2024-2025学年广东省佛山市H7联盟高二下学期5月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山市H7联盟高二下学期5月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.三个不同的盒子中分别装有3张不同的白色卡牌、2张不同的黑色卡牌、2张不同的绿色卡牌，某人从这三个盒子中任意取出1张卡牌，则不同的取法有A.3种 B.7种 C.10种 D.12种2.质点M按规律l=3+2t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t=9 s时的瞬时速度是其在t=4 s时的瞬时速度的A.23 B.32倍 C.13 3.已知数列{an}满足an+1=2−aA.2 B.12 C.−1 D.4.已知函数f(x)=sin 2x−f′(1)x，则f′(1)=A.−cos 2 B.cos22 C.5.在公差大于0的等差数列{an}中，a2+A.142 B.72 C.6.现需要给一个四棱锥P−ABCD的五个顶点涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求相邻顶点(在同一条棱上的两个顶点)不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案种数为A.48 B.72 C.96 D.1447.函数f(x)的大致图象如图所示，设f(x)的导函数为f′(x)，则f(x)f′(x)>0的解集为

A.(1,4) B.(−∞,4)∪(7,+∞)

C.(−∞,1)∪(4,7) D.(1,4)∪(7,+∞)8.从0，1，2，3，4，5中任选4个不同的数字组成一个四位数，若这个四位数是偶数，则个位、十位和百位上的数字之和为偶数的概率为(

)A.513 B.1739 C.2539二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则X247P1q2qA.q=13 B.q=16

C.E(X)=410.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2在A.a−b=3

B.当0<x<1时，f(x2)<f(x)

C.当x>1时，f(x2)>f(x)

11.已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=A.数列{a2n}是等比数列

B.a2n+1−a2n−1=322n+1

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2x2−y)6的展开式中x2y13.将9本不同的书(包括1本数学书和1本英语书)平均分给甲、乙、丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是________.(用数字作答)14.已知函数f(x)=x+2mex+1在R上单调递增，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=x3+alnx，曲线y=f(x)在点(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)>0．16.(本小题15分)已知Sn是等差数列{an}的前(1)求{a(2)若bn=3an−1，求数列{17.(本小题15分)已知(mx−1)(x−1)(1)求m的值；(2)求a1(3)证明：a0+2a118.(本小题17分)甲、乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为13，给出科学题的概率为23.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为12，34，乙答对文学题与科学题的概率均为12，且各轮答题正确与否相互独立．由抽签确定第(1)已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率；(2)求第2次答题的人是乙的概率；(3)求第i次答题的人是甲的概率．19.(本小题17分)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，x0是f(x)的零点，若在x∈D上，f(x)<f′(x0)恒成立，则称(1)若函数f(x)=x3+x−2是[0,m](2)已知函数f(x)=a(ⅰ)讨论f′(x)的零点个数；(ⅱ)已知x0是f(x)的零点，证明：f(x)是(0,1)上的“好函数”．

参考答案1.B

2.A

3.A

4.C

5.D

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.−12

13.1260

14.(−∞,2]

15.(1)解：由题可知f′(x)=3x2+ax，则f′(1)=3+a=0，解得a=−3．

又f(1)=1，所以点(1,1)在切线y=b上，故b=1．

(2)证明：由(1)知f(x)=x3−3lnx，定义域为(0,+∞)，f′(x)=3x2−3x=3x3−3x．

当0<x<1时，f′(x)<0，则f(x)16.解：(1)设等差数列{an}的公差为d.由Sn+Sn+1=n2+2n+1=(n+1)2，

可得Sn+1+Sn+2=(n+2)2，两式相减可得an+1+an+2=2n+3，

所以2d=(an+2+an+3)−(an+1+an+2)=2，即d=1．

当n=1时，17.(1)解：(mx−1)(x−1)11+2x12的展开式中x12的系数为mC110+2，

所以mC110+2=0，解得m=−2．

(2)解：令x=1，得a0+a1+a2+⋯+a10+a18.解：(1)甲答对题目的概率为13×12+23×34=23．

(2)乙答对题目的概率为13×12+23×12=12，

记“第i次答题的人是甲”为事件Ai，“第i次答题的人是乙”为事件Bi，

所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A119.(1)解：易知f(x)=x3+x−2在R上单调递增，且f(1)=0，

则x=1是f(x)唯一的零点．

因为f(x)=x3+x−2是[0,m]上的“好函数”，且f′(x)=3x2+1，

所以f(x)<f′(1)在[0,m]上恒成立，即f(x)<4．

因为f(x)=x3+x−2在R上单调递增，且f(1)=0<4，f(2)=8>4，m>0，

所以整数m=1．

(2)(i)解：因为f′(x)=−aex+1x=ex−axxex，且xex>0，

所以f′(x)的零点个数等价于函数ℎ(x)=ex−ax在(0,+∞)上的零点个数．

当a≤0时，ℎ(x)>0，ℎ(x)没有零点．

当a>0时，ℎ′(x)=ex−a，令ℎ′(x)=0，则x=lna，

所以当x<lna时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，

当x>lna时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．

又ℎ(x)≥ℎ(lna)=a(1−lna)，

所以当0<a<e时，ℎ(x)>0，此时ℎ(x)没有零点;

当a=e时，ℎ(x)≥ℎ(1)=0，此时ℎ(x)有一个零点;

当a>e时，ℎ(lna)<0，又ℎ(0)=1>0，ℎ(1)=e−a<0，ℎ(a)=ea−a2>0，

所以结合ℎ(x)的单调性可知，

ℎ(x)在(0,1)和(lna,a)上各恰有一个零点，

即f′(x)在(0,1)上存在一个零点x1，在(lna,a)上存在一个零点x2．

综上，当a<e时，f′(x)没有零点;

当a=e时，f′(x)有一个零点;

当a>e时，f′(x)有两个零点．

(ii)证明： ①若a≤e，由(ⅰ)可知，ℎ(x)在(0,1)上没有零点，且f′(x)>0，

则f(x)在(0,1)上单调递增，