云南省玉溪市易门一中2024-2025学年数学高二下期末质量检测试题含解析

云南省玉溪市易门一中2024-2025学年数学高二下期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则()A．-2 B．0 C．2 D．42．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（）A． B． C． D．3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为（）A． B． C． D．4．设函数满足：，，则时，（）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值5．己知函数f(x)=x,1<x≤4x|x|,-1≤x≤1，则A．14 B．143 C．76．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（）A． B． C． D．7．若对于实数x，y有1-x⩽2,y+1⩽1A．5 B．6 C．7 D．88．已知随机变量X的分布列：02若，，则（）A． B． C． D．9．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则11．8名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为（）A． B． C． D．12．将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”，“至少出现一个6点”，则概率等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，则阴影部分的面积是.14．若以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）的概率为________.15．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为__________．16．已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定不同点的坐标个数为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角的对边分别为，.（1）求；（2）若，，求的周长.18．（12分）五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.从袋中任取3个小球，按3个小球中最大得分的8倍计分，计分在20分到35分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球中最大得分，求：（1）取出的3个小球颜色互不相同的概率；（2）随机变量的概率分布和数学期望；（3）求某人抽奖一次，中奖的概率.19．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，极坐标方程分别为，．（Ⅰ）和交点的极坐标；（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），与轴的交点为，且与交于，两点，求.20．（12分）已知抛物线:的焦点为，准线为，与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于点，如图1.已知，且四边形的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若正方形的三个顶点，，都在抛物线上（如图2），求正方形面积的最小值.21．（12分）己知复数满足，，其中，为虚数单位.（l）求：（2）若.求实数的取值范围.22．（10分）在直角坐标系中直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）求直线的普通方程及曲线直角坐标方程；（2）若曲线上的点到直线的距离的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】令，则，据此可得：本题选择D选项.2、B【解析】试题分析：实验女排要获胜必须赢得其中两局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故获胜的概率为:,故选B.考点：独立事件概率计算.3、D【解析】

根据题意，可知甲获胜情况有三种：第一局胜、第二局胜，第一局胜、第二局负、第三局胜，第一局负、第二局胜、第三局胜，由互斥事件概率加法运算即可求解.【详解】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜，甲在每局比赛中获胜的概率为，则甲获胜有以下三种情况：第一局胜、第二局胜，则甲获胜概率为；第一局胜、第二局负、第三局胜，则甲获胜概率为；第一局负、第二局胜、第三局胜，则甲获胜概率为；综上可知甲获胜概率为，故选：D.本题考查了互斥事件概率求法，概率加法公式的应用，属于基础题.4、B【解析】

首先构造函数，由已知得，从而有，令，求得，这样可确定是增函数，由可得的正负，确定的单调性与极值．【详解】，令，则，所以，令，则，即，当时，，单调递增，而，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；故有极小值，无极大值，故选B.本题考查用导数研究函数的极值，解题关键是构造新函数，，求导后表示出，然后再一次令，确定单调性，确定正负，得出结论．5、B【解析】

根据分段函数的定义，结合x∈[-1,1]时f【详解】函数f(x)=故选：B．本题主要考查了分段函数的定积分应用问题，其中解答中熟记微积分基本定理，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与计算能力属于基础题．6、C【解析】分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种，所以，甲、丙相邻的概率为.故选C.点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用.7、C【解析】

将2x+3y+1【详解】2当x=3,y=0或x=-1,y=2是等号成立.故答案选C本题考查了绝对值三角不等式，将2x+3y+18、B【解析】

由，可得，由随机变量分布列的期望、方差公式，联立即得解.【详解】由题意，且，又联立可得：故选：B本题考查了随机变量分布列的期望和方差，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.9、A【解析】

先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数，对函数求导，利用导数方法判断函数单调性，再结合图像，即可求出结果.【详解】由得，令，则，设，则，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上单调递减，在上单调递增；所以；又当时，，，作出函数图像如下：因为函数恰有两个零点，所以与有两不同交点，由图像可得：实数的取值范围是.故选A本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.10、C【解析】

根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断．【详解】对于A选项，若，，则与平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于B选项，若，且，，，根据直线与平面平行的判定定理知，，，但与不平行；对于C选项，若，，在平面内可找到两条相交直线、使得，，于是可得出，，根据直线与平面垂直的判定定理可得；对于D选项，若，在平面内可找到一条直线与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知，只有当时，才与平面垂直．故选C．本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．11、A【解析】

本题选用“插空法”，先让8名学生排列，再2位教师教师再8名学生之间的9个位置排列.【详解】先将8名学生排成一排的排法有种，再把2位教师插入8名学生之间的9个位置（包含头尾的位置），共有种排法，故2位教师不相邻的排法种数为种.故选A.本题考查排列组合和计数原理，此题也可用间接法.特殊排列组合常用的方法有：1、插空法，2、捆绑法.12、A【解析】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、32【解析】试题分析：由题意得，直线y=2x与抛物线y=3-x2，解得交点分别为(-3,-6)和(1,2)，抛物线y=3-x2与x轴负半轴交点(---302xdx+考点：定积分在求面积中的应用．【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14、【解析】

由掷骰子的情况得到基本事件总数，并且求得点落在指定区域的事件数，利用古典概型求解.【详解】以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，共有个点，而点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界），有个点：，所以概率故得解．本题考查古典概型，属于基础题.15、【解析】

∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为.16、【解析】

先从三个集合中各取一个元素，计算出所构成的点的总数，再减去两个坐标为时点的个数，即可得出结果.【详解】集合，，，从这三个集合中各选一个元素构成空间直角坐标系中的点的个数为，其中点的坐标中有两个的点为、、，共个，在选的时候重复一次，因此，确定不同点的坐标个数为.故答案为：.本题考查排列组合思想的应用，解题时要注意元素的重复，结合间接法求解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）由余弦定理化简即得A的值；（2）由题得，，再利用正弦定理求出a,c，即得△ABC的周长.【详解】解：（1）根据，可得所以.又因为，所以.（2），，所以，，因为，所以，，则的周长为.本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18、（1）（2）分布列见解析，数学期望为（3）【解析】

（1）设事件表示“取出的3个小球上的颜色互不相同”，利用古典概型、排列组合能求出取出的3个小球颜色互不相同的概率；（2）由题意得有可能的取值为：2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的概率分布列和数学期望；（3）设事件C表示“某人抽奖一次，中奖”，则，由此能求出结果.【详解】（1）“一次取出的3个小球上的颜色互不相同”的事件记为，则（2）由题意有可能的取值为：2，3，4，5，6；；；；所以随机变量的概率分布为23456因此的数学期望为（3）“某人抽奖一次，中奖”的事件为，则本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19、（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）联立，极坐标方程，解出，反代得，即得和交点的极坐标；（2）先利用将极坐标方程化为直接坐标方程，再由直线参数方程几何意义得，因此将直线的参数方程代入直角坐标方程，利用韦达定理得，且，因此.试题解析：（Ⅰ）（方法一）由，极坐标方程分别为，’化为平面直角坐标系方程分为.得交点坐标为.即和交点的极坐标分别为.（方法二）解方程组所以，化解得，即，所以和交点的极坐标分别为.（II）（方法一）化成普通方程解得因为，所以.（方法二）把直线的参数方程：（为参数），代入得，，所以.20、（1）；（2）.【解析】

（1）通过借助抛物线的几何性质，设，通过勾股定理可求得，借助线段关系可求得，再借助梯形面积公式最终可求得值，进而求得抛物线的方程；（2）先通过设而不求得方法分别表示出，，和直线的斜率为和的斜率，通过正方形的边长关系代换出与直线的斜率的关系，将面积用含的式子整体代换表示，最终通过均值不等式处理可求得正方形面积的最小值.【详解】（1）设，由已知，则，，四边形的面积为，∴，