2025年中考数学二轮复习备考-二次函数解答题综合之最值问题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学二轮复习备考-二次函数解答题综合之最值问题1．如图，已知点，在抛物线的图象上，且．(1)若抛物线的图象经过点．①写出的对称轴，并求的值及与轴的交点坐标；②若，求顶点到的距离；(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，点，在对称轴的异侧，直接写出的取值范围．2．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线交于点B．(1)求该抛物线的解析式；(2)当时二次函数的最大值与最小值的差为(3)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第三象限内，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求的最小值；(3)在（2）中取最小值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点，连接，点为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．(1)求此二次函数的解析式；(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段的长度随m的增大而增大，求m的取值范围．5．二次函数的图象过点．(1)求二次函数的解析式；(2)当时，求函数y的最大值和最小值的差；(3)当时，函数y的取值范围为，求m的取值范围．6．已知抛物线表示的二次函数的最大值是5．(1)抛物线的对称轴是______，a的值是______．(2)当时，二次函数的最大值是m，最小值是n，若，求t的值；(3)如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线，在x轴上存在点P，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，与抛物线和抛物线分别交于点M，N，当时，求出点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求周长的最小值；(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标．8．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴和轴分别交于点和点，点是此抛物线上一点，其横坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)若点在轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出的取值范围；(3)当时，直接写出二次函数的最大值与最小值的差；(4)过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．①求的取值范围；②直接写出线段与抛物线交点个数及对应的的取值范围．9．在平面直角坐标系中，拋物线如图所示，该拋物线与轴交于点（点在点的左侧），，经过点的直线与轴正半轴交于点，且与拋物线的另一个交点为，的面积为5．(1)求拋物线和直线的解析式；(2)拋物线上的动点在直线的下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；(3)若点为轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与y轴相交于点，与x轴相交于点，．(1)求抛物线的函数表达式及d的值．(2)M是抛物线上的一点，且在第四象限内．①如图1，当点M到x轴的距离为3时，的面积为_______．②如图2，过点M作于点N，当线段最大时，求此时点M的坐标．(3)将抛物线：沿x轴翻折，得到抛物线，点P（横坐标为x）在抛物线上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意，恒成立，请直接写出实数t的所有整数值的和．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，B两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点E，F为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值；(3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物交于点N，点M是新抛物上对称轴左侧的一个动点，点K在的对称轴上，连接，当且时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程．12．平面直角坐标系中，抛物线（，均为常数）与轴相交于点，与轴相交于、两点，连接，过点作交抛物线于点．(1)求出该抛物线的函数表达式及点的坐标；(2)如图1，已知点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交于，在线段和线段上分别有两个动点、，且满足，是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出点的坐标以及的最小值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，是线段上一定点，且满足，连接，将线段沿轴向下平移6个单位至，连接，是线段上一动点，点、同时绕点逆时针旋转，应对点分别是、．在旋转过程中，当是直角三角形时，请直接写出此时的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点D．点M是y轴上的一动点，连接．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值；(3)将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中周长取得最小值时的点M，且与x轴交于两点（E在F的左侧），连接．点N为平移后的抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．14．如图，抛物线经过点，交轴于，两点，交轴于点．连接．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交直线于点，作轴交轴于点，当长度取得最大值时，在直线上取一点，连接、，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向进行平移，使新抛物线经过（2）中长度取得最大值时的点，与直线交于另一点，新抛物线上有一动点，当与相等时，直接写出点的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于．且点，．(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，过点作于点，点、点分别是直线、轴上的两动点，连接，，．当取得最大值时，求三角形周长的最小值；(3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点是轴上方新抛物线上的一点，连接，过点作交直线于点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学二轮复习备考-二次函数解答题综合之最值问题》参考答案1．(1)①对称轴，，，抛物线与轴的交点坐标是；②(2)【分析】（1）①问中根据抛物线解析式可以得出抛物线的对称轴，根据图象过点，将点坐标代入解析式直接求出，得出值后，只需将代入解析式，得出，即为与轴的交点坐标；②问中根据抛物线解析式、对称轴和顶点坐标，结合对称性求出或的坐标，即可求出顶点到的距离．（2）因为点，在对称轴的异侧，当时，分和两种情况讨论，结合和的取值范围及函数最大值与最小值，求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线C：经过，将其代入得，∴．∴抛物线的解析式为令，则∴抛物线与轴的交点坐标是；②∵，∴点，点关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线，∴又∵，解得：，，当时，，∵顶点坐标为，∴当时，顶点到的离．（2）若M，N在对称轴的异侧，，∴，∴，∵，∴，∴，∵函数的最大值为，最小值为—1，∴，∴，∴，∴．若M，N在对称轴的异侧，，，∵，∴，∵函数的最大值为，最小值为—1，∴，∴，∴，∴．综上所述，．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质、二次函数在区间上的最值、二次函数的增减性，含参时，重点考查数形结合思想与分类讨论思想，针对区间内的二次函数增减性进行分类讨论，主要借助区间内的图像来数形结合分析，二次函数在区间内的图像取决于开口方向和对称轴相对区间的位置两方面决定，解决二次函数在某区间内的最值问题，先看开口，再看对称轴，分析图像研究增减性，从而得出最值是解题的关键．2．(1)(2)(3)(),S的最大值为【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的面积问题，二次函数与一次函数综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）利用一次函数求出点B的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可；（2）先求二次函数的最小值，再求和时的函数值，从而确定二次函数的最大值，据此求解，（3）连接，用含的代数式表示点的坐标，根据割补法求面积即可．【详解】（1）解：对于直线l：，令，，令，有，解得：，∴，，把代入，得：，解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）解：，∵，抛物线的开口向上，∴时，有最小值，最小值为，当时，，当时，，∴当时二次函数的最大值为，最小值为，差为，故答案为：；（3）解：如图，连接，∵点M是抛物线上的一个动点，且横坐标为m，∴点的坐标为，∵当时，，解得：，，∴抛物线与轴的两个交点坐标为，，∵点M在第三象限内，∴，∵∴∵，∴当时，取得最大值．因此，S与m的函数表达式为：，(),S的最大值为．3．(1)(2)3(3)，，见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线的函数表达式为和点A坐标，利用勾股定理及其逆定理得到，．过点作轴交于点，证明得到．设点，，则点，利用二次函数的性质求得当时，的长度取得最大值，此时点，过点作轴，过点作于点，过点作于点．求得，利用垂线段最短求解即可；（3）先求得平移后抛物线的函数表达式为，，画出相应的图形，利用图形分当时和当时求解即可．【详解】（1）解：把，代入中，得，解这个方程组，得，所以，该抛物线的函数表达式为；（2）解：直线过点，直线的函数表达式为，在中，令，得，解这个方程，得（舍），．．，，，且，，．，．过点作轴交于点，则，又，，，．设点，，则点．．，当时，的长度取得最大值，此时点，过点作轴，过点作于点，过点作于点．在中，，，，当点、、三点共线时取等号，∴；（3）解：符合条件的点的坐标有，．∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点，又∵，，，∴将该抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度，得到平移后抛物线的函数表达式为，即，，当时，如图，则轴．在中，令，得，解这个方程，得（舍），．．当时，如图，∵，，∴垂直平分，∴，∴，即点是直线与平移后抛物线的交点，设直线的函数表达式为，将，代入，得，解得，∴直线的函数表达式为，联立方程组，解得，，∴，综上，符合条件的点的坐标有，．【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、勾股定理及其逆定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、最短路径问题、坐标与图形、平行线和线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、解方程组等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．4．(1)(2)，(3)【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的性质：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据二次函数的增减性，进行求解即可；（3）根据两点间的距离公式写出的关系式，根据一次函数的性质进行求解即可．【详解】（1）解：将，点代入得：解得：，∴二次函数的解析式为：（2）∴抛物线开口向下，对称轴为直线∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵∴当时，值最大为：；∴当时，的值最小为：；（3）当时，，的长度随m的增大而增大，当时，的长度随m增大而减小．满足题意，解得：．5．(1)(2)9(3)【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键．（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可；（3）图象法，求m的取值范围即可；【详解】（1）解：把点代入二次函数得，，解得，二次函数的关系式为；（2）解：抛物线的开口方向向下，对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，，当时，最大，；当时，最小，．时，函数的最大值4和最小值的差为；（3）解：函数的取值范围为，即函数图象位于轴上方的部分所对应的函数值，当时，即．解得或．又当时，，．6．(1)直线，(2)(3)或或【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，即可求解；（2）由（1）可知当时，y随x的增大而增大，则，；，，进而求解；（3）根据两点距离公式求出，，然后根据即可求解．【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，当时，，解得：，故答案为：直线，；（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，∴当时，；当时，，则，解得：（正值已舍去）；（3）解：，则，设点，则点，则点、，则，，∵，∴解得：或，即点P的坐标为：或或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到绝对值的运用、二次函数的图象和性质，有一定的综合性，难度适中．7．(1)抛物线的表达式为；(2)的周长的最小值为；(3)S有最大值时P点为．【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．（1）待定系数法，求出函数解析式即可；（2）作点O关于直线的对称点E，连接，进而得到，即：有最小值为的长，进行求解即可；（3）设，根据，转化为二次函数求最值即可．【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点，设抛物线的表达式为，将代入上式得：，解得，抛物线的表达式为；（2）作点O关于直线的对称点E，连接，，，，，、E关于直线对称，四边形为正方形，，连接，交于点D，由对称性，此时，即：有最小值为的长，，的周长为，，的最小值为10，的周长的最小值为．（3）由已知点，，，设直线的表达式为，将，代入中，则，解得．直线的表达式为，同理可得：直线的表达式为，，可设直线表达式为，由（1）设，将P点坐标代入直线的表达式得，直线的表达式为：，由，得，，，D都在第一象限，；，当时，S有最大值，此时P点为．8．(1)(2)(3)9(4)①；②，与抛物线有一个交点，，与抛物线有两个交点【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为；（2）求出时或，由图可得的取值范围是；（3）先求出抛物线对称轴，根据抛物线对称性及增减性即可解答；（4）①当，即时，与重合；即可得当，即时，，随的增大而减小，符合题意；而当，即时，，随的增大而增大，不符合题意；从而可得答案；由知，先求出点P关于直线对称的点的坐标为，结合函数图象分类讨论即可．【详解】（1）解：把和代入得：，解得，抛物线的解析式为；（2）解：在中，令得：，解得或，由图可得，点在轴上方的抛物线上时，的取值范围是；（3）解：抛物线的解析式为，抛物线关于直线对称，在处，有最大值，最大值为，，，当处，有最小值，最大值为，当时，直接写出二次函数的最大值与最小值的差为：；（4）解：轴，点横坐标为，点的横坐标为，当，即时，与重合；当，即时，，此时随的增大而减小，符合题意；当，即时，，此时随的增大而增大，不符合题意；综上所述，当线段的长度随的增大而减小，的取值范围是；由知，抛物线关于直线对称，，，点P关于直线对称的点的坐标为，如图，当时，与抛物线有两个交点，，，与抛物线有两个交点，如图，当时，与抛物线有一个交点，，与抛物线有一个交点；综上，，与抛物线有一个交点，，与抛物线有两个个交点.【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，二次函数图象与x轴交点，二次函数与二次不等式的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用．9．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为(2)的面积最大值是，此时E点坐标为(3)的最小值是3【分析】（1）由抛物线经过点，可求得a的值，由的面积为5可求出点D的纵坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作轴交于M，如图，利用三角形面积公式，由构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作于点H，交x轴于点P，则，此时最小，求出最小值即可．【详解】（1）解：∵，∴点A的坐标为，代入抛物线的解析式得，，∴，∴抛物线的解析式为，即，令，解得，，∴，∴，∵的面积为5，∴，∴，代入抛物线解析式得，，解得，，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为；（2）解：过点E作轴交于M，如图，设，则，∴，∴，∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为；（3）解：作E关于x轴的对称点F，连接交x轴于点G，过点F作于点H，交x轴于点P，∵，，∴，，∴，则，∴，∵，∴，∴，∵E、F关于x轴对称，∴，∴，∴当点在上时，最小，∵，，∴，∴．∴的最小值是3．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及求二次函数的解析式，二次函数与面积问题，三角函数的定义，轴对称的性质．10．(1)；(2)①6；②(3)3【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的函数表达式，然后把代入解析式求解即可；（2）①根据两点坐标求出，再根据三角形面积公式求解；②过点M作于P，连接，，设点，且点M在第四象限内，则，，，再根据，则，然后由二次函数的最值求解即可；（3）根据二次函数图象的几何变换求得抛物线：，则抛物线：开口向下，当时，y随x增大而增大，当时，，y随x增大而减小，当时，y有最大值4；然后分类讨论：当时，当时，当时，分别求出整数t的值，从而即可求解．【详解】（1）解：把，代入，得，解得：，∴抛物线的函数表达式，把代入，得解得：，（不符合题意，舍去）∴，∴．（2）解：①∵，，∴∵当点M到x轴的距离为3时，∴；②过点M作于P，连接，，∵，，∴，设点，∵点M在第四象限内，∴，，，∴∴∴∵∴当时，有最大值，∴当时，∴当线段最大时，此时点M的坐标为．（3）解：∵抛物线：沿x轴翻折，得到抛物线，∴抛物线：，∵∴抛物线：开口向下，当时，y随x增大而增大，当时，，y随x增大而减小，当时，y有最大值4；当，即时，在时，最大值，最小值，∵∴解得：∴；∴t的整数值为0，②当且，即时，在时，i)当时，最大值，最小值，∵，∴，解得：，∴，∴t的整数解为1；ii)当时，∴t无整数解；③当，即时，最大值，最小值，∵，∴，解得：，∴，∴t的整数解为2；综上，若对于任意，恒成立，实数t的所有整数值的和为．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，坐标与图形，二次函数的最值，二次函数的几何变换．熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．11．(1)(2)(3)或【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，得到，将代入抛物线解析式计算即可；（2）先求出，，直线的解析式为，过点P作x轴平行线，交延长线于点G，证明，推出，即，设，则点纵坐标为，求出，利用二次函数的性质求出；将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接，易证四边形是平行四边形，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可；（3）分点M在点上方和下方，利用相似三角形和等腰三角形的性质分类讨论即可．【详解】（1）解：根据题意：，则，将代入抛物线解析式得：，解得：，则，∴抛物线的表达式为；（2）解：将代入，则，令，解得：或，∴，，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，过点P作x轴平行线，交延长线于点G，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即，设，则点纵坐标为，∴，∴，∴，∵，∴当时，有最大值为，即有最大值，此时，，即；将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接，则，，，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长；∵，∴，∴的最小值为；（3）解：根据题意，令，解得：或，根据题意：，∴，∴，∵二次函数图象的对称轴为，∴，∵，∴是等腰三角形，过点M作于点H，过点作轴平行线交抛物线对称轴于点T，过点作轴平行线，交于点，过点作轴平行线交于点L，则，，，当点M在点上方时，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，点横坐标为，设，，则，∴，，∴，即，∴，∴，∴，解得：或（舍去），则，∴；当点M在点下方时，同上得，，，，∴，即，∴，∴，∴，解得：或（舍去），则，∴；综上，所有符合条件的点M的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及求抛物线解析式，二次函数的平移，平行四边形的判定与性质，两点间距离公式，相似三角形的判定与性质及解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是：构造三角形相似．12．(1)，(2)存在，最小值为(3)坐标为或，【分析】（1）由二次函数的交点式得出抛物线的解析式，可推出，从而得出，求得的值，进一步得出结果；（2）设，，则，从而表示出，进而求得点坐标，作点关于的对称点，交于，作于，可得出，，从而得出，，进而得出，可推出点在以为圆心，1为半径的圆上运动，连接，交于，交于，此时最小，进一步得出结果；（3）可求得，，，点、绕点，逆时针旋转分别至，，及，，可求得，，，，从而得出的解析式为：，直线的解析式为：，可得出当，时，，进而求得点坐标；设，此时的中点，当时，，从而，求得的值，进一步得出结果．【详解】（1）解：由题意得，，当时，，，，，∴，，∴，设点，过点D作轴于点I，，，，；（2）解：如图1，∵，，设直线解析式为：，∴有，解得：，∴直线解析式为：，设，，∴，过点P作于点，则，由得，，∴，∴，，当时，最大，，，作点关于的对称点，交于，作于，由得，，∴，∴，∵，∴，由勾股定理得∴，∴，∵，∴，∴，∴，由勾股定理得，∵，，点是的中点，，点在以为圆心，1为半径的圆上运动，连接，，∵，当点共线时取得最小值为，，的最小值为：；（3）解：如图2，，，，，∴由平移得，，点、绕点，逆时针旋转分别至，，及，过点X作轴，则，∴，∴，∴，∴同理可求，，，同（2）可求直线的解析式为：，直线的解析式为：，把代入得，，此时，当时，，，，设，此时的中点，当时，，，，，，，综上所述：坐标为或，．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．13．(1)(2)(3)或．【分析】（1）由抛物线对称轴，得到，再根据抛物线上点的坐标特征，求出的值，即可求解；（2）先求出抛物线与坐标轴的交点，进而利用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则，得出，即当时，线段长度取得最大值，过点作关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称的性质可知，当点、、三点共线时，有最小值，最小值为，求出的长，即可得到答案；（3）利用待定系数法，求出直线的解析式为，进而得出，再利用待定系数法，求出平移后的抛物线解析式为，由勾股定理得，连接，过点作于点，证明是等腰直角三角形，得到，，再利用等面积法和勾股定理，求出，，从而得到，设，分两种情况讨论：①若点在轴上方；②若点在轴下方，得到，分别过点作轴的垂线，利用正切值列方程，求出的值，即可求解．【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，，，，抛物线经过点，，解得：，，抛物线的表达式为；（2）解：抛物线的表达式为，令，则，即，令，则，解得：，，，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，设点，则，，，当时，线段长度取得最大值，，过点作关于轴的对称点，则，连接，，，即当点、、三点共线时，有最小值，最小值为，，，，周长的最小值为；（3）解：由（2）可知，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，令，则，，设平移后的抛物线解析式为，平移后的抛物线过点，且与x轴的左交点为，，解得：，平移后的抛物线解析式为，令，则，解得：或，，，，，如图，连接，过点作于点，，是等腰直角三角形，，，，，，，设，①若点在轴上方，此时，，，过点作轴于点，，，，，整理得：，，解得：（舍）或，当时，，点N的坐标为．②若点在轴下方，此时或，，，过点作轴于点，，，，，整理得：，，解得：（舍）或，当时，，点N的坐标为，综上可知，符合条件的点N的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，轴对称求最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形的应用，因式分解法解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．14．(1)(2)(3)或【分析】（1）将点、代入函数解析式求得a、b的值即可解答；（2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，然后再，当时，最大，此时，；作点E关于的对称点，则，连接，交与点，然后求最值即可；（3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，过点D作交新抛物线于点，由平行线的性质可得，再求出直线的解析式为，再与抛物线解析式联立即可解答；作关于直线的对称线得交新抛物线于点，然后根据旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形进行完成解答．【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，交轴于，∴，解得：∴抛物线的表达式为．（2）解：令，则，解得：或4，∴，令，则，即，设的解析式为，则有，解得：，∴直线的解析式为，设，则，∴，∴，∴当时，最大，此时，，如图：作点E关于的对称点，则，连接，交与点，∴，∴，∴当三点共线时，最小，且最小值为，∴．（3）解：由（2）得点，∴新抛物线由向右平移3个单位，向下平移3个单位得到，∴，过点D作交新抛物线于点，∴，运用待定系数法可得：直线的解析式为，∵，∴直线的解析式为，联立得，解得：或（舍弃）当时，，∴，作关于直线的对