2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.−240°是(

)A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角2.已知角θ的终边经过点P−1,−3，则cosθA.32 B.−32 3.下列函数中，最小正周期为π且是奇函数的是(

)A.y=sinx B.y=cosx C.4.向量a=(2,0)，b=1,2，则aA.4 B.8 C.42 5.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与cA.−2 B.−1 C.1 D.26.若向量a=(2sinα,cosα)，b=1,1，且A.−15 B.15 C.37.如图，在▵ABC中，点D,E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=xABA.−13 B.−12 C.8.函数fx=sinx的图象经过下列哪个变换可以得到gA.先将函数fx=sinx的图象向左平移π3个单位，再把图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍

B.先将函数fx=sinx的图象向左平移π3个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的12

C.先把函数fx=sin9.若函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则A.π3 B.π6 C.π410.已知函数fx=sinx,①函数fx是周期函数，最小正周期为2π②函数fx的值域为−1,1③函数fx在区间−π+2kπ,2kπ其中判断正确的个数是(

)A.3 B.2 C.1 D.0二、填空题：本大题共6小题，共30分。11.cos−176π=12.已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为3π，则该扇形所在圆的半径为

．13.已知向量a=(1,2)，b=m,tm−1，若a=b，则t=

，若存在实数m，使得a,b14.若P为▵ABC所在平面内一点，且PA−PB=PA+PB−215.已知角α的终边绕原点O逆时针旋转23π后与角β的终边重合，且cosα+β=1，则α的取值可以为

16.已知f(x)=3cosx+2sinx，例如：2=2，0.5=0①f(5π6)=②若f(x)>x+a对任意x∈0,2π都成立，则实数a的取值范围是

．三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知向量AB=4,3，AD=(−3,−1)，点A(−1,−2)(1)求与向量AB方向相同的单位向量a的坐标；(2)求点M的坐标；(3)若点P(2,y)满足PB=λBD(λ∈R)，求y与18.已知函数fx=2(1)请用“五点法”画出函数fx在一个周期上的图象(先列表，再画图)(2)求函数fx(3)求函数fx在区间0,π2上的最小值，并写出相应19.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2，且fx(1)确定fx(2)若fx图象的对称轴只有一条落在区间0,a上，求a条件①：fx的最小值为−2条件②：fx图象的一个对称中心为5π条件③；fx的图象经过点5π620.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AB⊥AC,▵ACD是边长为2的等边三角形，点E是BC边上的动点(不含端点)．(1)若AC=xAB+y(2)求AE+BE21.如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心O2，O1在同一竖直线上，且O1O2=5，标记初始位置A点为下齿轮的最右端，B点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心O1为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xOy，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中A，B两点的纵坐标分别为y1(1)当t=1时，求点B绕O2(2)分别写出y1，y2关于转动时间t的函数表达式，并求当t满足什么条件时，(3)若函数g(t)=cos2t+y1−a，当t∈22.已知n∈N∗,n≥2,a=x1,x2,⋯,xn为n维向量，若−1<xi<1,i=1,2,⋯,n，则称a为可聚向量．对于可聚向量a实施变换T：把a=x1,x2,⋯,xn的某两个坐标(1)设a=0,1(2)求证：对于任意一个n(n≥2)维可聚向量a，变换T总可以进行n−1次；(3)设a=−57,−参考答案1.B

2.D

3.D

4.C

5.D

6.D

7.A

8.B

9.A

10.C

11.−12.3

13.3；−∞,214.直角三角形

15.−π3(16.43/1117.(1)因为AB=4,3，所以与向量AB方向相同的单位向量a=(2)因为BM=12整理得AM=因为点A−1,−2，所以M(−(3)因为PB=λBD(λ∈R)，所以AB即(3,y+2)=(7λ+4,4λ+3)，解得λ=−17

18.(1)按5个关键点列表如下：x−ππ7π5π2x+0ππ3π2πy020−20描点连线作图如下：(2)令−解得−所以函数fx的单调递增区间是(3)因为x∈所以sin所以函数fx在区间0,π2上的最小值为−

19.解：(Ⅰ)由于函数f(x)图象上两相邻对称轴之间的距离为π2，

所以f(x)的最小正周期T=2×π2=π，ω=2πT=2．

此时f(x)=Asin(2x+φ)．

选条件①②：

因为f(x)的最小值为−A，所以A=2．

因为f(x)图象的一个对称中心为( 5π12, 0 )，

所以2×5π12+φ=kπ  (k∈Z)，

所以φ=kπ−5π6  (k∈Z)，

因为| φ |<π2，所以φ=π6，此时k=1，

所以f(x)=2sin(2x+π6)．

选条件①③：

因为f(x)的最小值为−A，所以A=2．

因为函数f(x)的图象过点( 5π6,  −1)，

则f(5π6)=−1，即2sin(5π3+φ)=−1，sin(5π3+φ)=−12．

因为| φ |<π2，所以7π6<φ+5π3<13π6，

所以φ+5π3=11π6，φ=π6，

所以f(x)=2sin(2x+π6)．

选条件②③：

因为函数f(x)的一个对称中心为( 5π12, 0 )，

所以2×5π12+φ=kπ  (k∈Z)，

所以φ=kπ−5π620.(1)由AD//BC,▵ACD是边长为2的等边三角形，所以∠B=30∘，又AB⊥AC，故故AD=12BC，则所以x=1,y=2．(2)令CE=λCB且0<λ<1，则又AE=AC+所以AE=AC则AE+所以当λ=316时AE+

21.(1)当t=1时，点A绕O1转动1弧度，点A与点B则点B绕O2转动的弧度数为(2)转动时间为t秒，点A绕O1转动t弧度，点B绕O2转动y1=2sin当y2=5+sin由t≥0，得kπ+π3≤t≤kπ+所以满足条件的t的集合为{t|kπ+π(3)g(t)=cos2t+所以a≤−sin2t+2当π6≤t≤2π根据二次函数性质可得，当sint=12时，−si故a≤7故a的范围为{a|a≤

22.(1)0+121+0×1所以a(1)=(12,1(2)设−1<xi<1，−1<xj<1，则0<1+xixxi+xj+1+1+xixj−(即−1<x所以n维可聚向量a(n)经过一次变换后得n−1维向量a这样经过n−1次变换后变成一个数，所以对于任意一个n(n≥2)维可聚向量a，变换T总可以进行n−1次；#替#换#一#换#