2025年中考数学总复习《圆中相似三角形综合》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《圆中相似三角形综合》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在中，，是的角平分线，以O为圆心，为半径作圆O．(1)求证：是圆O的切线；(2)已知交圆O于点E，延长交于点D，，求的值．2．如图，以为直径作，弦，连接并延长交圆于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．3．如图，为的直径，点C在圆外，，，点D在的延长线上，连接、，分别交于点E、F．若，．(1)求证：为的切线；(2)连接并延长，交于点M，求的长．4．如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，与，分别相交于点，．(1)求证：平分；(2)若，，求的半径及的长．5．如图，点A，，是半径为6的上三个点，的平分线交圆于点，过点作的垂线交的延长线于点．延长交的延长线于．(1)判断直线与的位置关系，并证明；(2)若，求的值．6．如图，以线段上一点为圆心，为半径画圆，交于点，点是异于点，的上一点，过点作，交延长线于点，连接，且．(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径；(3)若，如图，以为圆心，为半径画弧交射线于点（与不重合），为的中点，判断点是否在一个圆上？如果在，请求出这个圆的半径；如果不在，请说明理由．7．如图，在中，点O在上，以O为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点D，且．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的半径．8．如图1，圆内接四边形，为直径，点E在弧上，且满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．(1)若，请用含的代数式表示．(2)如图2，连结，若．求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，连结，，，求的面积．9．图1，内接于圆O，是圆O的直径，D为圆O上一点，连接、，E为上一点，且．(1)直接写出与的位置关系为：_______；(2)如图2，连接，在的延长线上取一点F，使，，求证：；(3)在（2）的条件下，如图3，延长交于H，，，求的面积．10．如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G．(1)求证：；(2)如果如图2．求圆O的直径．11．如图，、是圆O的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接，分别交，于点M，N，连接．(1)求证：是圆O的切线；(2)设圆O的半径为4，在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．12．如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点，垂足为点，平分．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．13．如图，过圆外一点P作圆O的切线交圆与A，在圆上一点B（不与A重合），，点D在优弧上运动，连接与圆的另一个交点为C．(1)证明：是圆O的切线；(2)若点D是优弧的中点，且，求；(3)在（2）的基础上，，，求y关于x的解析式．字14．如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．15．如图，是圆内接三角形，点O是边上一点，过点O作于点E，交过点C的切线于点D，．(1)求证：是此圆的直径；(2)若点O是边的中点，，，求此圆的半径长．参考答案1．(1)见解析(2)【分析】（1）过点作于点，然后证明即可；（2）连接，先求证，然后可知，所以，进而得出的值．【详解】（1）证明：过点作于，∵平分，∴，即点在圆上，∴是的切线；（2）解：连接，如图，∵是的直径，，，，，，，设，圆的半径为r，则，在中，，解得：或（舍），则，，，，设，根据（1）可得，∴，则，在中，，解得（舍去）或，，，．【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明．本题涉及勾股定理，全等三角形，圆周角定理，相似三角形，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．2．(1)见解析(2)【分析】（1）根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论；（2）根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出即可得出答案．【详解】（1）证明：如图所示：∵为的直径，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．3．(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，圆周角，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．（1）证明，求得，利用勾股定理的逆定理，得到，即可证明结论；（2）利用三角形内角和定理，得到，利用直径得出，进而推出，则M为的中点，即可求解．【详解】（1）证明：在与中，∵，，∴．∴．∵，，∴．∴．∵在中，，，，∴，．∴，即为直角三角形，且．∴为的切线．（2）解：∵，，∴．又∵为的直径，∴．∴，∵，∴，∴．∴．∴．∴M为的中点．∴．4．(1)证明见解析(2)；【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质得到，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质和角平分线的定义解答即可；（2）利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得圆的半径，连接，利用相似三角形的判定与性质求得，则结论可求．【详解】（1）解：连接．是的切线，．，，．．，，，平分．（2）解：∵，∴，设的半径为r，则，，∵，∴，∴，∴，∴．∴的半径为．∴．连接，如图，∵为的直径，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．5．(1)相切，见解析(2)【分析】（1）先利用等边对等角和角平分线的定义进行角的转化求出，进一步得到，即可求证．（2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的判定与性质求出和，最后利用正切的定义求解．【详解】（1）解：直线与相切．证明：如图，连接．，，平分，，，，，．∵是的半径，是的切线．（2）解：∵在中，，∴，，∴，，，，，在中，．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系——切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求角的正切函数，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，解题关键是能作出辅助线构造相似三角形．6．(1)证明见解析(2)(3)点在一个圆上，这个圆的半径为【分析】（）连接，可得，即得，由得到，进而得到，即可求证；（）由，可得，进而得到，连接，可得，得到，再根据勾股定理得到，进而即可求解；（）连接，由垂径定理的推论可得，即得，由得，进而可得，得到，进而得到，即可得到点在一个圆上；由，可得，，得到，再根据三角形面积可得，得到，由三线合一得到，即可得，，，，由得到，可得，得到，最后由勾股定理得到，由可知为点所在圆的直径，据此即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵为的半径，∴是的切线；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴∴，∴的半径为；（3）解：点在一个圆上，理由如下：连接，∵为的中点，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴点四点共圆，即点在一个圆上；∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵,∴为点所在圆的直径，∴这个圆的半径为．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直接三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．7．(1)见解析(2)3【分析】本题考查了切线的性质和判定定理、解直角三角形、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）连接，根据切线的性质定理得到，，由推出，进而得出，，再利用切线的判定定理即可证明；（2）在中利用余弦的定义求出的长，利用勾股定理求出的长，通过证明得到，设的半径为r，代入数据解出r的值即可．【详解】（1）证明：如图，连接，与相切，，，，，，，，，，半径于点C，为的切线．（2）解：由（1）知，在中，，，，，，，，设的半径为r，则有，解得：，的半径为3．8．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）由圆周角定理可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解；（2）连接，利用证明即可得证；（3）由圆周角定理可得，证明，得出，由（2）可得：，推出，再证明，求出，由勾股定理可得，求出，，从而得出，，再由三角形面积公式计算即可得解．【详解】（1）解：∵，，∴，∵为直径，∴，∴；（2）证明：如图，连接，∵，∴，∵为直径，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，由（2）可得：,∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．9．(1)(2)见详解(3)【分析】（1）由是的直径，得，由，推导出，而，则，所以；（2）由，，推导出，因为，所以，而，，可根据“”证明，得，因为，所以，则；（3）作于点，由，得，再证明，得，所以，因为，，所以，设，则，，由，得，则，所以，，由勾股定理得，求得符合题意的值为1，则，，，求得，由，求得，则．【详解】（1）解：，理由：如图1，是的直径，，，，，，，；（2）证明：如图2，，，，，，在和中，，，，，，，，；（3）解：如图3，作于点，则，，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，，，，，解得，（不合题意，舍去），，，，，，，，，，的面积是．【点睛】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．10．(1)见解析(2)【分析】（1）作直径，连接，由平行四边形的性质和点E是的中点得，得到，再证明，，可证得．（2）证平行四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分；根据勾股定理可求出菱形的边长．由于E是中点，可得，根据，可得P、O、C三点共线，为的直径，根据，，可得，得到，得到，即得⊙O的直径为．【详解】（1）证明：连接并延长交于点H，连接，则．∴．∵四边形是平行四边形，∴．又∵E为的中点，∴．∴．∴．∵切于P，∴．∴．∵，∴．∴．（2）解：∵平行四边形中，，∴平行四边形为菱形．∴，．∴．∴．∵切于P，∴．∵，∴P、O、C三点共线．∴为的直径．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴⊙O的直径为．【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合．熟练掌握圆切线性质，平行四边形性质，菱形的判定和性质，三角形中位线判定和性质，圆内接四边形性质，直角三角形你斜边上中线的性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．11．(1)证明见详解；(2)是定值，理由见详解【分析】(1)连接，由直径所对圆周角是直角可得，则，由，可知，根据，可得，即可得到证明；(2)连接，根据题意可得，进而可知，，由圆周角定理可知，得，可证，得，则，结合勾股定理可得，即可求得为定值；【详解】（1）证明：连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴是的切线；（2）解：是定值，理由见详解，连接，∵，、是圆O的两条直径，∴，∴，，∵，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是定值．【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，含的直角三角形以及相似三角形的性质等知识，证明是解答本题的关键．12．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由等边对等角得出，由角平分线的定义得出，推出，从而得出，由平行线的性质得出，即可得证；（2）连接交于，证明四边形为矩形，得出，，，证明，得出，从而得出，，求出的长，再由勾股定理计算即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，连接，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：如图，连接交于，，∵为的直径，∴，∵，，∴四边形为矩形，∴，，，∴，∵为的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．13．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）连接，由切线的定义可得．证明，推出，即可证明是圆O的切线；（2）先证垂直平分，经过圆心，通过证明得出，通过证明得出，设，，利用勾股定理解可得，进而解出，最后根据可得答案；（3）由得出，由得出，进而可得，即，推出，再证，推出，结合，可得．【详解】（1）证明：连接，如图，∵为圆O的切线，∴，∴．在和中，，∴，∴，∴，∵为圆O的半径，∴是圆O的切线；（2）解：∵D是优弧的中点，∴，∵，∴是的垂直平分线，且经过圆心，∴，∴，∵，∴，∴，即，如图，连接，∵是圆O的切线∴，∵经过圆心，即为直径，∴，∴，∵，∴，即，∴，又∵，∴，∴，即，设，，∴，，∵，