2025届安徽省高三下学期4月联考数学模拟试题（二模）含解析

2025届安徽省高三下学期4月联考数学模拟试题（二模）一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知向量，若，则实数（）A．1 B． C． D．3．若复数满足，则（）A． B． C． D．4．已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（）A．120种 B．150种 C．180种 D．300种6．记为数列的前项和，若为等比数列，则（）A．64 B．32 C．16 D．87．已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（）A．-e B．-1 C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（）A．该组数据的平均数为50 B．该组数据的中位数为50C．该组数据的方差为3 D．该组数据的第80百分位数为51.510．已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（）A． B．当时，C．可以为 D．周长的最小值是1111．由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（）A．的图象关于直线对称 B．在区间上先增后减C．的值域为 D．在区间上有11个零点三、填空题（本大题共3小题）12．已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为.13．在棱长为2的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为．14．已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的内角所对的边分别为，且．(1)求；(2)若，求周长的最大值．16．如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．(1)求证：平面平面；(2)若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．17．已知椭圆的短轴长为，且离心率为．(1)求的方程；(2)若分别是的左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．18．某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．(1)求该运动员第二次投篮命中的概率；(2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；(3)设第次投篮命中的概率为，求证：．19．已知曲线在点处切线方程为，其中为常数．(1)①求的值；②证明：只有一个零点．(2)若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围．

答案1．【正确答案】B【详解】由题意得，，所以．故选B.2．【正确答案】C【详解】由题意得，，因为，所以，解得，故选C.3．【正确答案】D【详解】设，则，则．故选D.4．【正确答案】A【详解】对于A项，若，则或．对于B，C，D项，显然成立，故选A.5．【正确答案】B【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2．当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法；当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法，所以不同的安排方法有种．故选B.6．【正确答案】A【详解】为等比数列，的首项为，第二项为，第三项为，的公比为当时，，显然当时也符合，．故选A.7．【正确答案】D【详解】

如图，由题意，设，则，即．因为渐近线方程为，所以，因为，所以.故选D.8．【正确答案】C【详解】因为，所以，而，故，又在定义域上单调递增，则，于是．设，则，当时，，单调递减，当时，单调递增，所以．故选C.9．【正确答案】AB【详解】对于A，平均数为，A正确；对于B，中位数为，B正确；对于C，方差为，C错误；对于D，由，得第80百分位数为52，D错误.故选AB.10．【正确答案】ABD【详解】设直线AB的解析式为，联立，消去得，．由抛物线定义知，，，当且仅当时等号成立，故A正确；设点到直线AB的距离为，则，，即，解得或（负值舍去），则．故B正确；，故C错误；由抛物线的定义知，的最小值是点到抛物线准线的距离，的最小值为6，又周长的最小值是11，故D正确．故选ABD.11．【正确答案】ACD【详解】易知“优生成函数”为，因为，所以关于直线对称，故A正确；显然，所以是函数的周期，所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同，设，则，求导得，故在区间上单调递增，故B错误；由关于对称及是函数的周期知，只需考查时的值域，因为，在区间上单调递增，故当时，．当时，，求导得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故当时，，故C正确；易知在区间上，零点分别为，故D正确．故选ACD.12．【正确答案】【详解】因为圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，从而，解得，则圆的方程为，故圆的半径为．13．【正确答案】【详解】如图，

为的中点，平面，平面平面平面正方体的棱长为2，，，的外接圆半径为所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积．设圆柱的外接球半径为，则三棱锥的外接球的表面积为．14．【正确答案】【详解】函数的图象关于点中心对称，不妨设直线AC的方程为，由，得，解得或或，则，同理可得，由，得，即，即，即，令，则这两条直线的斜率之和为．15．【正确答案】(1)(2)9【详解】（1）由正弦定理及，得，，，．（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，得，．由余弦定理得，，，当且仅当时取等号，，周长的最大值为9．16．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）在四棱锥中，，，则，，在中，，则，即，于是，由平面，平面，得，又平面，则平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，而平面，则，又，因此是二面角的平面角，在中，，则，由是的中点，得，于是，所以平面与平面的夹角的正弦值为.17．【正确答案】(1)(2)存在，或【详解】（1）由题意得，，解得椭圆的方程为．（2）假设存在点，使得，则．设，则，，直线BQ的方程为．点在直线BQ上，，点是直线上不同于点的一点，，解得点在椭圆上，，解得或，当时，，解得；当时，，解得，存在点，使得，点的坐标为或．18．【正确答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为(3)证明见解析【详解】（1）设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，，易知与是互斥事件，所以由全概率公式得该运动员第二次投篮命中的概率为．（2）由题意得，，的所有取值为0,1,2，,所以的分布列为012……所以．（3）由题意得，；当时，即，变形为，所以数列是以为公比的等比数列，又，于是，即，所以．19．【正确答案】(1)①，；②证明见解析(2)【详解】（1）①由题意得，，则，解得．易得，则，因为点在直线上，所以，解得．②由①知，，记，则，所以在上单调递增，又，所以由零点存在