（多选）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（

）A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为【题型一】极点、极线二次曲线的极点极线（1）.二次曲线极点对应的极线为（半代半不代）（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为则极线为切点弦；②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线；③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线；（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.【例1】过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（）A． B． C． D．【例2】已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是________．【例3】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为．【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．

(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求以为直径的圆的方程；(3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．【变式2】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）.(1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；(2)若，求直线的方程；(3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点.【变式3】（2024·新疆喀什·二模）已知椭圆的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足．(1)求椭圆的方程；(2)证明直线过定点．【题型二】自极三角形与调和点列一、调和点列的充要条件 如图，若四点构成调和点列，则有（一般前2个出现较多）二、调和点列与极点极线的联系如图，过极点作任意直线，与椭圆交于，与极线交点则点成调和点列，若点的极线通过另一点，则的极线也通过．一般称、互为共轭点．三、自极三角形如图,设P是不在圆雉曲线上的一点,过P点引两条割线依次交二次曲线于E,F,G,H四点,连接对角线EH,FG交于N,连接对边EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆雉曲线上的点,则过P点的切线即为极线.同理,PM为点N对应的极线,PN为点M所对应的极线.因而将△MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点,则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点．【例1】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【例2】（2022·全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【变式1】（2024江南十校联考）在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.(1)求C的标准方程；(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 【变式2】设椭圆过点，且左焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 【变式3】已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.

（1）求椭圆的方程; （2）已知点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上.【题型三】齐次化法解决斜率相关问题“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思.在代数里也有“齐次”的叫法，例如f=1：“齐次化”方法使用场景题目中出现了一个定点引出的两条动直线的斜率之和k₁+k₂2：用法：必须先把该定点平移至原点位置，然后将两个动点所成的直线假设为mx+3:方程为mx+【例1】如图，椭圆E:x2a2+y(1):求椭圆E的方程;(2)：经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q(均异于点A),【例2】已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程;(2)点M,N在椭圆C上,且.AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知P为椭圆上一点，过原点且斜率存在的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点且斜率存在的直线（与不重合）与椭圆C相交于M，N两点，且点P满足到直线和的距离都等于．(1)求直线和的斜率之积；(2)当点P在C上运动时，是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线与曲线关于直线对称．(1)求曲线的方程．(2)若过原点的两条直线分别交曲线于点，，，，且（为坐标原点），则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由．【题型四】定比点差法直线与圆雉曲线相交时,中点(定比分点)问题通常运用韦达定理和点差法两种方式.点差法(定比点差)是从设点的视角,将点的坐标代人曲线方程,通过系数调配后进行两式作差.一般地,设椭圆上两点,若定点满足,则得到,化简得由得两式相减得.把代人,得,化简得.特别地,如果(或),则可以得到方程组继而能相对快捷地求出交点坐标,避免暴求交点.椭圆、双曲线中的多点共线的倍值问题,也可类似解决,其实质就是一种降维处理.此外,当时,则是的中点即转化为中点弦问题.【例1】直线与椭圆交于两点，与轴、轴分别交于点.如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为．【例2】设分别为椭圆的左右两个焦点，点在椭圆上.若，则点的坐标是．【例3】已知点，椭圆上两点满足，则当时，点横坐标的绝对值最大.【变式1】已知是双曲线的左焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条渐进线分别交于点.若，则双曲线的离心率为．【变式2】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，与轴的交点为.(1)若，求直线的方程；(2)若，求的值.【变式3】如图，椭圆.过点作直线分别交椭圆于，四点，且直线的斜率为.试判断直线与直线的位置关系.【题型五】定点、定值求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.【例1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，的左焦点与点连线的斜率为．(1)求的方程．(2)已知点，过点的直线与交于两点，直线分别交于．试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【例2】（2023·河南焦作·模拟预测）已知椭圆的长轴为4，直线与圆相切于点，与相交于，两点，且，，.(1)记的离心率为，证明：；(2)若轴右侧的点在上，且轴，，是圆的两条切线，切点分别为，（在上方），求的值.【例3】（2024·上海奉贤·二模）已知曲线，是坐标原点，过点的直线与曲线交于，两点.(1)当与轴垂直时，求的面积；(2)过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两点，求证：；

(3)过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为，当时，求证：与都是定值.

【变式1】（2024·上海崇明·二模）已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点．(1)求椭圆的离心率；(2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标；(3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的标准方程．(2)设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为．(1)求椭圆的方程．(2)记直线的斜率为，证明：为定值．(3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【题型六】求轨迹方程型求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.【例1】（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点、、都在椭圆上．(1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积；(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；(3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．【例2】（2024·安徽合肥·二模）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．(1)计算点和点之间的“距离”；(2)设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；(3)证明：对任意点．【例3】（2024·河南开封·三模）已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且，，成等比数列．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若，求直线l的方程．【变式1】（2024·广东韶关·二模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．①求点的轨迹方程；②若面积为，求．【变式2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．【变式3】（2024·山西吕梁·二模）在平面直角坐标系中，动点在圆上，动点在直线上，过点作垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点，且，记的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程.(2)若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，其中，且同向，直线交于点.（i）证明：点在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；（ii）当的面积等于时，试把表示成的函数.

秘籍09圆锥曲线大题目录【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测【应试秘籍】总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点易错点：解题规范【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略【题型一】极点、极线【题型二】自极三角形与调和点列【题型三】齐次化法解决斜率相关问题【题型四】定比点差法【题型五】定点、定值【题型六】求轨迹方程型概率预测☆☆☆☆☆题型预测解答题☆☆☆☆☆考向预测极点、极线圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。一些固定题型解题方法的掌握还是需要熟练，并且理解圆锥曲线中解析几何的解题思维，延伸知识点例如极点、极线，齐次化解法、定比点差法等等比较热门的需要熟练于心。易错点一：解题规范圆锥曲线大题在遇到直线与曲线相交相关的问题是，极点、极线的思想只能辅助我们解题，不可出现在答题过程中，都需要设点或设线，写出完整的证明过程。例（2023年全国乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．【极线思维】记，点B的极线过点A，设极线与PQ交于点D，则B，P，D，Q为调和点列，AB，AP，AD，AQ为调和线束，而AB平行y轴，故MN的中点为y轴于极线的交点【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，则，所以线段的中点是定点.变式1：（2024·湖南衡阳·二模）（多选）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（

）A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为【答案】BCD【详解】易知圆心，半径，如下图所示：对于A，圆心到直线的距离为，可得圆上的点到直线距离的最小值为,圆上的点到直线距离的最大值为，所以圆上恰有两个点到的距离为，即A错误；对于B，设，可得；易知，由，整理可得，同理可得，即可知两点在直线上，所以直线的方程为，即，令，解得，所以直线恒过定点，即B正确；对于C，由直线恒过定点，当点与圆心的连线垂直于时，的值最小，点与圆心之间的距离为，所以，故C正确；对于D，四边形的面积为，根据切线长公式可知，当最小值，最小，，所以，故四边形的面积为，即D正确；故选：BCD【题型一】极点、极线二次曲线的极点极线（1）.二次曲线极点对应的极线为（半代半不代）（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为则极线为切点弦；②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线；③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线；（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.【例1】过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（）A． B． C． D．解析：直线是点对应的极线，则方程为，即．故选A．【例2】已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是________．解析：设点的坐标是，则切点弦的方程为，化简得，令，可得，故直线过定点．【例3】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为．【答案】【详解】设，则满足；易知圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，如下图所示：易知，所以，即，整理可得；同理可得，即是方程的两组解，可得直线的方程为，联立，即；令，可得，即时等式与无关，所以直线恒过定点，可得；又在圆内，当，且点为的延长线与圆的交点时，点到直线的距离最大；最大值为【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．

(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求以为直径的圆的方程；(3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：因为椭圆经过点，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，可得，则，所以，解得，所以椭圆的标准分别为.（2）解：由（1）得，所以直线的方程为，联立方程组，解得或，所以，则CD的中点为且，故以为直径的圆的方程为.（3）解：设直线的方程为，且，则直线的方程为，联立方程组，整理得，设，则且，所以，由中点坐标公式得，将的坐标中的用代换，可得的中点为，所以，所以直线的方程为，即，则直线过定点.【变式2】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）.(1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；(2)若，求直线的方程；(3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）在椭圆中，左、右顶点分别为，设点，则.（2）设，由已知可得，，由得，化简得代入可得，联立解得由得直线过点，，所以，所求直线方程为.（3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），联立，可得，由，得.由韦达定理，得.，.可化为，整理即得，，由，进一步得，化简可得，解得，直线的方程为，恒过定点.【变式3】（2024·新疆喀什·二模）已知椭圆的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足．(1)求椭圆的方程；(2)证明直线过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）由点在椭圆上，得，由为椭圆的左焦点，得，所以椭圆的方程为.（2）依题意，直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，，由消去y并整理得，，，，由得，即，整理得，即有，而，解得，满足，直线：过定点，所以直线过定点.【题型二】自极三角形与调和点列一、调和点列的充要条件 如图，若四点构成调和点列，则有（一般前2个出现较多）二、调和点列与极点极线的联系如图，过极点作任意直线，与椭圆交于，与极线交点则点成调和点列，若点的极线通过另一点，则的极线也通过．一般称、互为共轭点．三、自极三角形如图,设P是不在圆雉曲线上的一点,过P点引两条割线依次交二次曲线于E,F,G,H四点,连接对角线EH,FG交于N,连接对边EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆雉曲线上的点,则过P点的切线即为极线.同理,PM为点N对应的极线,PN为点M所对应的极线.因而将△MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点,则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点．【例1】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【自极三角形思路】延长CB,AD交于点Q，，则△EPG为自极三角形，故x=6为E点的极线，则E为【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：，，，，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点．当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点．【例2】（2022·全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【调和点列思路】AB为P所对应的极线，故P，M，C，N四点成调和点列，故AP，AM，AC，AN四条线成调和线束，因为直线HM平行AP，且T为HM中点，由调和线束平行性质(平行于一组调和线束中的其中一条直线交另外三条直线的三个交点，其中一个点为另外两个点的中点)，故H点必然在直线AN上，故直线HN过定【详解】（I）解：设椭圆的方程为，过，则，解得，，所以椭圆的方程为：．（II）证法一：定点为，证明如下：点对应的极线为，即，即为直线，则为调和线束，过作//，交于，由调和性质可知为中点，故直线过定点．证法二：，所以，①若过点的直线斜率不存在，直线．代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到．求得方程：，过点．②若过点的直线斜率存在，设．联立得，可得，，且联立可得，可求得此时，将，代入整理得，将代入，得，显然成立．综上，可得直线过定点．【变式1】（2024江南十校联考）在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.(1)求C的标准方程；(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 【极线思路】显然E在T的极线上，故E点轨迹为T的极线【详解】（1）根据题意，设双曲线的方程为，由题知，，可得；所以双曲线方程为.（2）易知为双曲线的右焦点，如下图所示：

由题知直线l斜率存在，根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为，代入双曲线方程得，设，，由韦达定理有，，且，，设，点E在线段上，所以由可得化简得，代入和并化简可得，即存在点E满足条件，并且在定直线上.【变式2】设椭圆过点，且左焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 解析：（1）由题意得，解得，所求椭圆方程为．（2）解法：已知，说明点关于椭圆调和共轭，根据定理3，点在点对应的极线上，此极线方程为，化简得．故点总在直线．【变式3】已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.

（1）求椭圆的方程; （2）已知点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上.【极线思路】由题可知，即，故点Q在P点的极线上【详解】（1）设，因为点M在抛物线上，且，所以，解得，又点M在抛物线上，所以，且，即，解得，所以椭圆的方程；（2）设，，因为，所以，即有，又，所以，即有，所以得：，又点A、B在圆上，所以，又，所以，故点Q总在直线上．【题型三】齐次化法解决斜率相关问题“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思.在代数里也有“齐次”的叫法，例如f=1：“齐次化”方法使用场景题目中出现了一个定点引出的两条动直线的斜率之和k₁+k₂2：用法：必须先把该定点平移至原点位置，然后将两个动点所成的直线假设为mx+3:方程为mx+【例1】如图，椭圆E:x2a2+y(1):求椭圆E的方程;(2)：经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q(均异于点A),解:(1)由题意,b=1,又c所以，a=2,b=1,c=1,所以，椭圆E的方程为首先将椭圆向上平移1个单位，得椭圆.E'的方程：x22此时,点(1,1)向上平移1个单位,变为(1.2),设直线方程为mx+my=1,直线过(l,2),则有m+2m=1,将直线方程代入x²+2y²−4y=0得x²+2y²−4y平移之后，点P、Q变为P'变换得4n−2y所以k原问题成立.【例2】已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程;(2)点M,N在椭圆C上,且.AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.解:(1)由题意得:ca=224a椭圆的方程为x26+(2)当直线A'将整个图形平移一下，将点A平移到坐标原点A相应的其它点平移为M'椭圆方程为：x+2²+2y+1²=6,设MN':mx+ny=1,即:4n+2yx2所以，−43m−43n=1,再将整个图形重新平移回去，直线MN经过定点B由题意可知，△ADB为直角三角形，斜边AB的中点Q4当直线AM，AN的斜率有一个不存在时，不妨设N2−1,M−21,综上所述，存在点Q431【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知P为椭圆上一点，过原点且斜率存在的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点且斜率存在的直线（与不重合）与椭圆C相交于M，N两点，且点P满足到直线和的距离都等于．(1)求直线和的斜率之积；(2)当点P在C上运动时，是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)是，12.【详解】（1）设直线的方程为，直线的方程为，，则根据点到直线的距离公式可得，化简得，同理可得，所以，是一元二次方程的两实数根，，则有．又因为点在C上，所以，即，所以（定值）．（2）是定值，且定值为12．理由如下：设，，联立方程组，解得，所以，同理可得．由椭圆的对称性知，，所以．由（1）知，所以（定值）．【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）因为，所以，再将点代入得，解得，故椭圆的方程为；（2）由题意可设，由可得，易知恒成立，所以，又因为，所以直线的方程为，令，则，故，同理，从而，故为定值．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线与曲线关于直线对称．(1)求曲线的方程．(2)若过原点的两条直线分别交曲线于点，，，，且（为坐标原点），则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由．【答案】(1)(2)是定值，【详解】（1）设点为曲线上任一点，则点关于直线的对称点在曲线上．根据对称性，得解得将代入曲线并整理，得．故曲线的方程为．（2）四边形的面积为定值．理由如下：当直线的斜率不存在时，直线轴，则．因为，所以不妨设，则，此时取，，根据对称性可知四边形为平行四边形，则四边形的面积，为定值．当直线的斜率存在时，设，且，．联立得．由，得，则，，则．因为，即，即，所以．因为原点到直线的距离，由于四边形为平行四边形，所以四边形的面积．综上，四边形的面积为定值．【题型四】定比点差法直线与圆雉曲线相交时,中点(定比分点)问题通常运用韦达定理和点差法两种方式.点差法(定比点差)是从设点的视角,将点的坐标代人曲线方程,通过系数调配后进行两式作差.一般地,设椭圆上两点,若定点满足,则得到,化简得由得两式相减得.把代人,得,化简得.特别地,如果(或),则可以得到方程组继而能相对快捷地求出交点坐标,避免暴求交点.椭圆、双曲线中的多点共线的倍值问题,也可类似解决,其实质就是一种降维处理.此外,当时,则是的中点即转化为中点弦问题.【例1】直线与椭圆交于两点，与轴、轴分别交于点.如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为．【解析】设点.由得；由得.所以.(*)由两式相减得.把(*)代入，知，故，所以点，所以.【例2】设分别为椭圆的左右两个焦点，点在椭圆上.若，则点的坐标是．【解析】延长交椭圆于点.由知，，所以把点代入，得两式相减，得，化简，得.与联立，解得，代入椭圆求得点.【例3】已知点，椭圆上两点满足，则当时，点横坐标的绝对值最大.【解析】设点.由.所以，所以，代入，可得，当时取得等号.【变式1】已知是双曲线的左焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条渐进线分别交于点.若，则双曲线的离心率为．【答案】.【解析】设点.由于,故,得到由点均在渐近线0上可以知道,则两式相减得.把代人,知,化简得.结合,解得,故点.由得,所以.【变式2】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，与轴的交点为.(1)若，求直线的方程；(2)若，求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)设直线的方程为.设点,故.由抛物线定义可得,解得.故直线方程为.(2)设直线的方程为设点,故由可得,可得代入上式可得.故直线方程为.解得点,故.【变式3】如图，椭圆.过点作直线分别交椭圆于，四点，且直线的斜率为.试判断直线与直线的位置关系.【答案】.【解析】设点,,,.设,则由定比分点得到又点,在椭圆上,所以又三式相加得.同理,设,可得.两式相减得.又直线的斜率为,则.所以,即.所以.【题型五】定点、定值求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.【例1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，的左焦点与点连线的斜率为．(1)求的方程．(2)已知点，过点的直线与交于两点，直线分别交于．试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)是，定值为【详解】（1）由题意可设椭圆的半焦距为，则椭圆的左焦点为．由题意得，则，所以椭圆的方程为．（2）

由已知，得直线的斜率必存在且不为0，故设直线的方程为．设，则直线的方程为．由并结合，得．由是方程的两根，可知，则．将代入，可得．同理可得．所以．故直线的斜率为定值，且定值为．【例2】（2023·河南焦作·模拟预测）已知椭圆的长轴为4，直线与圆相切于点，与相交于，两点，且，，.(1)记的离心率为，证明：；(2)若轴右侧的点在上，且轴，，是圆的两条切线，切点分别为，（在上方），求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为椭圆的长轴为4，所以椭圆的方程为，.设，则，当时，因为，所以直线的斜率为，直线的方程为，即，联立椭圆与直线的方程得再根据整理得，，则，，故，故当时，，易得.综上所述，.（2）由（1）中，得点的纵坐标为，横坐标，故.设，，由（1）得圆在，两点的切线方程分别为，.因为在直线，上，所以，，因此直线的方程是.，两点坐标满足方程整理得；，两点坐标满足方程整理得.故，，，四点的纵坐标满足同一个一元二次方程，又因为点在点上方，点在点上方，故，两点的纵坐标相等，，两点的纵坐标相等，从而轴.，同理可得，所以.又，可知.

【例3】（2024·上海奉贤·二模）已知曲线，是坐标原点，过点的直线与曲线交于，两点.(1)当与轴垂直时，求的面积；(2)过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两点，求证：；

(3)过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为，当时，求证：与都是定值.

【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由题可知，直线为，

代入椭圆方程，解得，

所以.（2）设，当时，，不妨取，，，则，，所以，即成立；

当时，设，的斜率分别为，直线，由，因为直线与椭圆相切，所以，即，

化简可得，化为关于的一元二次方程为，

所以.

因为在圆上，所以，代入上式可得，综上可得.

（3）设、、、，直线、的斜率分别为、，设直线，与椭圆联立得，则，，，

由得，

即，

计算分子部分：，所以，

设直线，与双曲线联立得，则，，，，所以，计算分子部分，所以，

综上可得、均为定值.

【变式1】（2024·上海崇明·二模）已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点．(1)求椭圆的离心率；(2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标；(3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或；(3)存在，【详解】（1）由题意，，所以离心率（2）由题意，，，，所以直线的方程为：，设，显然有或两种情况，①当时，直线的倾斜角为，其与轴的交点为，则，因为，由，得：，解得（舍去）或，所以，点的坐标是②当时，此时，则，因为，由，得：，解得（舍去）或综上所述，点的坐标是或（3）假设存在定点满足题意，当的斜率存在时，设直线的方程为，，由得，由题意，，即①．，，所以，代入①，得：，所以或，即存在直线使得直线与直线的斜率之和为2直线的方程为，直线的方程为由，得：，即所以所以当时，为定值，.当直线斜率不存在时，设，，则，，此时，满足题意．所以存在定点，使得为定值且定值为．【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的标准方程．(2)设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，且该定点为【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，即，所以，所以椭圆的方程为，因为椭圆过点，所以，解得，故，，所以椭圆的标准方程为；（2）假设存在定点．设，，易知直线的斜率显然存在，且不为0，设其方程为，联立椭圆方程与直线方程，得，消去并整理，得，所以，，由，解得，且，所以，则当时，为定值，此时．所以存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值．

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为．(1)求椭圆的方程．(2)记直线的斜率为，证明：为定值．(3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在点.【详解】（1）由题意，得解得所以椭圆的方程为．（2）证明：设．又，所以可设直线的方程为．联立椭圆方程与直线的方程，得消去，得．又，所以，可得．由根与系数的关系，得，则，所以，同理，得．从而直线的斜率．又，所以，即，为定值．（3）由（2）可得直线的方程为．由椭圆的对称性可知，若直线恒过定点，则此定点必在轴上，所以令，得．故直线恒过定点，且点的坐标为．因为，垂足为，且，所以点在以为直径的圆上运动．故存在点，使．【题型六】求轨迹方程型求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.【例1】（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点、、都在椭圆上．(1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积；(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；(3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)，(3)