2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第3节空间直线、平面的平行

第3节空间直线、平面的平行高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.掌握空间中线面平行的有关性质和判定定理.3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.强基础•固本增分知识梳理1.线面平行的判定定理和性质定理

定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与

的一条直线平行,那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)

a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α“内”“外”“平行”三个条件缺一不可性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面

,那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

a∥α,a⊂β,且α∩β=b⇒a∥b此平面内相交微思考一条直线与一个平面平行,那么它与平面内的所有直线都平行吗?提示

不都平行.该平面内的直线有两类:一类与该直线平行,另一类与该直线异面.误区警示

在推证线面平行时,一定要强调直线a不在平面α内,直线b在平面α内,且a∥b,否则会出现错误.2.面面平行的判定定理和性质定理

定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条

与另一个平面平行,那么这两个平面平行

“相交”条件不可缺少

a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么

平行

α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b相交直线两条交线[教材知识深化]判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循“先找后作”的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.微思考一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?提示

平行.可以转化为面面平行的判定定理“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”.所以这个结论可以直接应用,称为面面平行判定定理的推论.[教材知识深化]1.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.3.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.4.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.5.同一条直线与两个平行平面所成角相等.6.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.7.垂直于同一条直线的两个平面平行.自主诊断一、基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.(

)(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(

)(3)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行.(

)(4)一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(

)××××2.(人教A版必修第二册8.5.3节练习第2题)平面α与平面β平行的充分条件可以是(

)A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内C.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥αD.α内的任何一条直线都与β平行D解析

A不正确,如果这无穷多条直线平行,平面α与平面β可能相交;B不正确,当平面α与平面β相交时,若直线a与交线平行,则满足条件;C不正确,当直线a与直线b平行时,两个平面可能相交;D显然正确.3.(北师版必修第二册习题6-4A组第2(3)题改编)如图,平面α∥平面β,PA=6,AB=2,BD=12,则AC=

.9

二、连线高考4.(2011·福建,文15)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于

.

研考点•精准突破考点一直线与平面平行的判定与性质(多考向探究预测)考向1

直线与平面平行的判定例1如图,在四棱锥E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,点F为棱DE的中点.证明:AF∥平面BCE.

(方法二:线面平行判定定理)如图,在平面ABCD内,分别延长CB,DA,交于点N,连接EN.因为AB∥CD,CD=2AB,所以A为DN的中点.又F为DE的中点,所以AF∥EN.因为EN⊂平面BCE,AF⊄平面BCE,所以AF∥平面BCE.(方法三:面面平行的性质)如图,取棱CD的中点G,连接AG,GF,因为点F为棱DE的中点,所以FG∥CE.因为FG⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,所以FG∥平面BCE.因为AB∥CD,AB=CG=2,所以四边形ABCG是平行四边形,所以AG∥BC.因为AG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG⊂平面AFG,AG⊂平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因为AF⊂平面AFG,所以AF∥平面BCE.[对点训练1](2024·广西贺州模拟)在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,E,F分别为棱PC,AB的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)设平面PAD∩平面PBC=l,求证:l∥平面ABCD.

考向2

直线与平面平行的性质例2如图,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证:MA∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.(1)证明

如图所示,记AC与BD的交点为O,连接OE.因为O,M分别是AC,EF的中点,四边形ACEF是矩形,所以EM∥OA,EM=OA,所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)解

l∥m,证明如下:由(1)知AM∥平面BDE,又AM⊂平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM,同理m∥AM,所以l∥m.[对点训练2]如图,已知E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,点P在平面ABCD外,M是线段PA上一动点,若PC∥平面MEF,试确定点M的位置.

考点二平面与平面平行的判定与性质例3如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明

(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,∴GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1∥AB且A1B1=AB,∴A1G∥EB,A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.又A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.变式探究1在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.证明

如图,连接A1C,AC1,交于点M.∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴M是A1C的中点.连接MD,∵D为BC的中点,∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知,D1C1∥BD且D1C1=BD,∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又DC1∩DM=D,DC1,DM⊂平面AC1D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.

考点三平行关系的综合应用

(3)解

线段AD上存在点N,使得MN∥平面PAB,理由如下:取AD中点N,连接CN,EN.因为E,N分别为PD,AD的中点,所以EN∥PA.因为EN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以EN∥平面PAB.由(2)知CE∥平面PAB,又CE∩EN=E,CE⊂平面CEN,EN⊂平面CEN,所以平面CEN∥平面PAB.又M是CE上的动点,MN⊂平面CEN,所以MN∥平面PAB,所以线段AD上存在点N,使得MN∥平面PAB.[对点训练3]如图,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分别是线段AC,DF的中点.(1)求证:GH∥平面BFC.(2)在线段CD上是否存在一点P,使得平面GHP∥平面BCF?若存在,指出点P的具体位置并证明;若不存在,请说明理由.(1)证明

连接BD.∵四边形ABCD为平行四边形,G是AC的中点,∴G也是线段BD的中点,∴G,H分别是线段BD,DF的中点,∴GH∥BF,又BF⊂平面BFC,GH⊄平面BFC,∴GH∥平面BFC.(