2023北京初三二模数学试题汇编：特殊的平行四边形

2023北京初三二模数学汇编

特殊的平行四边形

一、填空题

1.(2023・北京海淀•统考二模)如图，正方形ABCD,点A在直线/上，点8到直线/的距离为3,点。到直

线/的距离为2,则正方形的边长为.

二、解答题

2.(2023•北京平谷•统考二模)如图，直线ABCD,E是AB上一点，P是8上一点，连接E尸，以下

为圆心E尸长为半径画弧，在点尸的右侧交直线CD于点G,再分别以点E和点G为圆心，大于‘EG长为

2

半径画弧，两弧交于点连接切交48于点连接MG.

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形，判断四边形EFGM的形状；

⑵证明⑴中的结论.

3.(2023・北京海淀•统考二模)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点、0,E为的中

点.连接OE并延长至点P，使得EF=DE.连接AF,BF.

(1)求证：四边形AEBO为平行四边形；

(2)^ZBDA=ZBDC,求证：四边形AFBO为矩形.

4.(2023•北京房山•统考二模)如图，点。为YABCD的对角线AC的中点，直线/绕点O旋转，当/JLAC

时，与边AB,CD分别交于点E,F,连接AF,CE.

(1)求证：四边形AEb是菱形;

（2）若/E4c=15。，BE=1,EC=2,求YABCD的面积.

5.（2023.北京西城・统考二模）已知：如图1,线段a,b.

求作：WABCD,使得AB="，BC=b.

a

II

b

II

图1

作法：如图2.

m

C

------------------

b

/,「______

AaB

图2

1.在直线/上截取AB=a.

2.过点2作直线加」/,在直线相上截取3c=6.

3.分别以点A和点C为圆心，6,。的长为半径画弧，两弧的交点为D.

（点。与点C在直线/的同侧）

4.连接AD,CD.

则四边形ABC。为所求的矩形.

根据上面设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：VAD=BC=b,AB=DC=a,

.,•四边形ABC。是平行四边形（）.（填推理的依据）

:直线加，/,

ZABC=°,

四边形ABCD是矩形（）.（填推理的依据）.

6.（2023•北京西城・统考二模）如图，以菱形A3CD的边AD为直径作＜。交A5于点E,连接。3交（。于

点尸是8C上的一点，且BF=BE,连接。尸.

⑴求证：DM=BM；

(2)求证：DF是:。的切线.

7.(2023•北京西城•统考二模)如图，矩形ABCD的对角线AC,即相交于点。，过点。作AC的平行线交

8c的延长线于点E.

⑴求证：BD=DE；

(2)连接OE,若AB=2,BC=4,求OE的长.

8.(2023•北京昌平・统考二模)如图，在菱形A3CD中，对角线AC,8。交于点。，点£是过点。作BC的

平行线与过点B作8。的垂线(垂足为8)的交点.

(1)求证：四边形O£BC是平行四边形；

(2)连接AE,求证：四边形A£B。是矩形.

参考答案

1.V13

【分析】过点。,8分别作/的垂线，垂足分别为瓦尸，则DE=2,B尸=3,NDEA=NBFA=9。。,证明

AADE^ABAF,贝=8尸=3,进而勾股定理即可求解.

【详解】解：如图所示，

过点。B分别作/的垂线，垂足分别为瓦月,

DE=2,BF=3,NDEA=NBFA=90。,

:四边形ABCD是正方形，

AD=AB,ZDAB=90°,

：.ZBAF=90°-ZDAE=ZADE,

：./\ADEg/\BAF.

：.AE=BF=3,

在Rtz\AZ)E1中，AD=\lDE2+AD2=A/22+32=713>

故答案为：V13.

【点睛】本题考查了点到直线的距离，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以

上知识是解题的关键.

2.(1)四边形EFGM为菱形；

(2)见解析.

【分析】(1)利用尺规作图即可；

(2)由题意可得£F=FG,FH平分NEFG,再根据。证明角相等，然后根据等角对等边即得

EF=EM,进而通过邻边相等的平行四边形证明即可.

【详解】(1)如图，

猜想：四边形EFGW为菱形.

(2)解：由作图可知：EF=FG,FH平分■NEFG,

：.ZEFM=NGFM,

,/ABCD,

；・/EMF=ZMFG,

:.ZEMF=ZEFM,

・•・EM=EF,

EF=FG,

；.EM=FG,

,：EMFG,

・••四边形EFGM是平行四边形,

•：EM=EF,

・・・四边形EFGM是菱形.

【点睛】本题考查尺规作图、菱形的判定和平行线性质，解此题关键是掌握菱形的判定方法.

3.(1)见解析

⑵见解析

【分析】(1)证明0E为的中位线，则。石〃m，且=,又贝lj

OA=BF,OA//BF,即可得证；

(2)根据平行四边形的性质得出BC,则=根据已知的NC8D=NCEB,可得

CB=CD,则四边形A8CD是菱形，可得/BQ4=90。，结合(1)的结论，即可得证.

【详解】(1)证明：•.•平行四边形ABCD的对角线AC,3。交于点0,

BO=DO,

又EF=DE,

0E为ADFB的中位线，

AOE//FB,S.OE=-BF,

2

又E为Q4的中点，

OE=-AO,

2

OA=BF,OA//BF,

...四边形AFB0为平行四边形；

(2):平行四边形ABCD,

AD//BC,

：.ZADB=NDBC,

ZBDA=ZBDC,

：.ZCBD=ZCDB,

：.CB=CD,

：.平行四边形ABCD是菱形，

AC1BD,

/.ZBQ4=90°,

/.平行四边形AFBO是矩形.

【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌

握特殊四边形的判定定理是解题的关键.

4.(1)见解析

(2)3

【分析】(1)根据AAS证明dAOE=_COR得OE=O尸,再证明四边形是平行四边形，最后根据对角线

互相垂直的平行四边形是菱形进行证明即可；

(2)过点C作交延长线于点X,求出CH=1,再根据菱形的面积计算公式求解即可.

【详解】(1):四边形ABCZ)是平行四边形，

ABDC,

：.NEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,

为AC的中点，

?.OA=OC,

在△AEO和△CFO中，

ZEAO=ZFCO

<NAEO=ZCFO,

AO=CO

：..AOE=,COF,

：.OE=OF,

四边形AECF是平行四边形，

•/I±AC,

二四边形AEC厂是菱形，

:四边形AEb是菱形，

,；AE=EC=2,/B4C=2CE=15。,

/HEC=ZEAC+NACE=30°,

CH=-EC=1,

2

,/BE=L

?.AB=AE+EB=2+1=3,

ABCD的面积=ABxCW=3xl=3.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质和以及菱形面积求法等知识，熟练掌握相关知

识是解题的关键.

5.（1）见解析

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；90；有一个内角是直角的平行四边形是矩形.

【分析】（1）按照步骤操作即可；

（2）根据矩形的判定定理推导，填空即可.

图2

（2）证明：VAD=BC=b,AB=DC=a,

四边形ABC。是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

:直线

ZABC=90°,

四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）.

故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；90；有一个内角是直角的平行四边形是矩形.

【点睛】本题考查尺规作图，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键.

6.⑴见解析；

（2）见解析

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角及菱形的性质得到点又是50的中点即可解答；

（2）根据菱形的性质及全等三角形的判定得到DBE名DBF,再根据全等三角形的性质得到

/BFD=ZDEB=90。，最后利用四边形的内角和及切线的判定即可解答.

【详解】（1）解：连接AM,

：4£＞为l。的直径，

ZAMD=90°,

：.AMVBD,

:四边形ABC。是菱形，

***AD=AB9

・••点M是的中点，

.DM=BM；

DC

•.•四边形"CD是菱形，

ZDBE=ZDBF,ZDAB+ZABC=180°,

.•.在和DBF,

BE=BF

<ZDBE=ZDBF,

BD=BD

,DBE”aDBF(SAS),

：.ZDEB=ZDFB,

V。的直径，

ZAED=ZDEB=90。,

：.ZBFD=ZDEB=90°,

,：ZDAB+ZABC=180°,

.•.在四边形ABFD中，ZADF+ZBFE=180°,

：.ZADF=90°,

AD±DF,

Z)户是］。的切线.

【点睛】本题考查了菱形的性质，直角所对的圆周角是90。，等腰三角形的性质，切线的判定，全等三角

形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键.

7.(1)见解析

(2)OE=A/37

【分析】(1)根据矩形的对角线相等可得AC=3。，对边平行可得AD〃BC,再证明出四边形ADEC是

平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC=DE,从而得证；

(2)如图，过点。作Ob_LCD于点R欲求。E,只需在直角OE尸中求得ORFE的值即可.结合三角

形中位线求得OF,结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得OE即可.

【详解】(1):四边形MCD是矩形，

AAC=BD,AD//BC,

又：DE//AC,

...四边形ADEC是平行四边形，

AC=DE,

,BD=DE;

(2)如图，过点。作CD于点孔

•..四边形ABC。是矩形，

.•.AC=3。点。是AC,8。的中点，AD=BC=4,

：.OC=-AC,OB=-BD,

22

OC—OB,

：.CF=BF=-BC=2,

2

尸点是8C的中点，

/.OF是ABCD的中位线，

Z.