四川省新高考2025届高三适应性考试（第三次联考）数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川省新高考2025届高三适应性考试（第三次联考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=−2,−1,0,1,2,3,B=xx2A．−2,−1,0,1,2,3 B．−2,−1,0,1,2 C．−1,0,1,2 D．0,1,22．已知i为虚数单位，复数z满足z+2i⋅i=−1+iA．2 B．2 C．1 D．23．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π4,πA．y=sin2x B．y=cos2x C．4．已知函数fx=x3−xA．关于点−2,2对称 B．关于点2,−2对称C．关于直线x=2对称 D．关于直线x=−2对称5．已知向量a=cosα,1,b=sinA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．如图的“赵爽弦图”中小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，直角三角形中较大的锐角为α，则sin2α=（

A．713 B．49169 C．601697．甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（

）A．144种 B．168种 C．192种 D．216种8．设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，O为坐标原点，M为线段FP的中点，则直线OM斜率的最大值为（A．12 B．1 C．p2 二、多选题9．已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且X~N0,22，A．PX≤−2+PX≤2C．P(Y>0)>P(X<0) D．P10．已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=4,sinB+sinA．△ABC的周长为12 B．角A的最大值为πC．△ABC的面积最小值为23 D．△ABC的面积最大值为11．已知x=−1是函数fx=xA．函数fxB．若−1<x<0，则fC．若0<m<1e2D．若fx1=fx三、填空题12．已知双曲线C:x2−y23=1，O为坐标原点，过双曲线C的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M13．若∃x0∈1,+∞14．已知正四面体ABCD的棱长为2，其顶点都在球O的球面上，点M在棱CD上，且CM=34CD，则过点M的平面截球四、解答题15．已知在各项为正的等比数列an中，a1=3，a2+6(1)求数列an(2)若bn=n2an+1−an16．某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表：生产批次产品检测结果合计次品合格品第一批次10190200第二批次40260300合计50450500(1)根据小概率值α=0.01的χ2(2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品．（ⅰ）求取出的产品是次品的概率；（ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率．参考公式：χ2=n参考数据：α0.150.100.050.010x2.0722.7063.8416.63517．动点Mx,y与定点F1,0的距离和点M到定直线l:x=4的距离的比是常数12，记点M(1)求曲线C的方程；(2)若直线m:kx−y−k=0与曲线C交于A,B两点，（ⅰ）求AB的取值范围；（ⅱ）是否存在实数k，使得点N17,0在线段AB18．如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB=2AA

(1)请说明当点P在何处时，A1(2)当点P满足4BP=3BC时，求三棱锥P−(3)设二面角A1−EF−P的大小为θ，求19．定义二元函数fm,nm,n∈R，且同时满足：①f(1)求fπ(2)当0<m<π时，比较f(3)若x=0为gx=ln附：参考公式：sinαcoscosαcos答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《四川省新高考2025届高三适应性考试（第三次联考）数学试题》参考答案题号12345678910答案CBDAADCBADABD题号11答案ACD1．C【分析】根据题意利用一元二次不等式求集合B，进而求交集.【详解】因为A=−2,−1,0,1,2,3，B=所以A∩B=−1,0,1,2故选：C.2．B【分析】先根据已知等式求出复数z，再根据复数的模的计算公式求出|z|.【详解】由z+2i⋅i=−1+i=i故选：B3．D【分析】由三角函数的周期性以及单调性，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，最小正周期为2π2=π，由x∈π对于B，最小正周期为2π2=π，由x∈π对于C，最小正周期为π，当x∈π4,对于D，最小正周期为π，当x∈π4,故选：D4．A【分析】由函数的奇偶性可得fx【详解】因为f−x=−x所以fx函数y=fx+2+2的图象可由所以函数y=fx+2+2的图象关于点故选：A5．A【分析】根据充分条件、必要条件判断即可.【详解】当α=π3时，向量a=12由向量a=cosα,1，b=sin所以“α=π3”是“向量故选：A6．D【详解】根据题意，由条件可得13sin【分析】由题意，大、小正方形的边长分别为13，7，于是有13sinα−13cos两边平方得1−sin2α=49故选：D7．C【分析】讨论甲坐的位置，然后根据分类加法计数原理求解即可.【详解】如图所示，甲坐位置①，乙有3种选择，其他人不同坐法有A44种，共有甲坐位置②，乙有2种选择，其他人不同坐法有A44种，共有甲坐位置③，乙有3种选择，其他人不同坐法有A44种，共有所以不同坐法种数共有72+48+72=192种．故选：C8．B【分析】先根据已知条件得出直线OM斜率的表达式，然后利用基本不等式求出其最大值.【详解】由已知，Fp2,0，设Pt22p,tkOM=t2p2另解：可取点Q−p2,0，连接PQ，则PQ//OM，直线OM的斜率kOM故选：B.9．AD【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，作出随机变量X,Y的正态分布密度曲线草图，根据对称性PX≤−2对于B，P(0<Y<3)+PY≤−3对于C，P(Y>0)=P(X<0)=1对于D，对于正态分布X∼Nμ,σ2，给定k∈则P−2≤X≤2故选：AD10．ABD【分析】根据正弦定理得b+c=2a=8可判断A；利用基本不等式得bc≤16，再由余弦定理得cosA≥12可判断B；根据S△ABC=12bcsinA，当角【详解】对于A，由a=4,sinb+c=2a=8,△ABC的周长为a+b+c=12，选项A正确；对于B，因为bc≤b+c22因为A∈0,π,cosA≥对于C，S△ABC=12bc对于D，S△ABC=12bcsinA故S△ABC在b=c=4,A=π3故选：ABD.11．ACD【分析】根据题意，求得a=0，得到fx=x2e2x，求得f′x=2xx+1e2x，得出函数fx的单调性与极值（点），可判定A正确；当−1<x<0时，得到−1<x<【详解】对于A中，由函数fx=x因为x=−1是fx的极大值点，所以f′−1所以fx=x当x<−1时，f′x>0，fx单调递增；当当x>0时，f′所以函数fx的极大值点为−1对于B中，当−1<x<0时，x−x3=x因为fx在区间−1,0上单调递减，所以f对于C中，由fx≥0，且当x→−∞时，fx→0可得fx当0<m<1e2对于D中，因为−1<x1<0<x2由fx在0,+∞上单调递增，需证明即当−1<x1<0构造函数gx=fx则g′当−1<x<0时，g′x>0，则g所以gx=fx−f−x所以fx2<f故选：ACD.12．4【分析】求出双曲线的焦点和渐近线，进而可求△MOF的面积，再乘以2即可.【详解】c2=a2+由已知，一条渐近线的方程为y=3x，其倾斜角为所以FM=23，△MON的面积为故答案为：413．3,+【分析】根据题意，转化为m≥x0+1x【详解】由1x0−1因为∃x0∈令fx=x+1当且仅当x−1=1x−1，即x=2时取等号，所以m≥3，所以实数m的取值范围为故答案为：3,+∞14．3【分析】根据题意，把正四面体放置在一个棱长为1的正方体中，取CD的中点N，得到ON=12，由CM=34CD，求得【详解】如图所示，由题可知棱长为1的正方体的顶点也都在球面O上，所以球O的半径为R=3取CD的中点N，连接ON，则ON=1由CM=34CD且正四面体的棱长为2，可得则MN=DN−DM=2因为过点M的平面截球O所得截面为圆，则过点M且垂直于OM的截面为面积最小，设该截面圆半径为r，则r=R可得所得截面的圆面积最小值为π×故答案为：3π15．(1)a(2)S【分析】（1）由等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）由错位相减法代入计算，即可得到结果.【详解】（1）设各项为正的等比数列an的公比为q(q>0)由a1=3，所以因为a2+6是a1所以3+3q2=2解得q=3,q=−1（舍去），所以数列an的通项公式为a（2）由（1）可得，bn所以Sn3S两式相减得−2=31−3所以Sn16．(1)有关联(2)（ⅰ）11120；（ⅱ）【分析】（1）计算出卡方，即可判断；（2）（ⅰ）设事件B=“取出的产品是次品”，事件A=“被选出的是第一批次”，由全概率公式计算可得；（ⅱ）由条件概率公式计算可得.【详解】（1）提出零假设H0由χ2根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，推断H即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01；（2）设事件B=“取出的产品是次品”，事件A=“被选出的是第一批次”，（ⅰ）依题意，PAPB由全概率公式得：PB（ⅱ）取出的是次品，则它是从第一批次的产品中取出的概率为：PA17．(1)x(2)（ⅰ）3,4；（ⅱ）存在k=±1【分析】（1）根据题意，得到(x−1)2+y（2）设Ax1,y1,Bx（ⅱ）由（i）得到AB的中点坐标为P4k24k2+3,−3k4k【详解】（1）解：因为动点Mx,y与定点F1,0的距离和点M到定直线l:x=4的距离的比是常数可得(x−1)2+y24−x=1（2）解：联立方程组x24+设Ax1,且x1+x（ⅰ）由弦长公式，可得AB=即AB=因为3<31+14k2（ⅱ）由x1+x可得AB的中点坐标为P4所以PN的斜率kPN因为点N17,0在线段AB的中垂线上，可得−7k所以存在k=±1，使得点N17,018．(1)当且仅当点P位于点C的位置时，A1(2)1(3)23【分析】（1）方法一根据面面平行结合线线平行得出A1,E,F,P四点在同一平面内；方法二应用空间向量法得出（2）应用空间向量法计算点到平面的距离即可计算三棱锥体积；（3）方法一应用面面角定义得出sinθ的最大值为ℎ′l【详解】（1）方法一：如图，取CD的中点M，连接AM,MF，

由已知，AA1//MF，A易知，当点P位于点C的位置时，ECP此时A1平面ABCD//A若A1则A1F//EP，当点P不在点EP与AM不平行，从而与A1因此A1所以，当且仅当点P位于点C的位置时，A1方法二：根据已知，以D为原点，DA,DC,DD1为x轴、y轴、

设CP=t0≤t≤2又因为AB=2AA则A1所以A1显然，A1E与A1由上可得，t−2,2,−1=m于是有t−2=−2n,2=m+n,−1=−m,此时，A1所以，当且仅当点P在点C的位置时，A1（2）由（1），A1设平面A1EF的法向量为则n不妨设x1=1，可得y1所以n=1,2,2为平面由已知，当4BP=3BC时，可得P所以点P到平面A1EF的距离为在△A1EF所以，S△A1（3）方法一：由（1）可知，A1

则二面角A1−EF−P的平面角θ与二面角C−EF−P的平面角所以sinθ=设点P到平面CEF的距离为ℎ，点P到直线EF的距离为l，则sinθ=在矩形ABC1D1中，则BE⊥EF，又因为BE⊥BC，所以，BE是异面直线EF与BC的公垂线，故当点P运动至点B时，点P到直线EF的距离l最小，且lmin此时点P到平面CEF的距离ℎ最大，即ℎmax等于点B到平面CEF的距离ℎ所以，sinθ的最大值为ℎ在△CEF中，EF=5CF边上的高为EC由VB−ECF=V即S△CEF所以，12×2所以，sinθ的最大值为2方法二：由（2）可知平面A1EF的一个法向量为设Pt,2,00≤t≤2，则设平面PEF的法向量为m=x不妨设x2=1，可得y2所以m=1,2−t,2为平面则cosθ令9−2t=k，则5≤k≤9,1所以cosθ所以，当且仅当1k=15，即t=2时，此时，sinθ取得最大值219．(1)fπ2(2)f(3)−∞【分析】（1）根据函数新定义结合特殊角三角函数值计算求解；（2）应用定义解裂项相消及不等式的性质证明；（3）先求出