bupt线性代数期末考试试题及答案

bupt线性代数期末考试试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(\vertA\vert=\)（）A.-2B.2C.10D.-102.若向量组\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)，则该向量组（）A.线性相关B.线性无关C.秩为2D.不能确定3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(Ax=0\)有非零解，则（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(\vertA\vert=0\)C.\(A=0\)D.\(A\neq0\)4.对于矩阵\(A\)，若\(A^T=A\)，则\(A\)是（）A.对称矩阵B.反对称矩阵C.正交矩阵D.单位矩阵5.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，则\((AB)^T=\)（）A.\(A^TB^T\)B.\(B^TA^T\)C.\(AB\)D.\(BA\)6.若\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，则\(kA\)（\(k\neq0\)）的特征值为（）A.\(\lambda\)B.\(k\lambda\)C.\(\frac{\lambda}{k}\)D.\(\lambda+k\)7.设\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(A^{-1}\)的特征值为（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(-\lambda\)D.\(\lambda^{-1}\)8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2\)的矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)9.设\(A\)为\(3\times3\)矩阵，\(R(A)=2\)，则齐次线性方程组\(Ax=0\)的基础解系所含向量个数为（）A.1B.2C.3D.010.若\(A\)，\(B\)为同阶方阵且\(AB=BA\)，则\((A+B)^2=\)（）A.\(A^2+2AB+B^2\)B.\(A^2+B^2\)C.\(A^2+AB+B^2\)D.\(2(A^2+B^2)\)答案：1.A2.B3.B4.A5.B6.B7.B8.A9.A10.A二、多项选择题（每题2分，共10题）1.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，则下列等式正确的是（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\inN\)）C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)E.若\(A\)，\(B\)可逆，则\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)2.设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，则（）A.存在不全为零的数\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)B.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示C.向量组的秩小于3D.向量组的行列式为零E.向量组的极大线性无关组所含向量个数小于33.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(Ax=0\)的基础解系为\(\xi_1,\xi_2\)，则（）A.\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)（\(k_1,k_2\inR\)）是\(Ax=0\)的解B.\(\xi_1,\xi_2\)线性无关C.\(n-R(A)=2\)D.\(A\xi_1=A\xi_2=0\)E.若\(\xi\)是\(Ax=0\)的解，则\(\xi=k_1\xi_1+k_2\xi_2\)4.设\(A\)为对称矩阵，则（）A.\(A=A^T\)B.\(A\)的特征值为实数C.\(A\)可正交相似对角化D.对于任意\(x\neq0\)，\(x^TAx\)是二次型E.\(A\)的不同特征值对应的特征向量正交5.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)相似于\(B\)，则（）A.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)B.\(R(A)=R(B)\)C.\(A\)与\(B\)有相同的特征值D.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量E.\(A\)与\(B\)可化为相同的对角矩阵6.设二次型\(f(x)=x^TAx\)（\(A\)为对称矩阵），则（）A.二次型的矩阵\(A\)是唯一的B.二次型经可逆线性变换\(x=Cy\)后化为\(y^T(C^TAC)y\)C.若\(A\)正定，则\(A\)的所有顺序主子式大于零D.若\(A\)负定，则\(A\)的所有奇数阶顺序主子式小于零E.二次型的标准形是唯一的7.设\(\lambda_1,\lambda_2\)是矩阵\(A\)的两个不同特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分别是对应于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，则（）A.\(\xi_1+\xi_2\)不是\(A\)的特征向量B.\(\xi_1,\xi_2\)线性无关C.\(\lambda_1\xi_1+\lambda_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量D.\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)（\(k_1,k_2\neq0\)）不是\(A\)的特征向量E.\(\lambda_1\lambda_2\)是\(A^2\)的特征值8.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(R(A)=n-1\)，则（）A.\(\vertA\vert=0\)B.\(Ax=0\)的基础解系所含向量个数为1C.\(A\)的列向量组线性相关D.\(A\)有\(n-1\)阶子式不为零E.\(A\)的行向量组的秩为\(n-1\)9.下列矩阵中为正交矩阵的是（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)E.\(\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)10.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(A^2=A\)，则（）A.\(A\)的特征值为0或1B.\(A\)可逆C.\(R(A)+R(A-E)=n\)D.\(A\)可相似对角化E.\(Ax=x\)与\(Ax=0\)的解空间维数之和为\(n\)答案：1.CE2.ABCE3.ABD4.ABCDE5.ABC6.ABCD7.ABDE8.ABCDE9.ABDE10.ACDE三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(n\)阶方阵\(A\)，\(B\)满足\(AB=0\)，则\(A=0\)或\(B=0\)。（）2.向量组\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(4,5,6)\)，\(\alpha_3=(7,8,9)\)线性相关。（）3.若\(A\)为\(n\)阶方阵，则\(\vertkA\vert=k\vertA\vert\)（\(k\inR\)）。（）4.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(A\)可逆，则\(A\)的行向量组线性无关。（）5.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\)的矩阵为\(\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\)。（）6.设\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应于\(\lambda\)的特征向量，则\(A\xi=\lambda\xi\)。（）7.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵且\(A\)相似于\(B\)，则\(A\)与\(B\)有相同的特征向量。（）8.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(Ax=0\)只有零解，则\(A\)的列向量组线性无关。（）9.若\(A\)为正交矩阵，则\(\vertA\vert=\pm1\)。（）10.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(A\)的秩为\(n\)，则\(A\)的行最简形为单位矩阵。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.√四、简答题（每题5分，共4题）1.简述矩阵可逆的定义及其判定条件。-答案：若存在矩阵\(B\)，使得\(AB=BA=E\)（\(E\)为单位矩阵），则称矩阵\(A\)可逆。判定条件：\(\vertA\vert\neq0\)；\(A\)的行（列）向量组线性无关；\(R(A)=n\)（\(A\)为\(n\)阶方阵）；\(A\)可化为单位矩阵等。2.什么是向量组的极大线性无关组？如何求向量组的极大线性无关组？-答案：向量组的极大线性无关组是向量组的一个部分组，它线性无关且向量组中的任意向量都可由它线性表示。求法：将向量组构成矩阵，通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，首非零元所在列对应的原向量组中的向量构成极大线性无关组。3.简述二次型正定的定义及其判定方法。-答案：对于二次型\(f(x)=x^TAx\)，若对于任意\(x\neq0\)，\(f(x)>0\)，则称二次型正定。判定方法：\(A\)的所有顺序主子式大于零；\(A\)的特征值全大于零；存在可逆矩阵\(C\)，使得\(A=C^TC\)。4.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应于\(\lambda\)的特征向量，简述特征值与特征向量的性质。-答案：\(A\xi=\lambda\xi\)；若\(A\)可逆，则\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值，\(\xi\)是对应特征向量；\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值，\(\xi\)是对应特征向量；不同特征值对应的特征向量线性无关等。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论当\(a\)取何值时，向量组\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,a)\)线性相关。-答案：设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&a\end{pmatrix}\)，计算\(\vertA\vert=a-5\)。当\(\vertA\vert=0\)，即\(a=5\)时向量组线性相关。2.讨论矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)与\(B=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)是否相似，为什么？-答案：\(A\)与\(B\)有相同的特征值\(1\