2024-2025高一数学下册期中试卷（巩固篇）解析版

2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（巩固篇）

参考答案与试题解析

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

I.（5分）下列命题正确的是（）

A.若入B都是单位向量，则为=加

B.若荏=皮，则四点/、B、C、。构成平行四边形

C.万与雨是两平行向量

D.若刃=-2五（五46）,贝皈是石的相反向量

【解题思路】对于A,根据单位向量的定义分析判断，对于B,根据相等向量的定义分析判断，对于C,根

据平行向量的定义分析判断，对于D,根据相反向量的定义分析判断.

【解答过程】对于A,因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A错误，

对于B,当而=比，且/,B,C,。四点共线时，四点4、B、C、。不能构成平行四边形，所以B错误,

对于C,因为屈=一瓦?，所以荏与瓦?是两平行向量，所以C正确，

对于D,相反向量的长度相等，显然3=-22伍力6）时，3不是另的相反向量，所以D错误.

故选：C.

2.（5分）己知2+i是关于复数z的方程z2-mz+n=0（7n,neR）的一根，则m+n=（）

A.7B.8C.9D.10

【解题思路】根据虚根成对原理可得2-i也是方程的根，再由韦达定理计算可得.

【解答过程】因为2+i是关于复数z的方程z2mz+n=0（m,nER）的一根，

所以2-i也是关于复数z的方程z2-mz+n=0（m,neR）的一根，

所以1巾=（2+i）+（2-i）=4

所以In=（2+i）（2-i）=5'

所以TH+九=9.

故选：C.

3.（5分）如图，在△4BC中，M是边5c的中点，P是/〃上一点，且丽=|瓦？+躯，则机=（）

A

【解题思路】根据向量的线性运算求解即可.

—>—>

【解答过程】因为P是4M上一点，可设4P=/L4M,

由题意知BP=BA+AP=BA+XAM=BA+A(SM-BX)=(l-A)SA+匆C=-BA+~BC,

1—2--(2=工i

所以义”，解得4,所以爪=右

-m--§

I223

故选：A.

4.(5分)一水平放置的平面四边形0aBe的直观图OTTBC如图所示，其中0"=0£，=1,091/轴,

B'C〃4轴,则四边形OABC的面积为()

X)'1A

B.3V2

【解题思路】结合图形可得4/=2,则可得四边形OABC面积，后可得四边形04BC的面积.

【解答过程】设峰轴与4B支点为。,因。Clx制，轴,则0C〃4B1

V'A

又Q轴，则四边形ODBC为平行四边形，故。方=077=1.

又4voy=45。，结合491/轴，则。4=。'4=1,故49=2.

1Q

则四边形。'ABC面积为万x（l+2）xl=-,

因四边形。'4房。面积是四边形。ABC的面积的4倍，

4

则四边形OABC的面积为3VI

故选：B.

5.（5分）在复平面内，已知z=MJ，则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为3i

B.z在复平面内对应的点位于第二象限

C.\z\—V10

D.z的共辗复数万=3i—l

【解题思路】应用复数的除法化简复数，进而确定虚部、对应点所在象限、求模长和共辗复数，即可得答

案.

【解答过程】由2=券=谶言=l+3i,所以z的虚部为3,A选项错误；

z在复平面内对应的点为（1,3）,在第一象限，B选项错误；

\z\=V10,C选项正确；

z=l-3i,D选项错误.

故选：C.

6.（5分）已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中BD=3/D=6/4BC=w，若此圆台的上、下底面圆

周都在球。的球面上，则球。的表面积为（）

A.36TtB.54TTC.64TTD.687t

【解题思路】由对应关系可得圆台的上、下底面圆半径分别为L3,进而计算出圆台的高，设球心。到。点所

在的底面的距离为％,表示。到4点所在底面的距离，利用球半径相等建立等量关系，解方程即可得到结果.

【解答过程】设圆台的上、下底面圆半径分别为「1/2，

由题意得，DE=|TTx3=2TT=2TITI，4C=|itX9=6TT=2TO-2，解得丁1=1,72=3.

如图，设圆台的上、下底面圆心分别为。1，。2，则圆台的高为J62—(3—1)2=4VI

设球。的半径为R,球心。到。点所在的底面的距离为X,则到4点所在的底面的距离为|4或-刘,

由题意得，/4二黑R2,解得“=乎，R2=«

所以球。的表面积为4TtR2=4TTXy=541T.

故选:B.

7.(5分)在△ABC中，角4B,C分别为a,b,c三边所对的角，既=煞以，则△ABC的形状是

az—ozsinQ/i—£>)

()

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【解题思路】先化简应用两角和差的正弦公式，再应用正弦定理结合余弦定理得出(a2+。2).但2-匕2)=

(a2_/)c2,最后得出边长关系即可判断三角形形状.

【解答过程】由署=瑞瑞得：(a2+62).sinQ4—B)=(a2—b2)sin(4+B),且

(a2+b2),(sinAcosB-cosAsinB)=(a2—d2)(sini4cos^+cos/sinB),且aWb,

•••(a2+h2)•(acosB-Z?cos>l)=(a2—Z)2)(acosB+bcosA),

222

(a2+b2)-(a名蓝二/一b丝蓝产)=(a2-fa2)(a^g^_|_b+c-a

2bc

化简整理得：(a?+炉).(。2—匕2)=(口2—°2)C2,即(a?+炉―〃)=0,

•••a2=b2^,a2+b2=c2,又a丰b,

■■△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.

故选：C.

8.(5分)如图，正方体ABCD-&8心。1的棱长为1,E为棱DDi的中点，P为底面正方形4BCD内(含边

界）的动点，则（）

A.三棱锥Bi-力道止的体积大小不确定

B.当41Pl4cl时，A^PIAC

C.直线BiE〃平面&BD

D.直线BiE与平面CDDiG所成角的正弦值为■（

【解题思路】对于A项：以点P为顶点，△必/小为底面研究三棱锥的体积即可；

对于B项：在矩形2CC1心内思考即可判断；

对于C项：在矩形BDDpBi中即可判断BiE与BD的关系，从而判断/E与平面&BD的关系；

对于D项：利用线面角的定义可作出线面角，再解三角形即可；

【解答过程】解：对于A项：因为P为底面正方形48CD内（含边界）的动点，所以点P到平面的距

离为1,所以U三棱锥BI-&DIP=，三棱锥P-AiDiBi=EX1XS^A1D1B1=~,故A错误；

对于B项：在矩形2CC14内，当41P，4C1时，显然&P与4C不垂直，故B错误；

对于C项：在平面BDDiBi内，BiE与BD相交，所以/E与平面&BD相交，故C错误；

对于D项：连接ME,因为近的1平面CDDiCi，

所以C1E是&E在平面CDDiCi内的射影，

所以NBiECi为直线BiE与平面CDDiCi所成角，

所以在直角三角形B1EG中，

smZ.B1EC1==J2+i=|,故D正确；

故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（6分）已知复数2=芸（i是虚数单位），则下列结论正确的是（）

A.复数z的虚部等于-2iB.zz=V5

C.z+z=-2D.若a是实数，z+a是纯虚数，则a=l

【解题思路】先化简复数Z,然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共辗复数，及复数的运算逐项判定，即可

求解.

【解答过程】由题意，复数Z=措=（:二靠？=T-2i,

对于A项：z=-l-2i,所以复数z的虚部等于—2,故A错误；

对于B项：ZZ=|Z|2=5,故B错误；

对于C项：z+z=（―l-2i）+（—1+2i）=-2,故C正确；

对于D项：因为z+a是纯虚数且a是实数，即a—1-2i为纯虚数，所以a-1=0,解得a=l,故D正确.

故选：CD.

10.（6分）如图，在aABC中，BD与EC交于点G,K是48的靠近8的三等分点，。是/C的中点，且

有庶=2刀+4而，Z,/ze（o,+oo）,则下列命题正确的是（）

\N

A.4+3〃=1

B.34+2〃=2

C.AG=^AB+^AC

D.过G作直线MV分别交线段/C于点N,^AM=mAB,AN=nAC(m>0,n>0),则

m+2?i的最小值为2.

【解题思路】根据向量的线性运算法则计算可判断A,B,C；利用共线定理的推论可得*+5=1,然后妙用

“1”可判断D.

【解答过程】对于A,B,C,设庶=AAB+fiAC,将族=|荏，AD=代入，

得［竺=|，巴E+m上，因为石、G、。三点共线，且2、G、。三点共线，

C4G=XAB+2IiAD

即E=|•同+次.所以A错，B,C正确；

对于D,AG=^AB+^AC,AM=mAB,AN=nAC,

则庶=；•与访+丽，因为M、G、N三点共线，

Z771471

11?1

则藐+而=L即蓝+7=4，

m+2n=(m+2n)(^+i)i=(2+^+^+2)^>2,

fAJ.1—4fm=1

当且仅当加+n14,即时取得等号.所以D正确.

{m=2nkn~2

故选：BCD.

11.(6分)如图所示，在棱长为2的正方体48CD-&8传1。1中，M,N分别为的小，。住的中点，其中

不正确的结论是()

A.直线与NC所成的角为60°B.直线与2N是平行直线

C.二面角N-BD-C的平面角的正切值为鱼D.点C与平面”48的距离为四

【解题思路】利用线线平行结合异面直线的夹角即可求解A,由异面直线的性质即可求解B,根据二面角的

定义可得其平面角，即可根据三角形的边角关系求解C,根据等体积法即可求解D.

【解答过程】对于A,连接4小，■■-MN//CD1,则直线MN与AC所成角为NACDi或其补角，

・•・△4CD1为等边三角形，N4CD1=60。，.・・直线MN与2C所成角为60。，故A对;

对于B,取中点为匕连接4匕由于417/BN,而4匕4M相交，所以直线4M,BN异面，故B错误;

对于C,连接BD/C相交于。，连接。N,

由于DN=BN=,22+12=而,所以。N1BD,BD1OC,

所以NNOC为二面角N—BD—C的平面角,

在RSN0C中,tasoc与*=当,故C错误,

对于D,力M=8M=、ADa+DM=3,设C到平面的距离为h,

由Uc-M4B=UMTBC得h=S或片=攻;=V2,故D正确，

故选：BC.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）若复数z=（症+爪―6）+（♦―4m+3）i（其中i为虚数单位），当z对应的点在第三象限时,

则实数nt的取值范围为（-3.1）

【解题思路】根据万对应的点在第三象限，则实部虚部均小于0列不等式即可求解.

【解答过程】由题意得｛_（%+黑;要。，解得—3<1,

故答案为：（-3,1）.

13.（5分）圣・索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称

之美.为了估算圣.索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物/瓦高约为36m,在它们

之间的地面上的点M（8,M,。三点共线）处测得建筑物顶/、教堂顶C的仰角分别是45。和60。，在建筑

物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°,则可估算圣.索菲亚教堂的高度CD约为54m.

【解题思路】根据题意求得4M,在△4MC中由正弦定理求出CM,即可在直角中求出CD.

【解答过程】由题可得在直角aABM中，N4MB=45°,48=36,所以4时=坐=36四，

Sin43

在△4MC中，AAMC=180°-60°-45°=75°,^MAC=15°+45°=60°,

所以乙4cM=180°-75°-60°=45°,

所以由正弦定理可得盛=磊，所以CM=丝堡一36K，

2

则在直角△CDM中，CD=CM-sin600=54,

即圣・索菲亚教堂的高度约为54m.

故答案为：54m.

14.（5分）已知正方体力BCD-&B1C1D1的棱长为3,点E是线段力B上靠近B点的三等分点，尸是4小中点,

则下列命题正确的有①②⑷.

①直线EF与CD所成角的正切值为乎②三棱柱力BC-外接球的半径为平

③平面BiEF截正方体所得截面为等腰梯形④点F到平面&BC1的距离为日

aG

【解题思路】借助等角定理可得直线EF与CD所成角与直线EF与AB所成角相等，计算出tan/FEA可判断①;

由三棱柱外接球与正方体外接球相同，故计算正方体体对角线的一半可判断②；借助平行线的性质可作出

该截面，计算边长可判断③：借助等体积法计算可判断④.

【解答过程】对于①：由4B〃CD,故直线EF与CD所成角与直线EF与28所成角相等，

连接2F,可得4F=小2+©=苧，又AE=2,

4EJ.平面AFu平面ADDiAi，所以4E14F,

故tanNFE4=^=苧，故①正确；

对于②：三棱柱ZBC-AiBiCi外接球与正方体ABCD-4道道山1外接球相同,

故其外接球半径为叵/更=竽，故②正确；

对于③：如图：取4D中点N,连接BN,过E点作EM〃BN,

交2D于点M,贝恒M〃BF，所以平面&EF截正方体所得截面为梯形BiEMF,

由祭=黑0彳=丁="”=1，所以MN=|-1=也

/\DA1V$2ZZ

所以MF=[32+@)2=字，BiE=132+12=VTU,所以MF力当日

所以梯形&EMF不是等腰梯形，故③错误；

对于④：如图：设点F到平面4/Ci的距禺为h,则卜尸一/道。]=聂”13。1人

而S△/叫=乎乂(3际2=竽，

1199

^F-A1BC1=^B-A1FC1=^44也,BB]="X-X3=-,

所以仁皆=字故④正确.

-2~

故答案为：①②④.

aG

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)已知向量3=(一1,0),b=且五与石的夹角为三

(1)求m及|五十2引;

⑵若3+需与五+2石所成的角是锐角，求实数2的取值范围.

【解题思路】(1)由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得小的值，计算出向量3+2办

的坐标，利用平面向量的模长公式可求得忖+24的值；

(2)求出向量3+4办的坐标，分析可知(2+焉)•Q+2万)>0且向量1+看与a+2刃不共线，结合平面向量

的坐标运算可求得实数4的取值范围.

【解答过程】(1)因为向量3=(—1,0),b=(m,l),且五与刃的夹角为三

则c°s：=猛扁=一焉T=?，解得巾=—1,

所以,刃=(-1,1),则五+2石=(一1,0)+2(-1,1)=(-3,2),

故+2b\=J(-3)2+22=V13.

(2)由(1)可得五+—=(-1,0)+2(—1,1)=(一4-1,1),且2+2加=(-3,2),

因为3+2b与五+2b所成的角是锐角，则(2+Ab)-(a+2b)=3A+3+2A>0,解得兀>—|,

且向量五+与与d+2刃不共线,则—32#—22—2,即久力2,

因此，实数2的取值范围是(一|,2)U(2,+8).

16.(15分)已知复数Zi=5+10i,复数Z2在复平面内对应的点为Z(3,-4).

(1)若复数Z2是关于x的方程好+mx+n-1=0的一个根，mnGR,求m+n的值：

(2)若复数z满足!求复数z的共轲复数之

【解题思路】(1)将Z2=3-4i代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可；

(2)根据复数的除法和共轨复数的概念即可得到答案.

【解答过程】(1)由题意得Z2=3—4i,

因为复数Z2是关于％的方程%2+mx+n-1=0的一个根,

所以(3—4i)2+m(3—4i)1=0,

3m+n-8-(4m4-24)i=0,

(3m+n-8=0

I4m+24=0'

解得zn=-6,n=26,所以m+n=20.

z「Z2(5+10i)(3-4i)55+10i_5(ll+2i)(4-3i)_5.

8+6i=2(4+3i)(4-3i)二5-51

Z1+Z2―5+10i+3-4i

_,5.

・•・z=5r+-i.

17.(15分)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.己知4夕=4方£，=2,4。=|,

(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形48CD并求面积；

(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

【解题思路】(1)把直观图还原出原平面图形，由此计算四边形的面积；

(2)将原平面图形48CD绕8c旋转一周，所得几何体是圆柱，挖去一个圆锥，由此求解即可.

作CE14C交2D于点，

因为4。=5,AB=4,BC=4,所以OE=1,EC=4,DC=V17,

所以LBCD=誓汇18.

(2)将原平面图形力BCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个以4B为底面半径的圆柱挖去一个以EC为底面半

径的圆锥，

S圆锥侧=互x4xV17=4V圆柱侧=2nx4x5=40n,S圆柱下底=16it,

所以所形成的几何体的表面积为S=S圆锥侧+S圆柱侧+S圆柱下底=4V17n+4011+16ir=56ir+4V17TC,

V圆柱=ITx42x5=80IT,K圆锥=x42x1=-IT,

所形成的几何体的体积为。=V圆柱一U圆锥=80Tt-yTt=等TT.

18.(17分)在△ABC中，设aB,C所对的边分别为a,b,c,已知叫罗

(1)求角B的值；

(2)若a:6=tanAtanB,判断△4BC的形状；

(3)若△4BC为锐角三角形，且c=2,求△ABC的面积S的取值范围.

【解题思路】(1)将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；(2)将边化角，将正切变成正弦和

余弦再进行化简即可判断；(3)根据条件表示a边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围.

【解答过程】⑴:W泮=缶，

•••由正弦定理得卓=公，

即(a—b)(a+b)=c(a—c),

BPa2—fa2=ac—c2,

即Q2+c2—b2=ac,

由余弦定理得COSB=。2蓝2―/?2_1

2ac2

v0°<B<180°,

：.B=60°；

(2)va\b=lanA-,tanB

sinZsinZcosB

..------—•-----------

,sinBcoSi4sinB1

・••cos/=cosB,

：.A=B,

.•.△ABC为等边三角形.

(3)因为4+C=120"=2,

由正弦定理彳导a=等=2sin(12;O=小。SC*C=乌十］

sinCsinCsinCtanC

所以S=|acsinB—asin60°=亨(广号+1)

因为△ABC为锐角三角形，则30。VCV90°,

从而tanCE

所以se停,2⑹.

19.(17分)如图，在四棱锥£一月BCD中，BC1平面ABE,BC//AD,且4D=2BC=2,F是。E的中点.

D-

E

(1)证明：DA1CF-

(2)若B4=BE=2,直线CF与直线OB所成角的余弦值为乎.

⑴求直线DE与平面4BE所成角；

(ii)求二面角E-DC-B的余弦值.

【解题思路】(1)取4E的中点G,利用线面垂直的性质、异面直线垂直推理即得.

(2)(i)利用线面垂直的判定性质证得BG1DG,再由异面直线夹角余弦求出BG,确定线面角