2025年中考数学总复习《四边形中的最值问题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《四边形中的最值问题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是对角线BD上一动点，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF的最小值为（

）A．53 B．125 C．1272．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=8，AD=6，点M，N分别在边AB，BC上，E，F分别为MN，DN的中点，连接

A．6 B．8 C．10 D．53．如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为D的中点，则EF的最大值为（

）A．2 B．0 C．8 D．94．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（

）A．2 B．4 C．2 D．25．如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A−3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（

A．3 B．5 C．22 D．6．如图，将两张长为9cm的矩形纸条交叉放置，重叠部分四边形ABCD是一个菱形，当两张纸条互相垂直时，菱形的面积有最小值9cm2A．12cm2 B．13.5cm2 C．7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE=CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（

）A．22 B．23 C．28．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE=AB，将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，连接AF．则AF长的最小值为（

）A．2−2 B．2−1 C．2 9．如图，正方形ABCD中，M为BC边上一点，将△ABM沿AM翻折到△ANM，点B折到点N，连CN，DN，则A．12 B．22 C．210．如图，在平面直角坐标系中，已知A1,0，B是y轴上的一动点，以AB为边构造矩形ABCD，且矩形的面积始终是3，连接OD，则线段OD的最大值是（

A．5+32 B．4+72 C．11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°,AD=6，点E在边CD上，且DE=4，F是边AD上一动点，将△DEF沿直线EF折叠，点D落在点N处，当点N在四边形ABCD内部（含边界）时，DF的长度的最大值是（

）A．213−2B．213+2

B．二、填空题12．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点M是平面内任意一点，连接AM、DM，点N是AM的中点，连接BN，若DM=53，则BN的最大值为13．如图，在矩形ABCD中，AB=9，点M，N，P分别在AD，BC，AB上运动，且四边形ABNM的面积始终等于54，则PM+PN的最小值是．14．如图，四边形ABCD是菱形，AB=3，∠ABC=60°，E，F分别是BC和BD上的动点，且CE=DF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为15．如图，正方形ABCD的边长为8，点G是边CD的中点，点E是边BC上一动点，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△FAE，连接GF．则GF的最小值是．16．如图，在△ABC中，AC=3，BC=6，以AB为边向上作矩形ABDE，对角线AD与BE相交于点O，且∠AOE=60°，连接OC，则OC的最大值为．17．如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=6，EF⊥AC，交AB，CD于E，F，则AF+CE的最小值是．18．如图，已知等边△ABC，四边形BCDE为正方形，AB=6，点M和N分别为边AC、DE的动点，且AM=DN，连接MN，则线段MN的最小值为．19．如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=4，点E、F分别是边AB、AD上的动点，且AE=DF，则EF的最小值是．20．如图，已知在正方形ABCD中，AB=8，∠FEG=90°，EF=3，EG=4，点D为FG中点，连接BE，点P为BE中点．连接CP，则CP的最大值为．参考答案1．B解：如图，连接CP，∵四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠DCB=90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEC=∠PFC=90°，∴四边形PECF是矩形，∴CP=EF，∴要求EF的最小值，就是要求CP的最小值，当CP⊥BD时，CP取最小值，在Rt△BAD中，∠BAD=90°，AB=3，AD=4∴BD=A∵S△BCD∴12∴CP=12∴EF的最小值为125故选：B．2．D解：连接DM，

∵E，F分别为MN，∴EF是△MND的中位线，∴EF=1∵点M，N分别在边AB，BC上，∴当点M与点B重合时，DM最大，∵∠A=90°∴此时DM=A∴EF长度的最大值为12故选：D．3．D解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=8，∠DCB=90°，∵点F是CD中点，点O是BC的中点，∴CF=3，CO=4，∴OF＝∵点O是Rt△BCE的斜边BC∴OE=OC=4，∵根据三角形三边关系可得：OE+OF≥EF，∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF=4+5=9．故选：D．4．C解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，C当点F与点E重合时，点P在P2处，E∴P1P2当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且∴点P的运动轨迹是线段P1∴当BP⊥P1P∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°∴∠DP∴∠DP∴∠P2P∴BP的最小值为BP在等腰直角△BCP1∴BP∴PB的最小值是2．故选：C．5．A解：根据题意得，E点关于直线AC的对称点是BC的中点E′，连接DE′交AC与点P，此时PD+PE∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，点A(−3，∴OA=OC=3，∴△BCD是等边三角形，∴DE即PD+PE的最小值是3，故选：A．6．C解：当两张纸条互相垂直时，重叠部分四边形ABCD是一个正方形，重叠部分的面积有最小值9cm∴两张纸条的宽为9=3如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB=BC=x，则ED=9−x，AE=3，在Rt△ADE由勾股定理得到：AE即32解得x=5，∴S菱形故选：C．7．C解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∵BE=CF，∴△ABE≌△BCF(SAS∴AE=BF，∴BF+DE的最小值等于AE+DE的最小值，如图，作点A关于BC的对称点H，连接BH，则A，B，H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的点E，根据对称性可知AE=HE，HB=AB=2，∴AE+DE=DH，在Rt△ADH中，AH=4，AD=2，由勾股定理得DH=∴BF+DE的最小值为25故选：C．8．D9．A解：如图：∵正方形ABCD，∴AD=DC=AB，∠ADC=90°，分别作AE⊥DN于E，CF⊥DN于F，则∠AED=∠DFC=90°，∴∠DAE+∠ADE=90°=∠ADC=∠ADE+∠CDF，∴∠DAE=∠CDF，∴△ADE≌△DCF，∴CF=DE，由轴对称可得：AB=AN，∵AB=AD，∴AD=AN，又∵AE⊥DN，∴DE=FN=1∴CFDN∵CF⊥DN，根据点到直线的距离垂线段最短可得：CN≥CF，∴CNDN故CNDN的最小值为1故选：A．10．C解：过点A作x轴的垂线交射线DC于点E，则∠1+∠2=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵∠AOB=90°，∴∠ADE=∠AOB=90°，∴△AOB∽△ADE，∴AOAD∴AO×AE=AB×AD，∵S矩形∴AE=3，取AE中点F，连接OF,DF，则AF=3∵∠ADE=90°，∴DF=1∴OF=O∵DF+OF≥DO，当点O,F,D三点共线时，DO取得最大值，∴OD≤3+故选：C．11．A解：根据题意可知，点N在以E为圆心，DE长为半径的圆上运动，如图所示：当点N正好落在边AD上时，∵DE=NE,∠D=∠ABC=60°，∴△DEN是等边三角形，∴DE=DN=EN=4，∴DF最短，此时DF=1当点N落在边BC上时，DF最长，过点N作NG⊥AD于点G，分别过点E,D作BC的垂线，交BC的延长线于点H,M．∴四边形MNGD是矩形，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=6，点E在边CD上，且DE=4，∴CD=AD=AB=6，CE=2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC=∠DCH=60°，∴CM=cos∴GN=DM=CD2−CM在Rt△NEH中，NE=DE=4，EH=∴NH=13∴NM=13∴DG=NM=13设DF=x，则NF=x，GF=13在Rt△NGF由勾股定理可知，GN即33解得x=213∵213故答案为：A．12．10解：如图，延长AB到J，使得BJ=AB，连接MJ，JD，∵AB=BJ，AN=NM，∴BN=1∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAJ=90°，∵AD=BC=3，AB=BJ=2，∴AJ=4，∴DJ=A∵MJ≤DJ+DM=5+5∴MJ的最大值为203∴BN的最大值为103故答案为：10313．15解：作M关于AB的对称点M′，连接M′N，延长CB∴PM=PM′，∴PM+PN=PM在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，∴AM∴四边形ABEM′是平行四边形，又∴四边形ABEM∴∠E=90°，EM∵四边形ABNM的面积等于54，由题意可知：四边形ABNM是直角梯形，∴12∴AM+BN=12，∴AM∴M′∴PM+PN=PM′+PN≥故答案为：15．14．6解：如图,连接AC,过点C作CT⊥CA,使得CT=AD=3,连接AT,ET

∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CB=CD=AD,∠ABC=∠ADC=60°,∠ADB=1∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AC=AB=3∵AC⊥CT,∴∠ECT=30°,∴∠ADF=∠ECT,∵CE=DF,CT=DA,∴△ADF≌△ECTSAS∴AF=ET,∴AE+AF=AE+ET≥AT,∵∠ACT=90°,AC=CT=3∴AT=A∴AE+AF≥6∴AE+AF的最小值为6．故答案为：6.15．4解：∵正方形ABCD的边长为8，∴∠C=90°，∵点G是边CD的中点，∴CG=DG=4，连接AG，∴AG=A∵将△ABE沿AE翻折得到△FAE，∴AF=AB=8，∵FG≥AG−AF，∴当点G、F、A三点共线时，GF最小，∴GF的最小值为45故答案为：4516．3如图，在AC的右侧取一点J，使得JA=JC，∠AJC=120°．连接AJ,JC,OJ,过点J作JH⊥AC于点H．∵AC=3，∴AH=CH=3∵∠AJC=120°，∴∠JAH=∠JCH=30°，∴CJ=2JH，∴CJ=3则JH=3∵四边形ABDE是矩形，∴OA=OB．∵∠AOE=60°，∴∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠CAJ=∠BAO，∴∠CAB=∠JAO．∵AJ∴△CAB∽△JAO，∴OJ∴JO=23∵OC≤JO+JC=23∴OC的最大值为3317．15解：设DF=x，则FC=6−x，如图所示，过点C作CG∥EF，且CG=EF连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最小值小；∵CG∥EF，CG=EF，∴四边形CEFG是平行四边形：∴EC∥FG，EC=FG，∵点A、F、G三点共线，∴AF∥EC．∵四边形ABCD是矩形．∴AE∥DC，∠D=90°，∴四边形AECF是平行四边形．∴OA=OC，OE=OF，又∵EF⊥AC，AF=CF=6−x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD∴3解得：x=9∴AF=CF=6−在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD∵AD=3，DC=AB=6，∴AC=35∴AO=3又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴AO∴AG=15又∵AG=AF+FG，FG=EC，∴AF+EC=15故答案为：15218．3解：如下图所示，过点M作MG⊥ED，交BC于点H，∵四边形BCDE为正方形，∴MG⊥BC，∵AB=6，△ABC是等边三角形，四边形BCDE为正方形，∴AB=BC=CD=ED=BE=6，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∠E=∠D=∠EBC=∠BCD=90°，设MC=x，则EN=x，∴DN=ED−EN=6−x，在Rt△MHC中，∠MHC=90°，∠MCH=60°∴∠CMH=30°，∴CH=1∴DG=CH=12x∴MG=MH+GH=32x+6∴MN=N整理得：MN=3当x=−63−18最小值为MN======3=3=3=3=3=33故答案为：3319．2解：如图，连接AC，过点C作CG⊥AD于点G，∵四边形ABCD是菱形，∠A=120°，AB=4，∴AB=BC=AD=CD=4，∠B=∠D=∠BAC=∠CAD=60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AC=AB=4，∠ACB=60°，∵CG⊥AD，∴AG=1在Rt△ACG中，CG=∵CF≥CG，∴CF的最小值为23在△ACE和△DCF中，AE=DF∠EAC=∠D∴△ACE≌△DCFSAS∴∠ACE=∠DCF，CE=CF，∴∠ECF=∠ACE+∠AC