浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题45 因式分解全章五类必考压轴题（学生版）

专题4.5因式分解全章五类必考压轴题

【浙教版】

必考点利用因式分解的结果求参数

1.(2022秋•重庆沙坪坝•八年级重庆南开中学校考期末)在必+5方+7"+"中，若有一个因式为(、+2),

则上的值为()

-2-6

A.2B.C.6D.

2.(2022秋・四川南充・九年级四川省南充高级中学校考期末)若厂+D'+&x+6能分解成两个一次

因式的积，则整数k=.

3.(2022春•浙江•七年级期末)甲乙两个同学分解因式f+ar+/2时，甲看错了〃，分解结果为G+2)(文+4),

乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9),则2a+Z?=.

4.(2022秋•四川宜宾•八年级校考期末)若是a—5a+m的一个因式，求m的值.

5.(2022秋•河南南阳•八年级南阳市第三中学校考期末)已知厂+1是多项式2+'的一个

因式，求a,b的值，并将该多项式因式分解.

6.(2022秋•吉林长春•八年级校考期末)1637年笛卡尔(R.Descartes,1596-1650)在其《几何学》中，

首次应用待定系数法最早给出因式分解定理.关于笛卡尔的“待定系数法〃原理，举例说明如下：

分解因式：厂/+'1*4-3'x—5

Y-1—n

解：观察可知，当时，原式一

原式可分解为a-"与另一个整式的积.

设另一个整式为/+H+c则/+X?+3xT=(X-1)(/+bx+Q

..(x-l)(x2+bx+c)=x3+(b-l)x2+(c-b)x-c

•，

.x3+x:+3x-5=x3+(b-I)12+(c-b)x-c

r

•••等式两边同次舞的系数相等，

p—1=1

卜-b=3p=2

则有：r=-S,解得卜=5.

.?+X2+3X-5=(X-1)(JC+2X+5)

••・

根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

⑴根据以上材料的方法，分解因式必—3的过程中，观察可知，当”=时，原式=°,所以原式

可分解为与另一个整式的积.若设另一个整式为则⑶=,°=.

⑵已知多项式°、+1(°为常数)有一个因式是x'L求另一个因式以及0的值.

下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程.

解:设另一个因式为则a+D⑴+以+c).

⑶已知二次三项式/k十4-'3Xx"A追k为常数)有一个因式是Xv4-4l则另一个因式为，k'的值为

7.(2022秋•全国•八年级期末)方法探究:

已知二次多项式X-4L21,我们把”二-3代入多项式，发现—4x-21=°,由此可以推断多项式中

有因式a+3).设另一个因式为a+z),多项式可以表示成‘八叫则有

<',因为对应项的系数是对应相等的，即,解得,因此多

项式分解因式得：k-4x-21=(”+3)(x-7).我们把以上分解因式的方法叫，，试根法〃.

问题解决：

⑴对于二次多项式x-4,我们把％=代入该式，会发现x-4二°成立：

⑵对于三次多项式必一十一"'3,我们把尸1代入多项式，发现必一、•一313=0,由此可以推断多

项式中有因式(”一1),设另一个因式为(灯+。”+匕)，多项式可以表示成

x3-x2-3x+3=(x-l)(ir+ax+b)

,试求出题目中a,。的值;

2+4洞一3*—1F

⑶对于多项式？用"试根法〃分解因式.

必考点2N利用因式分解进行有理数的简算

1.（2022秋.河北邢台.八年级统考期末）计*4）X（T）X（L/X（T勺值为（）.

2炉+5”（

2.（2017秋•山东FI照•八年级校联考期末）如果〜十。能被n整除，则n的值可能是‘

A.20B.30C.35D.40

3.（2022春•浙江杭州•七年级期末）8"-8c能被（）整除

A.76B.78C.79D.82

2001X19

4.（2022春•江苏无锡・七年级统考期末）计算:

102-92182—7:++22-12=

5.（2022秋•重庆沙坪坝•九年级校联考期末）计尊:

2019202-2019192

6.（2022秋・江西南昌•八年级期末）计算”,2r“"I的结果是

必考点3、利用因式分解探究三角形形状

1.（2022秋・四川内江•八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）若a、b、c是△“8’的三边，且满足

"+bc-ba-ca=0+ab-cb-ac=0、

,,则的形状为（z）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

2.（2018秋•江西•八年级校考阶段练习）先阅读下面的材料，再解决问题：

要把多项式加+m+Am.E因式分解，可以先把它的前两项分成.一组，并提出凡把它的后两项分成-

组，并提出从而得到。5+冷+皿+2这时，由于。（m+r0+b（m+2又有因式切+?于是可

提公因式⑺+n）,从而得到9+b）（m+⑴因此有所+•+所+同=加+⑴+b（m+扪

=（a+b）（m+“）.这种因式分解的方法叫做分组分解法.

在三角形中，若任意两条边的差均为0,则这个三角形是等边三角形；若只有两条边的差为0,则这个三角

形是等腰三角形；若有两条边的平方和与第三边的平方的差为0,则这个三角形是直角三角形。

请用上面材料中提供的方法解决问题：

(1)将多项式分解因式；

(2)若“血的三边。、，、C满足条件：=0,试判断4必的形状.

3.(2022秋•八年级课时练习)(1)若°、2嗔三角形的三条边，求证：吁齐一5一2机＜0.

Ajornhra+b+c=gV2a2b2C2—•A.ARC

(2)在AA“中，三边分别为°、“、C,且满足-,•,试探究外的形状.

(3)在△48C中，三边分别为0、4C,且满足M(b-c)+S(c-a)+Ra-b)=0,试探究班的形

状.

4.(2022秋•山东滨州•八年级统考期中)求解下列问题：

⑴式+2尸-2xy+8y+16=0求嘘值；

(2)已知△4区的三边长°、“、C都是正整数，且满足M+"一6"8b+25+|4-c|=0,请问真是什

么形状的三角形？请说明理由.

5.(2022秋・福建福州•八年级校考期中)若△ABC的三边长分别为。，be且满足等式

3(“)炉+―=(&+b+c)：试确定该三角形的形状.

6.(2023秋・湖北孝感•八年级统考期末)阅读材料，要将多项式am+°n+bm+”分解因式，可以先把它

的前两项分成一组，提出公因式a,再把它的后两项分成一组，提出公因式仇从而得到：

om+an+bm+E=a(m+几)+b(m+”这时+n)+b(m+几)中又有公因式(m+几),于是可以提

出⑺+2从而得到佃+n)(fl+叱因此有am+g+融+E=a(mf)+b(m+n)=(m+n)("b)

这种方法称为分组法.请回答下列问题:

ac-bc+ab-a2;

⑴尝试填空:

2x-18+xy—9y

⑵解决问题：因式分解

⑶拓展应用：己知三角形的三边长分别是4,AC,且满足炉+L-观=°,试判断这个三

角形的形状，并说明理由.

7.（2022春•山东青岛•八年级校考期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互

转化来解决数学问题的思想.我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如:

探索整式乘法的一些法则和公式.

⑴探究一:

将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分

解因式_____________________

⑵探究二：类似地，我们可以借助一个楂长为°的大正方体进行以下探索：

在大正方体一角截去一个棱长为＜°）的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为:

⑶将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，,BC=aAB=bCF=b

「•长方体①的体积为0"0一加.类似地，长方体②的体积为，长方体③的体积为；（结

果不需要化简）

⑷用不同的方法表示图3中几何体的体枳，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为.

⑸问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知。》=6,ab=2,求的值.

⑹类比以上探究，尝试因式分解：=.

8.(2020秋・湖南衡阳•八年级校考阶段练习)阅读材料：若皿->""+2不一加+16=°,求它门的值.

%,而-2mn+2n2-8n+16=0,

(nr-2mn+n:)+(M-8n+16)=0.

••(m-n厂+(n-4r=0.

An=4.m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知一个不等边三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b、c都是正整数，并满足。•十》一

求c的值.

(2)已知a、b、(:是△"S'的三边长,且满足2b3-。-。)=0,试判断△A8c的形状.

4

(3)试探究关于x、y的代数式'1盯+广+6”+25是否有最小值，若存在，求出最小值及此时乂、y

的值；若不存在，说明理由.

9.(2021春•全国•八年级专题练习)在平面直角坐标系，点A",0),点B(0,b),已知a,b满足

(2)如图1,点七为线段上一点，连接A£,过点A作AnLAE,fiAF=AE,连接3b交火轴于点Q,

若点尸的坐标为(-2,c),求c的值及OE的长；

(3)在(2)的条件下，如图2,过点E作EG_LA8于点G,过点8作3C〃x轴交EG的延长线于点C,连

接。C、AC,试判断aAOC的形状，并说明理由.

必考点4L4口用拆项或添项进行因式分解

1.阅读材料：我们把多项式+a及。.一“0+b.叫做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方

式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的

值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解

的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等•例分解因式：

22

N+2X-3=(X+2X+1)-4=(X+1)-4=(X+1+2)(X+1-2)=(X+3)(X-1)?又例如求代

数式2『+41的最小值「2『+456=2(/+2-1)2-8；又・・•(X+1＞叫工当X=-1

2x^+4x—f—8

时，有最小值，最小值是

根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：

⑴分解因式：”-痴-5=；

(2)已知△4区的三边长°、AC都是正整数，且满足M-4a+⑵+4°=°求边长。的最小值；

⑶当'''为何值时，多项式-A+29-2厂+6y+7有最大值？并求出这个最大值.

2.阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，

配方法等.•般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决同题.

例如：分解因式—-4f+x+6.步骤：

解：原式=/-3X2-/+x+6第1步：拆项法，将-4/拆成-3犬和-『；

=C?-3f)-(f-x-6)第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；

=W(x-3)-(x+2)(x-3)第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)；

=(x-3)(.x2-x-2)第4步：提公因式法(整体)；

=(x-3)Q-2)(户1)第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底.

(1)请你试一试分解因式/-7x4-6.

(2)请你试一试在实数范围内分解因式51+6.

3.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组

分解法、拆项法、十字相乘法等等.

①分组分解法：将•个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法.例如:

JT-2xy+y2-4=(x2-2x),+y2)-4=(x-y)2-22=(x-y-2)(x-y+2)

②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法.例如:

必+2x-3=x2+2x+l-4=(x+l)2-22=(x+l-2)(xfl+2)=(x-l)(x+3)

③卜字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式.分解步骤：1.分解二次项，所得结果分别写在

十字十字交叉线的左上角和左下角；2.分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3.交

叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4.观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果.这种分

解方法叫作十字相乘法.

观察得出：两个因式分别为("+7)与(”一1)

例如广6一

分析：

x?+6x-7

xy7

-x+7x=6x

解：原式=(x+7)(x-l)

(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：

①(分组分解法)"+4"一八1

②(拆项法)灯-6X+8

③人"+6=

(2)已知:‘、一为△"%三条边，/+公工…-统-G+17=0求比的周长.

4.阅读卜列分解因式的过程：

x2+2ax-3a2

=x2f2ax+a2-a2-3a2

=(x+a)2-4a2

=(x+a+2a)(x+a-2a)

(x+3a)(x-a).

像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解•因式的方法，叫做配方法，请你,用配方法将

下面的多项式因式分解•：

(1)m2-4mn+3n2：

(2)x2-4x-12.

5.阅读以下文字并解决问题：

对于形如X+20'+。•这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成a+G"的形式，但对于二次

三项式k+6x-27,就不能直接用公式法分解了。此时，我们可以在k,6”-27中间先加上一项必使它

与犷+62的和构成一个完全平方式，然后再减去九则整个多项式的值不变。即：

X2+6x-27=(X2+6X+9)-9-27=(X+3尸-6S=(x+3+6)(x+3-6)=(x+9)(1-3)像这

样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法.

(1)利用“配方法'’因式分解：klxyTy2

/.、业a+b=6ab=5分公标+炉小小+b'的/古

(2)若，，求：①，②的值.

/_、a2+2Z>:+r-2flb-6h-4c+13=0#a+b+(，/士

(3)如果m，求的1V值.

6.阅读理解：

添顶法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作

用，例如：

例1：计算(3+D(32+R(34+D(38+U(3i6+D(332+l)

1

解：原式=2(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)

1

=：(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)

=•(34・1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)

尸-1

="2"

例2：因式分解：x4+x2+l

解：原式=x4+x2+l=x4+2x2+l-x2

=(x2+l)2-X2

=(x2+l+x)(x2+l-x)

根据材料解决下列问题：

(1+1)(1+?)(1+?)(1+?)(1+击)

⑴计算:

(1'+4)(S4+4M$4+4)(田+4)

⑵小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(Vzkim'x-(“'♦，)，通过思考，他发现计算式中的式子

可以用代数式之x，+4来表示，所以他决定先对x，+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这

个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：

①分解因式：xM；

②计算.51-4r[+4illi1+4...51'-4|

7.我们已经学过将•个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组

分解法、拆项法等等.

①分组分解法：

例如x2-2xy+y2-4=(xa-2xy+y2)-4=(x-y)2-22=(x-y-2)(x-y+2)

②拆项法：

心X2+2X-3=X24-2X+1-4=(X+1)2-22=(X+1-2)(x+1+2)=(x-l)(x+3)

例如：.

仿照以上方法分解因式：

⑴江+4・力1；

⑵—

8.阅读下面的材料：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法〃，方法的关键是“拆两头，凑中间〃,

例如，分解因式"+3个'-广，方法如下：拆两头，4k拆为虹.x‘一’拆为然后排列如下：交

叉相乘积相加得吃凑得中间项，所以5+3盯-「=（虹-y）（x+y）,利用材料解决问题的策略解答

下列问题:

⑴解方程：

⑵己知/.孙_】2产=0（孙工0）,求:的值.

必考点5'因式分解的应用

1.王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息："-I,°一,，3,尸+1,a,分

别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可

能是（）

A.我爱数学B.爱河南C.河南数学D.我爱河南

2.已知°、°、C是一个三角形的三边，则。+厂〃C的值