2025年高考数学考前冲刺（2）含解析

第二辑数列（解答题）……………………01新定义（解答题）…………………07函数及其性质（选填题）………12三角函数的图象及其性质（选填题）……………19三角恒等变换（选填题）…………26数列（解答题）年份题号分值题干2023年新高考I卷2012（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前n项和的基本量计算2023年新高考II卷1812（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．利用定义求等差数列通项公式；分组（并项）法求和；等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和2022年新高考I卷1710（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．裂项相消法求和；累乘法求数列通项；利用与关系求通项或项；利用等差数列通项公式求数列中的项2022年新高考II卷1710（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算；数列不等式能成立（有解）问题近三年新高考数学数列解答题考查情况总结1.考点方面数列基本量计算：等差数列通项公式前项和公式的基本量计算是核心。如2023年新课标I卷、Ⅱ卷，2022年新高考卷均涉及。数列通顶公式求解：利用定义法（如等差数列定义）、与的关系(求通项。如2022年新高考I卷通过为等差数列求通项。数列求和与综合：分组求和（如2023年新课标II卷)、裂项相消法（如2022年新高考I卷证明不等式)；数列与不等式结合（如证明。2.题目设置方面通常设置两问，第一问求数列通项公式，第二问求和或证明不等式、比较大小（如2023年新课标卷证明时整体考点稳定，注重对数列基本公式、方法的理解与运用，兼顾计算能力和逻辑推理能力的考查。题型与分值：预计以一道解答题（分值约12-17分）呈现，设置两问，梯度分明。​考查方向​数列基本性质：等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式仍是考查重点，可能结合递推关系求通项。​数列求和方法：裂项相消法、分组求和法、错位相减法等仍会考查，尤其裂项相消在证明不等式或求和中出现概率高。​综合应用：数列与不等式的综合（如证明数列和的范围、不等式恒成立求参数），或与函数结合考查数列的单调性、最值。​计算与推理：注重基本概念与公式的灵活运用，第二问可能设置一定计算量或推理过程，如通过数列求和证明不等式，考查逻辑严谨性和运算准确性。等差数列通项公式：或等比数列通项公式：通项公式的构造（1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解（2）已知用求通项（3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式（4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法（5）已知用求通项公式，其本质是除以（6）已知用求通项公式，其本质是取到数（7）已知用求通项公式，其本质是取对数的类型，公式数列求和的常用方法：对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；等差数列求和，等比数列求和对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.即常见的裂项技巧：；；指数型；对数型.等典例1（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．典例2（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．典例3（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．典例4（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【名校预测·第一题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下数学试卷）已知正项数列的前项和为，(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．【名校预测·第二题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期数学试题）数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为．(1)求，并求数列的通项公式；(2)抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：．【名校预测·第三题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）已知等差数列的前n项和为．(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【名师押题·第一题】已知数列满足，．(1)求证：是等差数列；(2)若，求数列的前项和．【名师押题·第二题】已知数列的前n项和为，且．(1)若，求；(2)若，求关于n的表达式．【名师押题·第三题】已知数列满足，（），记．(1)求证：是等比数列；(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．【名师押题·第四题】已知数列的前n项和为，且，．(1)证明：数列是等比数列．(2)设，求数列的前n项和．(3)设，证明：．【名师押题·第五题】已知数列满足．(1)证明：数列为等差数列；(2)设，记数列的前n项和为．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范围．新定义（解答题）年份题号分值题干2024年新高考I卷1917（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．数列新定义；等差数列通项公式的基本量计算，数列与概率交汇结合新高考数学新定义解答题考查情况总结​考点方面：聚焦于对新定义概念的理解与运用，如2024年新高考全国I卷“可分数列”的新定义，结合等差数列通项公式的基本量计算，以及数列与概率的交汇考查。注重知识的综合运用，要求考生快速理解新定义，并调用已有知识（如数列性质、概率计算）进行分析。​题目设置方面：通常设置多问，第一问常为具体实例探索（如写出满足条件的所有可分数列），帮助考生初步理解新定义；后续问题逐步深入（如证明某数列符合新定义、计算相关概率并证明不等式），对数学抽象、逻辑推理和运算求解能力要求较高。整体强调对新定义的深度理解与综合应用，考查考生学习新知识并解决问题的素养。​2025年新高考新定义解答题高考预测​题型与考查形式：预计2025年新高考仍会以新定义题考查学生创新思维与综合能力，可能涉及更多元的知识交汇，如数列与函数、几何、概率统计等的结合。题目或设多问，第一问引导理解新定义，后续问题增加难度，深入考查应用能力。​考点趋势：除数列相关新定义外，函数、几何领域的新定义考查概率增加。例如，给出函数的新性质定义，或几何图形的新判定规则，要求考生通过分析、推理、计算解决问题。注重对数学抽象、逻辑推理和创新意识的考查，计算与证明过程可能更复杂，强调基础知识的灵活运用与思维的开放性。一、数列新定义问题1.考察对定义的理解。2.考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.3.考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，转化为已有的知识点是考查的重点，这类思想需要熟练掌握.二、函数新定义问题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.关于新定义题的思路有：1.找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；2.由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；3.将已知条件代入新定义的要素中；4.结合数学知识进行解答.三、集合新定义问题对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：1.紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2.用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.3.涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.4.认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化化归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．典例1（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）全集，，，若中存在两个非空子集，，满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和．(1)若．①若，，求；②若为偶数，证明：；(2)若，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，求的最小值，并写出取得最小值时的一个集合．【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列．(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；(2)若，求的二阶和数列的前项和；(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差．【名校预测·第三题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）对于无穷数列，，，，，我们称为数列的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数.(1)写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数并化简；(2)证明：；(3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最终分数.计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分，通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记为总分为n分的所有得分组合数，求．【名校预测·第四题】（山西大学附属中学校2024-2025学年高三下学期3月模拟数学试题）定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知．(1)求出f（x）的“优秀区间”；(2)设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、．（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）证明：（参考数据：）．【名师押题·第一题】已知集合，集合B满足．(1)判断，，，中的哪些元素属于B；(2)证明：若，，则；(3)证明：若，则．【名师押题·第二题】已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”.(1)判断是否是上的“函数”？请说明理由；(2)证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，；(3)已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值.【名师押题·第三题】已知数列的前n项和为，且，，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这个数的一个排列，将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作．若对，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为．(1)求数列的通项公式；(2)当数列的项数为时，求的值；(3)若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值．【名师押题·第四题】设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列．(1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式；(2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值；(3)证明：不存在“等比关联数列”．【名师押题·第五题】设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”的．(1)如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值；(2)已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项；(3)设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值．函数及其性质（选填题）年份题号分值题干2024年新高考I卷65（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（

） B． C． D．判断指数函数的单调性；根据分段函数的单调性求参数；研究对数函数的单调性2024年新高考I卷85（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A．B．C．D．求函数值；比较函数值的大小关系2024年新高考II卷65（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

） B．C．1 D．2函数奇偶性的应用；根据函数零点的个数求参数范围；函数奇偶性的定义与判断；求余弦（型）函数的奇偶性2024年新高考II卷85（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（

） B．C． D．1由对数函数的单调性解不等式；函数不等式恒成立问题2023年新高考I卷45（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A．B．C． D．根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；已知二次函数单调区间求参数值或范围2023年新高考I卷115（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A．B．C．是偶函数D．为的极小值点函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析2023年新高考II卷45（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（

）． B．0C． D．1由奇偶性求参数；函数奇偶性的应用2022年新高考I卷125（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）B．C． D．函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系；抽象函数的奇偶性2022年新高考II卷85（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

） B．C．0 D．1函数奇偶性的应用；由抽象函数的周期性求函数值近三年新高考数学函数及其性质选填题考查情况总结1.考点方面函数基本性质：单调性（如根据分段函数或复合函数单调求参数）、奇偶性（由奇偶性求参数或判断性质）、对称性（利用函数对称性解决问题）是核心考点。例如2024年新课标Ⅰ卷第6题考查分段函数单调求参数，2023年新课标Ⅱ卷第4题由奇偶性求a值。函数综合应用：涉及函数值比较（2024年新课标Ⅰ卷第8题）、函数零点与参数关系（2024年新课标Ⅱ卷第6题）、不等式恒成立求最值（2024年新课标Ⅱ卷第8题）。还考查抽象函数性质（2022年新课标Ⅱ卷第8题利用函数方程求累加和）。导数与函数结合：如2022年新课标Ⅰ卷第12题通过导函数与原函数对称性的关系解题，体现导数工具性。2.题目设置方面以选择题为主，分值5分，题干简洁但综合性强。注重对函数性质的深度理解与灵活运用，如根据单调性列不等式组、利用奇偶性建立方程、结合对称性推导函数值关系等。1.题型与分值：预计2025年仍以选择题或填空题形式出现，分值5-6分，保持对函数核心性质的考查。2.考查方向核心性质深化：函数的单调、奇偶、对称性质仍是重点，可能结合导数考查复杂函数单调性，或通过奇偶性与对称性的综合推导函数特征。综合应用拓展：函数与方程零点、不等式的综合会更常见，如根据零点个数求参数范围，或利用函数单调性解不等式。也可能出现函数与数列的简单交汇，如通过函数周期性求数列和。创新与灵活度：可能引入新情境或新定义（如给定特殊函数方程），考查对函数性质的迁移应用能力，注重思维灵活性与对知识的综合运用。单调性单调性的运算①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）复合函数的单调性奇偶性①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：，图象关于原点对称偶函数：，图象关于轴对称③奇偶性的四则运算周期性（差为常数有周期）①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）对称性（和为常数有对称轴）轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：典例1（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．典例2（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B．C． D．典例3（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．2典例4（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点典例5（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．【名校预测·第一题】（山东省实验中学2025届高三第五次诊断考试数学试题）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）（多选）已知函数的定义域为，，，则（

）A． B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称 D．【名校预测·第三题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）（多选）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【名校预测·第四题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）（多选）已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一【名师押题·第一题】已知是奇函数，则（

）A． B．0 C．1 D．2【名师押题·第二题】若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【名师押题·第三题】已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（

）A． B． C．1 D．【名师押题·第四题】已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（

）A． B． C．0 D．1【名师押题·第五题】（多选）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足当时，，当时，，则（

）A． B．C． D．三角函数的图象及其性质（选填题）年份题号分值题干2024年新高考I卷75（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3B．4C．6D．8正弦函数图象的应用；求函数零点或方程根的个数2024年新高考II卷96（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（

）与有相同的零点B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求函数零点或方程根的个数2023年新高考I卷155（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用2023年新高考II卷165（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

由图象确定正（余）弦型函数解析式；特殊角的三角函数值2022年新高考I卷65（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1B．C．D．3由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）2022年新高考II卷95（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性近三年新高考数学三角函数的图象及其性质选填题考查情况总结考点：涉及函数图象交点（如2024年新课标Ⅰ卷）、性质比较（2024年新课标Ⅱ卷）、性质与参数求解（2023年新课标Ⅰ卷）、图象与特殊点（2023年新课标Ⅱ卷）、综合性质判断（2022年新课标Ⅱ卷）。题型：以选择题为主，分值5或6分，侧重考查对三角函数图象和性质（周期、对称轴等）的理解与应用。2025年新高考预测题型与分值：预计为选择题或填空题，分值约5-6分。考查方向：深化核心性质（如结合多性质求参数）；拓展图象应用（如交点问题、求参问题）；综合创新（与导数结合求切线或考查图象变换）。特殊角的三角函数值同角三角函数的基本关系平方关系：商数关系：三角函数的图象与性质函函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴三角函数型函数的图象和性质正弦型函数、余弦型函数性质，振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函数性质的周期公式为：三角函数的伸缩平移变换伸缩变换（，是伸缩量）振幅，决定函数的值域，值域为；若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比决定函数的周期，若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比平移变换（，是平移量）平移法则：左右，上下典例1（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．8典例2（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴典例3（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．典例4（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3典例5（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线【名校预测·第一题】（2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题）（多选）已知函数，则（

）A．的图象关于直线对称B．为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度C．在上的值域为D．两个相邻的零点之差的绝对值为【名校预测·第二题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）若函数的两个零点分别为和，则（

）A． B． C． D．【名校预测·第三题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【名校预测·第四题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（

）A． B． C． D．【名校预测·第五题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是A． B．C． D．【名师押题·第一题】已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为（

）A． B．C． D．【名师押题·第二题】已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【名师押题·第三题】下列关于函数说法正确的是（

）A．是函数图象的一个对称中心 B．的值域为C．在区间上单调递减 D．直线是函数图象的一条对称轴【名师押题·第四题】（多选）已知函数，则（

）A．的定义域为 B．的最小正周期为C．在区间上单调递减 D．在区间上仅有2个零点【名师押题·第五题】（多选）已知函数，为常数，则下列说法正确的有（

）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．在，上单调递增D．若对于任意的，函数（a为常数）的图象均与曲线总有公共点，则三角恒等变换（选填题）年份题号分值题干2024年新高考I卷45（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（

）A． B．C． D．三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；用和、差角的余弦公式化简、求值2024年新高考II卷135（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.用和、差角的正切公式化简、求值2023年新高考I卷85（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（

）． B．C． D．给值求值型问题；用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式2023年新高考II卷75（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（

）． B． C． D．二倍角的余弦公式；半角公式2022年新高考II卷65（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（

）A．B．C．D．用和、差角的余弦公式化简、求值；用和、差角的正弦公式化简、求值近三年新高考数学三角恒等变换选填题考查情况总结1.考点：聚焦三角函数化简求值，涉及和、差角公式（2024年新课标Ⅰ卷）、正切公式（2024年新课标Ⅱ卷）、二倍角公式（2023年新课标Ⅰ卷）、半角公式（2023年新课标Ⅱ卷）等。2.题型：以选择题为主，分值5分，侧重考查公式的灵活运用与化简求值能力。1.题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6分。2.考查方向：延续对和差角、二倍角等公式的考查，可能与其他知识结合，注重公式的灵活运用，考查化简求值问题。正弦的和差公式，余弦的和差公式，正切的和差公式，正弦的倍角公式 余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，正切的倍角公式推导公式辅助角公式，，其中，典例1（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．典例2（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.典例3（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．典例4（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．典例5（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（

）A． B．C． D．【名校预测·第一题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）已知，，则（

）A． B． C． D．【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）设是锐角，，则（

）A． B． C． D．【名校预测·第三题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期数学试卷）已知，，，，则（

）A． B． C． D．【名校预测·第四题】（2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题）已知，则.【名校预测·第五题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）则（

）A． B． C． D．【名师押题·第一题】已知，都是锐角，，，则．【名师押题·第二题】已知，且满足，则，则．【名师押题·第三题】已知，且，则（

）A．3 B．2 C． D．【名师押题·第四题】已知，且，则（

）A． B．C． D．【名师押题·第五题】已知，，且满足，则最小值为（

）A． B． C． D．第三辑导数（选填题）………………………01立体几何（选填题）…………………17直线与圆（选填题）…………………41圆锥曲线（选填题）…………………56数列（选填题）………………………85导数（选填题）年份题号分值题干考点2024年新高考I卷106（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（

）A．是的极小值点B．当时，C．当时，D．当时，利用导数求函数的单调区间（不含参）；求已知函数的极值点2024年新高考I卷135（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；已知切线（斜率）求参数2024年新高考II卷116（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心函数对称性的应用；函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数研究函数的零点；判断零点所在的区间2023年新高考I卷115（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A．B．C．是偶函数 D．为的极小值点函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析2023年新高考II卷65（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．eC． D．由函数在区间上的单调性求参数2023年新高考II卷115（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A．B．C． D．根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数2022年新高考I卷75（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（

） B． C． D．用导数判断或证明已知函数的单调性；比较指数幂的大小；比较对数式的大小2022年新高考I卷105（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．求过一点的切线方程；求某点处的导数值2022年新高考I卷155（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数，则（

）有两个极值点B．有三个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求已知函数的极值点；利用导数研究函数的零点2022年新高考II卷145（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．求过一点的切线方程近三年新高考数学导数选填题考查情况总结1.考点：涵盖利用导数求单调区间、极值点（2024年新课标Ⅰ卷）；根据切线求参数（2024年新课标Ⅰ卷）；函数对称性、单调性与极值最值综合（2024年新课标Ⅱ卷）；函数奇偶性判断（2023年新课标Ⅰ卷）；由单调性求参数（2023年新课标Ⅱ卷）；根据极值求参数范围（2023年新课标Ⅱ卷）；用导数比较大小（2022年新课标Ⅰ卷）；求切线方程（2022年新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷）等。2.题型：以选择题为主，分值5-6分，注重考查导数工具在研究函数性质（单调性、极值、最值等）及切线问题中的应用，对运算和逻辑推理能力要求较高。题型与分值：预计仍为选择题或填空题，分值5-6分。2.考查方向：持续考查导数与函数性质的结合，如根据函数单调性、极值情况求参数；可能增加与函数图象（如切线、零点分布）、不等式的综合；也可能出现新颖的函数形式，考查对导数知识的灵活运用和创新思维。八大常用函数的求导公式（为常数）；例：，，，，，，，导数的四则运算和的导数：差的导数：积的导数：（前导后不导前不导后导）商的导数：，复合函数的求导公式函数中，设（内函数），则（外函数）导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：用导数判断原函数的单调性设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.判别是极大（小）值的方法当函数在点处连续时，（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.常见的指对放缩，，，常见的三角函数放缩其他放缩，，，，，，常见函数的泰勒展开式（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．典例1（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.【答案】【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：典例2（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心【答案】AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心典例3（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．典例4（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【详解】函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD典例5（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故典例6（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】AC【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）已知函数，其导函数记为，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【来源】山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题【分析】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，求得，根据复合函数求导法则得，进而得，即，即可得解.【详解】因为，令，则，又因为，所以函数为奇函数，所以，所以；因为，所以，即，又，所以，所以，所以．故选：D【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期试题）已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则．【答案】【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程过原点得出切线方程为，再次利用导数的几何意义求得的切点，再带入点计算求参.【详解】因为的导数为，设切点为，所以切线斜率为，所以曲线在处的切线过原点，所以，即，所以，切线为，又切线与曲线相切，设切点为，因为，所以切线斜率为，解得，所以，则，解得.故答案为：.【名校预测·第三题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期试题）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则的取值范围是．【答案】【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期期初考试数学试题【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义得到，然后将经过且与曲线相切的直线有三条转化为与的图象有三个交点，求导，利用函数单调性画出大致图象，然后列不等式求解.【详解】，设切点坐标为，切线斜率为，当时，明显只有一条切线，故，则，整理得，经过且与曲线相切的直线有三条，即方程有三个解，即与的图象有三个交点，，当或时，，所以在，上单调递增，当时，，所以在上单调递减，因为，所以，又，，所以的大致图象如下：所以，解得.故答案为：.【名校预测·第四题】（2025届湖南省长沙市雅礼中学高三4月试题）当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【来源】2025届湖南省长沙市雅礼中学高三4月综合自主测试（提升卷）数学试题【分析】由已知得，构造函数，利用导数判断出的单调性，可得在时恒成立，令，利用导数求出的最大值可得答案.【详解】由得，即，令，则，所以在上单调递增，由，可得，，即在时恒成立，令，则，令得，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以.故选：D.【名校预测·第五题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（

）A．当时， B．函数有3个零点C．的解集为 D．，都有【答案】BCD【来源】辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题【分析】根据函数奇偶性求解析判断A；解方程求零点判断B；解不等式可判断C；利用导数求出函数的极值，可得函数值域，即可判断D.【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，，故，A错误；对于B，函数是定义在R上的奇函数，故；当时，令，解得；当时，令，解得；故函数有3个零点，B正确；对于C，当时，令，解得；当时，令，解得，则，故的解集为，C正确；对于D，当时，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，取最小值为，且时，，所以，即，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，取极大值为，且时，，时，，所以，所以，综合以上，的值域为，所以，都有，故D正确；故选：BCD【名师押题·第一题】已知函数，若与曲线相切，则实数．【答案】【分析】设切点为，得出过该点的切线方程结合已知即可求解．【详解】设切点为，又，则，所以切线方程为，即，所以，解得，故答案为：．【名师押题·第二题】已知函数是上的增函数，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得恒成立，进而分，两种情况讨论求解即可.【详解】由，得，因为是上的增函数，则恒成立，即恒成立，当时，，此时不恒成立，不满足题意；当时，等价于对恒成立，则，即，则，设，，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即的最小值是.故选：C.【名师押题·第三题】已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需与有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，利用数形结合即可求解.【详解】因为函数的定义域为，由，可得，要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，由得，，所以，由题意可知与有两个不同的交点，令，则，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，当时，，作出图形如图所示：由图象可得实数a的取值范围为.故答案为：.【名师押题·第四题】（多选）已知函数，则（

）A．有三个零点B．，使得点为曲线的对称中心C．既有极大值又有极小值D．，，【答案】CD【分析】结合零点的定义分析可得当时，函数只有2个零点，即可判断A；利用检验判断B；求导，分析函数的单调性即可判断C；举特例判断D.【详解】对于B，对于A，令，解得或，当时，函数只有2个零点，故A错误；对于B，，则，又，要使点为曲线的对称中心，则对，，此时，但，所以不存在，使得点为曲线的对称中心，故B错误；对于C，由，则，由于，则方程有两个不相等的实数根，设，则或时，；时，，则函数在和上单调递增，在上单调递减，则函数在取得极大值，在取得极小值，故C正确；对于D，当时，，此时，，故D正确.故选：CD.【名师押题·第五题】（多选）函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，的极小值为0B．若有3个零点，，，则C．若，则为奇函数D．当时，在区间上单调递增【答案】BD【分析】利用导数求出的极小值，即可判断A；利用韦达定理求出的零点之和判断B；利用奇函数的定义判断C；利用的导函数在区间上的正负判断D.【详解】对于A，当时，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以为的极小值，故A错误；对于B，由可知是其一个零点，令，令，设是的两个根，由韦达定理得，所以，若函数的3个零点为，，，则，故B正确；对于C，令，当时，，所以函数不是奇函数，故C错误；对于D，，因为当时，，当时，，所以，所以，当时，在区间上单调递增，故D正确.故选：BD.立体几何（选填题）年份题号分值题干考点2024年新高考I卷55（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（

）A． B．C． D．圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算2024年新高考II卷75（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（

）A．B．1C．2D．3求线面角锥体体积的有关计算台体体积的有关计算2023年新高考I卷125（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体正棱锥及基有关计算多面体与球体内切外接问题2023年新高考I卷145（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，则该棱台的体积为．台体体积的有关计算2023年新高考II卷95（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为C．D．的面积为锥体体积的有关计算由二面角大小求线段长度或距离圆锥表面积的有关计算二面角的概念及辨析2023年新高考II卷145（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．正棱台及基有关计算锥体体积的有关计算台体体积的有关计算2022年新高考I卷85（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）B．C． D．由导数求函数的最值(不含参)多面体与球体内切外接问题锥体体积的有关计算球的体积的有关计算2022年新高考I卷95（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正方体，则（

）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为求异面直线所成的角求线面角2022年新高考II卷75（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B．C． D．球的表面积的有关计算多面体与球体内切外接问题2022年新高考II卷115（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（

）A．B．C．D．锥体体积的有关计算证明线面垂直近三年新高考数学立体几何选填题考查情况总结​考点：涵盖几何体体积（圆柱、圆锥、棱台、棱锥等，如2024年新课标Ⅰ卷圆锥体积、2023年新课标Ⅰ卷正四棱台体积）、表面积（圆锥侧面积等，如2023年新课标Ⅱ卷）、空间角（线面角，如2024年新课标Ⅱ卷）、球的表面积（2022年新课标Ⅱ卷）及几何体性质综合（如2022年新课标Ⅰ卷正四棱锥体积范围）。​题型：以选择题为主，分值5分，侧重考查空间想象能力、公式运用及计算能力。2025年新高考立体几何选填题高考预测​题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6分。​考查方向：延续对几何体体积、表面积的考查，可能涉及空间角（如线面角、二面角）、球与几何体的切接问题，或出现新颖几何体，强化空间想象与运算求解能力的考查。平面初等几何基础三角形的面积公式：正方形的面积公式：长方形的面积公式：平行四边形的面积公式：菱形的面积公式：（，为菱形的对角线）梯形的面积公式：（为上底，为下底，为高）圆的周长和面积公式：，立体几何基础公式所有椎体体积公式：所有柱体体积公式：球体体积公式：球体表面积公式：圆柱：圆锥：长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式已知长宽高求体对角线：已知三条面对角线求体对角线：球体问题球体体积公式：，球体表面积公式：正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ）球心体心，直径体对角线已知长宽高，，求体对角线，公式为：，直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ），其中为直棱柱的高，为底面外接圆半径（可用正弦定理求解）墙角问题可转化为类型Ⅰ侧棱底面问题可转化为类型Ⅱ异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）线面角直线与平面所成角，(为平面的法向量).二面角的平面角（，为平面，的法向量）.点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.典例1（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B.典例2（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的为，则，解得，如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，则，，可得，结合等腰梯形可得,即，解得，所以与平面ABC所成角的正切值为；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.故选：B.典例3（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为．【答案】/【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，则，故，则，所以所求体积为.故答案为：.典例4（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为【答案】AC【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.

典例5（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是典例6（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．

【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期第三次模拟试题）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题【分析】画出图形，由三角形相似比得到，再由两圆锥的侧面积之差计算可得.【详解】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，，由于，所以，所以，所以原圆台的侧面积为，故选：A.【名校预测·第二题】（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟试卷）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（

）A． B． C． D．【答案】B【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解.【详解】如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径，则球心到圆锥底面圆心距离，由，得，圆锥的体积，求导得，当时，，函数在上递增，当时，，函数在上递减，则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径.故选：B【名校预测·第三题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）已知两个正四棱锥组合成的简单几何体中，顶点，分别位于平面的两侧．其中正方形的边长为2，两个正四棱锥的侧棱长均为3．则四棱锥的外接球的表面积为．【答案】【来源】山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题【分析】建立适当的空间直角坐标系，结合空间中两点距离公式即可得到球的半径，从而利用球的表面积公式得到结果.【详解】连结，交于点，连结，由正四棱锥性质可知平面，平面，所以三点共线，又四边形是正方形，可得两两垂直，且交于点.以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，由，在中，，则，设四棱锥的外接球球心为，连接，则，得，解得，所以四棱锥的外接球的半径的平方为，故四棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.【名校预测·第四题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期试题）（多选）已知边长为2的等边三角形，点均在平面的上方，，且与平面所成角分别为，则下列说法中正确的是（

）A．四面体的体积为定值B．面积的最小值为C．四面体体积的最大值为1D．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为【答案】BCD【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期期初考试数学试题【分析】由三棱锥体积公式计算即可判断A项，由三角形面积公式及范围计算即可判断B项，当取最大值且面时四面体体积取得最大值即可判断C项，当四面体体积最大时，，，两两垂直，进而借助模型（长方体外接球直径为其体对角线长）即可求得半径，进而可求得外接球表面积即可判断D项.【详解】由题意知，与是共轴的圆锥母线，如图所示，对于A项，由题意知，因为且与平面所成角为，所以点到平面的距离为定值，所以四面体ABCM的体积为定值，故A项错误；对于B项，与是共轴的圆锥母线，所以，即，当时，的面积最小，最小值为，故B项正确；对于C项，当时，的面积最大，最大值为，当所在平面旋转至与垂直时，四面体ABMN的高最长，最长值为2，所以体积的最大值为，故C项正确；对于D项，当四面体体积最大时，线段，，两两垂直，所以其外接球直径，所以外接球的表面积为，故D项正确．故选：BCD．【名校预测·第五题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（

）A．若，则四面体的体积为定值B．若，则点的轨迹为一段圆弧C．若的外心为O，则为定值2D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为【答案】ABD【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期开学检测数学试题【分析】利用平行线的性质结合给定条件判断底面积和高都是定值来处理A，利用圆的定义结合夹角求解轨迹来处理B，利用三角形外心和向量数量积的性质判断C，将三角形翻折后，利用勾股定理和余弦定理判断D即可.【详解】对于A，如图，取靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，连接，因为，所以，令，而，则，得到，因为靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，所以，而由直四棱柱性质得，而，由勾股定理得，在直四棱柱中，，，得到四边形是平行四边形，故，则，由题意得为的中点，则的面积是定值，而面，面，所以面，结合，由线面平行性质得到面的距离为定值，即四面体的体积为定值，故A正确，对于B，如图，在面中，过作，连接，由直四棱柱性质得面，则，而，面，故面，则，而面为菱形，则面为菱形，因为，所以，因为，所以，则，由锐角三角函数定义得，解得，由勾股定理得，因为，所以由勾股定理得，则在以为圆心，为半径的圆上运动，设该圆与交于，与交于，由三角函数定义得，则，即点的轨迹为一段圆弧，故B正确，对于C，如图，作，由题意得的外心为，故是的中点，由已知得，因为，所以，而，，故C错误，对于D，若且，此时，因为P为的中点，所以，由向量加法法则得，故，则点与点重合，此时把沿着翻折，如图，使得四点共面，此时有最小值，此时的点均为翻折过的点，因为P为的中点，所以，由勾股定理得，如图，连接，由已知得，则，由余弦定理得，解得，由直四棱柱性质得面，则，则由勾股定理得，则，故，而，则，得到，由余弦定理得，解得，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题即可.【名师押题·第一题】如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】检验所给定条件，结合正四棱台的结构特征求出正四棱台的高扩底面边长，再利用台体的体积公式计算得解.【详解】设，则，正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形，在四边形中，过点作于点，，则，，解得，在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高，且，因此，该正四棱台的体积为.故选：D【名师押题·第二题】如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圆台上面部分的体积，根据小球的体积恰好等于的体积求出球的半径.【详解】如图，，又放入的球的半径为，由于圆台的体积，由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切；下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则，由于，则，则，那么，则，那么在上方，即该小球先与上下底面相切．

故选：D.【名师押题·第三题】已知正四棱台的上底面的边长为2，现有一个半球，球心为正方形的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球相切，则该半球的表面积为.【答案】【分析】根据给定条件，利用正四棱台及半球的结构特征，结合切线的性质列式求出半球的半径，进而求出其表面积.【详解】如图，记正四棱台的上底面的中心为，过作平面于，则点在上，记半球与分别相切于点，由正四棱台和球的结构特征知，为的中点，由，得，记半球半径为，则，于是，在中，，解得，所以半球的表面积为.故答案为：【名师押题·第四题】（多选）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（

）A．B．平面与平面所成角的余弦值为C．若，则点轨迹的长度为D．若点在直线上，则的最小值为【答案】ABC【分析】通过线面垂直可判断线线垂直，判断A的真假；利用投影面积法求二面角的余弦，判断B的真假；弄清点的轨迹，再求其长度，可判断C的真假；利用表面展开，转化为两点之间，直线段最短求的最小值，判断D的真假.【详解】如图1，连接，由菱形可得．再由直棱柱，可得底面．又因为底面，所以，而平面，所以平面，又因为平面，所以，故A正确；，，，所以为直角三角形，且，其在底面投影的三角形的面积为，由投影面积法可得平面和平面所成角的余弦值为，故B正确；如图2，动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为，由直棱柱，所以平面平面，平面平面，平面，且，所以平面.而侧面，即有，由菱形边长为2，，可得，再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（如图3中），则由侧面正方形，可知，，可得，所以点轨迹的长度为，故C正确；由为直角三角形，且为等腰直角三角形，将与展开成一个平面图，如图4，则；由余弦定理得：，即，故的最小值为，故D错误．故选：ABC【名师押题·第五题】（多选）如图，棱长为2的正方体中，点E，F分别在棱上，且，，其中，点是平面内的一个动点（异于点），且，则（

）A．B．直线与平面所成的角的余弦值为C．当变化时，平面截正方体所得的截面周长为定值D．点为中点时，三棱锥的外接球的表面积为【答案】ACD【分析】以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，由结合空间向量的数量积即可判断A；由线面夹角的向量公式即可判断B；作出平面截正方体所得的截面，结合，，即可判断；根据球的表面积公式即可判断D．【详解】以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设，则，所以，，所以，，，，，，因为，所以，所以，故A正确；因为，，平面，所以平面，所以平面的法向量为，则直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角的余弦值为，故B错误；取上一点，满足，则，因为，且有公共点，所以平面，又平面，平面平面，所以共线，作出平面截正方体所得的截面，由，得为等腰直角三角形，同理可得均为等腰直角三角形，，所以截面周长为为定值，故C正确；当点为中点时，，所以，，，则，所以，所以三棱锥的外接球的球心在过中点，垂直于平面的直线上，连接，因为，所以，所以四边形为平行四边形，则共面，设交点为，则，设球心为，，则，则，即，解得，半径为，表面积为，故D正确；故选：ACD．直线与圆（选填题）年份题号分值题干考点2023年新高考I卷65（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B．C． D．切线长；给值求值型问题；余弦定理解三角形；已知点到直线距离求参数2023年新高考II卷155（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．圆的弦长与中点弦2022年新高考I卷145（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线