2024-2025学年北师大版高二数学选择性必修第二册 第一章 数列（知识归纳与题型突破4考点7题型）解析版

第一章数列（A考点梳理卷）

姓名班级考号

01考点归纳

考点一、数列的概念

考点二、等差数列

考点三、等比数列

考点四、数列求和

02知识速记

一、数列的概念

I.数列的有关概念

概念含义

数列按照一定次序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

如果数列的第九项a,与〃之间的关系可以用来表示，其中大〃）

通项公式是关于n的不含其他未知数的关系式，则称上述关系式为这个数列的一

个通项公式

如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系

递推公式

都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系.

数列｛a„｝的

一般地，给定数列｛an｝,称S〃=生土及±二为数列｛四｝的前几项和

前n项和

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列

项与项间的递减数列其中〃CN+

大小关系常数列an+i=an

摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，

有些项小于它的前一项的数列

3.数列与函数的关系

数列｛。〃｝可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应

的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.

二、等差数列

1.等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果数列｛即｝从第1项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数/即u二^三义恒成立,

则称｛%｝为等差数列，其中“称为等差数列的公差.

⑵等差中项

x+v

如果x,A,y是等差数列，那么称/为x与y的等差中项，且有Z=友.

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式：CLn~0+5一l)d.

,,n(n-1)n(a\~\-an\

(2)刖几项和公式：Sn=nax-\------<7或&=-------.

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an=am+(n—m)d(n,m^N+).

(2)若｛为｝为等差数列，且左+/=加+及(左，/,m,〃£N+),贝!j生土勾三&±生.

(3)若｛四｝是等差数列，公差为力则耿，ak+m,利+2机，…(左，加£N+)是公差为md的等差数列.

(4)数列5,S2m—Sm,小冽一S2而…也是等差数列.

(5)S2〃—1—(2〃1)。〃.

(6)等差数列｛四｝的前〃项和为S“，［①］为等差数列.

三、等比数列

1.等比数列有关的概念

1

(1)定义：一般地，如果数列｛。“｝从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同二仝常数q,即——=夕恒

an

成立，则称｛恁｝为等比数列，其中g称为等比数列的公比.

(2)等比中项：如果x,G,y是等比数列，那么称殳为x与y的等比中项，即£=孙.

2.等比数列的通项公式及前”项和公式

(1)若等比数列｛斯｝的首项为。1，公比是q,则其通项公式为斯=为心.

(2)等比数列通项公式的推广：a产

n

.................•,4Zi(l~q)a\~anq

⑶等比数列的刖〃项和公式：当q=l时，Sn=nai；当qWl时，Sn=--------=-------.

1~q1~q

3.等比数列性质

(1)若冽+〃=P+夕，则其中冽，n,p,q£N+.特另U地，若2ZP=冽+〃，则〃必,=",其中冽，n,

w^N+.

(2)ak,ak+mf恁+2加，…仍是等比数列，公比为型的加£N+).

(3)若数列｛%｝,｛儿｝是两个项数相同的等比数列，则数列｛诙也｝,⑦即“儿｝和伫］也是等比数列(6,0,

\qbnJ

户0).

(4)等比数列｛四｝的前〃项和为S”则S”5?“一后,m组仍成等比数列，其公比为/.(〃为偶数且4=—1

除外)

(5)若或〔葭1,则等比数列&｝递埴

若归匕或1=1°'则等比数列小｝递遨

四、数列的求和

数列求和的几种常用方法

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.

(1)等差数列的前"项和公式：

z7(ai+tz)n(n~\)

S„=-------n-=iH--------d.

22

(2)等比数列的前〃项和公式：

,。1，q—1,

S„=\ai-a„qa\(\~qn).

-;=~j,qw1

l1~q1~q

2.分组求和法与并项求和法

(1)分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后

相加减.

(2)并项求和法

一个数列的前"项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如。“=(—1)叭")类型，可采用两项合并

求解.

3.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即

可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

常见的裂项技巧

111

(1)----------=-------:-.

巩〃+1)nn-v\

(2)~--).

n(n+2)2\nn+2/

1JI1]

()(2〃-1)(2〃+1)2\2«—12H+1/

1

(4)-^~

iiriii

(5)------------------=---------------------------------

n(n~\~l)(«+2)2%(〃+1)(w+1)(«+2).

03题型归纳

题型一数列的概念

例题：1-1.已知数列｛对｝的前几项为：-1,4,-7,10,--,则该数列的一个通项公式可能为（）

A.=（-1）"1（3〃-2）B.=（-1）"（3〃-2）

C.。“=（一1尸（3〃+1）D.«„=（-l）"（3n+l）

【答案】B

【分析】根据题意，分析数列前4项的规律，用"表示即可得答案.

【详解】根据题意，数列｛%｝的前几项为：-13,-7,10...,

即（-以（3x1-2）,（-I）?（3x2-2）,（-1）3（3x3-2）,（-1）4（3x4-2）,

故数列的一个通项公式可以为%=（-1）"（3〃-2）.

故选：B.

1-2.已知数列｛%,｝满足%=3,且%+W,=a“T,则。2021的值为（）

2i1

A.3B.-C.-D.—

322

【答案】B

【分析】根据题意，依次求出出、的、…，观察规律，进而求出数列的周期，然后通过周期性求得答案.

【详解】由则。用=今，=1-｝，

%Un

1131

,,1[12。3=1-----=1——=1=

故%=11——=1--=T,3〃222,

a,332—

13

&=1---=1---r=l+2=3_11_2

a.1，a5-1---…，

3&33

2

故数列｛%｝以3为周期，即a202l=々3x673+2=。2=§.

故选：B.

巩固训练

1-1.若数列｛与｝的前四项依次为2,12,112,H12,则｛6｝的一个通项公式为()

A.«„=10,,-1+2B.%-1)(45〃-80)+2

【答案】D

【分析】通过观察前几项的规律即可求解.

【详解】对于D,由2=10-8,12=100-88,112=1000-888,1112=10000-8888,

可得｛乙｝的一个通项公式为。=D正确；

对于A,当〃=1时，%=1。1+2=3,不合题意；

对于B,当〃=4时，。4=(4一9(45x4—80)+2=302,不合题意；

对于c,当”=1时，=不合题意；

199

故选：D.

2

1-2.在数列｛%｝中，若%=3,。用=2-一，则下列数不是｛%｝中的项的是()

an

14

A.-1B.-C.-D.-2

23

【答案】A

【分析】由数列的递推关系及q=3求数列的前几项，确定数列的周期，由此判断结论.

2

【详解】因为%=3,。〃+1=2,

%

41

所以%=§，“3=5，%=—2,%=3,…，

故｛〃〃｝是以4为周期的周期数列，-1不是数列中的项，

故选：A.

1-3.设数列｛%｝满足4+3%+…+（2〃T）%=〃，则4=（）

111

A.7B.—C.-D.一

578

【答案】c

【分析】当”=1时求出q,当〃22时作差得到%=工，即可得解.

2n-l

【详解】因为％+3%+,一+（2〃一1）%=〃，

当〃=1时，％=1；

当〃22时，4+3〃2-----H（2〃—3）%_]=n-1,

所以（2〃-1）%=1,则4=J,经检验当〃=1时％=二工■也成立，

所以％=丁=，则的=亍

2/7-12x4-17

故选：C

题型二数列的函数特征

例题：2-1.已知数列｛%｝的通项公式是〃二’"47（〃eN*）,若数列｛4｝是递增数列，则实数

[a,”>7

。的取值范围是（）

C.（2,3）D.[2,3）

【答案】C

【分析】根据单调性的定义即可列不等式求解.

（-3—〃>0

（3—〃）〃一3,<7

【详解】q,=匚6rH为单调递增的数列，故，

1°，〃>77/2\2,8-6

7（3—a）—3<a

解得2<av3,

故选：C

2-2.已知数列｛%｝满足卬=；,%+1=1一~则。2024=（）

A.-1B.2C.3D.1

【答案】A

【分析】先求出数列｛%｝的周期为3,可得出必=%=T.

11I

【详解】因为q=不，。〃+1=1—

2%

所以电=1」=1-2=-1,a3=1—1-=1-(-1)=2,

Q]

11

&=1々j]

所以数列｛%｝的周期为3,所以。2024=^3x674+2==一1•

故选：A.

巩固训练

2-1.已知数列｛%,｝的通项公式为等二，贝弘。“｝中的项最大为（）

2n-/

A.-B.0C.-ID.2

5

【答案】D

【分析】根据数列的单调性求解.

YI—2I3(,%=0,%=-1〃4=2.

【详解】=—I-------

24〃-14

3

当〃"时，函数”同单调递减，

则当“24时，数列｛6｝单调递减,

所以｛4｝中的项最大为g=2.

故选：D.

2-2.已知数列｛%｝满足%=sin[g^+]J,其前解项和为S"，贝!|邑025=()

A.一心B.--C.1D.立

2222

【答案】C

【分析】根据｛。“｝的周期性，分组求和即可.

【详解】依题意，数列｛。“｝是周期为4的周期数列，将其每4项为一组，先求每组之和，再求总和即可,

因为％=—,a=-,a=一■-,a=,所以见=0,

12223242

又2025=506x4+l,所以S2025=q+%+…+。2025=%二;.

故选：C

2-3.已知数列｛与｝是递增数列，且对于任意〃eN*,%=/+24〃+l,则实数X的取值范围是()

_33

A.A>—1B.A<—1C.>——D.4<—

22

【答案】C

【分析】利用二次函数的单调性，结合〃EN*可得.

【详解】因为。“=(〃+刈2+1-储，且数列｛七｝是递增数列，

33

所以一X〈彳,gp2>--.

故选：C

题型三等差数列的概念及其通项公式

,、111

例题：3-1.已知数列｛%｝中，。[=1,若-------=不，贝!]旬)=()

an+\anL

12_11_

A.—B.—C.—D.19

19112

【答案】B

【分析】由等差数列的通项公式求解.

[W1=1,二数列｛▲｝是等差数列，公差为:，

a2a2

%+1nn

又上=1，—=l+(10-l)x1=y,4,

%a102211

故选：B.

3-2.已知等差数列｛%｝中，a2+a4+a9=24,则log2(%+%)=()

A.8B.4C.16D.-4

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质求解.

【详解】解：由等差数列的性质知的+&+%=3%=24,

所以%=8,

所以。3+%=2%=16,

所以log?3+%）=log216=4,

故选：B

巩固训练

3-1.在等差数列｛%｝中，/+。39=10，贝1。20=（）

A.20B.10C.V10D.5

【答案】D

【分析】应用等差中项的性质有q+%9=2%），结合已知即可求的o.

【详解】根据题意，得为+%9=2%）=10，则。20=5.

故选：D

3-2.在等差数列｛%｝中，a6+a7+«8=21,则%+%的值为（）

A.7B.14C.21D.28

【答案】B

【分析】由等差中项的性质计算即可；

【详解】因为在等差数列｛0“｝中，&+%+。8=21,

所以。6+%+/=3a7=21n%=7,

所以氏+%=2%=14,

故选：B.

3-3.在等差数列｛4｝中，若。3+。5+。7+%+。11=10°，则4+%3的值为（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】D

【分析】由等差数列下标和的性质求得。7=20,进而可得目标式的值.

【详解】由已知，2+。5+。7+。9+。11=5%=10°，贝1」%=20,

所以为+=2%=40.

故选：D

题型四等差数列的前n项和

例题：4-1.已知等差数列｛七｝,其前〃项和为S,,若出+。5+。8=3,贝！JSg=（）

A.3B.6C.9D.27

【答案】C

【分析】利用等差数列性质，结合前"项和公式计算即得.

【详解】在等差数列｛%｝中，3%=&+%+6=3,解得%=1，

所以$9=9"%）=狈=9.

故选：C.

4-2.己知等差数列｛七｝的前"项和为"，若岳2>岳。>$”，则使得S“<0成立的正整数〃的最大值为（）

A.20B.21C.22D.23

【答案】B

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d，由条件推得加<0，%2>0，则得">0,推出数列｛%｝为递增数列,

推出$2]<0㈤2>。即可求得.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,由SnASi。>心可得：[<0,则％2>0，d>0,

故数列｛%｝为递增数列，又S2i=21（%+&L）=21%i<0,$22=22（“；％）=11（%+如）>0,

故使得5,<0成立的正整数〃的最大值为21.

故选：B.

巩固训练

4-1.设S“为等差数列｛。"｝的前”项和，若%0+%2+3%=4-%1,则3s19=（）

A.10B.15C.21D.38

【答案】D

2

【分析】先由题中条件，结合等差数列下标之和的性质求出为）=§,再根据等差数列的求和公式，即可求出

结果.

[详角军]因为“10+q2+3。9=4—%1,所以10+。12+。9+。11+2a9=4,

2

贝1]%0+%2+（%+/1）+%+q0=4,即为0+（。12+°8）+（%+41）+%0=4,所以6%0=4,贝！j%0=§,

3xl9+a

因止匕3s19

=（Qli9）=3xl9xfl[0=38

故选：D

4-2.已知等差数列｛%｝的公差dwO,前〃项和为S,”q=d,则邑=（）

a3

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】将义吗都用6,"表示即可求解.

【详解】因为等差数列｛为｝的公差d*0,前〃项和为S”,《=d,

八6x54

所以$6.%+工6d+l5d21d7,

a3q+2dd+Id3d

故选：B.

）|\+2=%）

（一2（〃为奇数）（

4-3.已知数列%=2,a2=0,且〉不佃胡，则数列的前2023项之和为（）

。“+2=%+2（〃为偶数）

A.0B.2C.2024D.4048

【答案】B

【分析】分析可知，数列｛对｝的奇数项构成首项为2,公差为-2的等差数列；数列｛%｝的偶数项构成首项

为0,公差为2的等差数列.利用等差数列的求和公式可求得数列｛%｝的前2023项之和.

【详解】当“为奇数时，an+2=an-2,。“+2-%=-2,

所以数列｛%｝的奇数项构成首项为2,公差为-2的等差数列；

当"为偶数时，%+2=。,+2,an+2-an=2,

所以数列｛4｝的偶数项构成首项为0,公差为2的等差数列.

所以，数列｛七｝的前2023项和为：

C1012x1011（人］「，〜，八1011x1010clc

1012x2+--------------x（-2）+1011x0+---------------x2=2

_2JL2_

故选：B.

题型五等比数列的概念及其通项公式

例题：5-1.已知等比数列｛%｝满足电=-2,&=-6,则%的值为（）

A.-4B.273C.-2百D.±273

【答案】C

【分析】设等比数列的公比为q,由条件结合等比数列通项公式求g2,由此可求结论，

【详解】数列｛。“｝为等比数列，设数列的公比为夕，

因为?=-2,a6=-6,

5

所以q.=-2,a1q=-6,

所以/=3,即q2=g,

故Q=aiQ2=—2^3.

故选：C.

一。8+”13二

5-2.已知数列｛。“｝是等差数列，&+%=4,数列也｝是等比数列，旦b也bl=27,则

6b4b8-1

A.：B.—C.；D.—

4328

【答案】A

【分析】利用等差等比数列的下标和性质即可求解.

【详解】因为数列｛4｝是等差数列，&+阳=4,贝U2a8=4,即%=2,

所以生一1+。13=+%3一。8=2%一=2,

因为数列也｝是等比数列，岫四=27,则&=27,即d=3,

所以贴8-1=封-1=9-1=8,

。3—“8+。1321

则她t=w=r

故选：A.

巩固训练

5-1.等比数列｛%｝的各项均为正数，且a3a8=3,贝ljlogsq+logs/+…+bg?%o=（）

A.5B.10C.4D.2+log35

【答案】A

【分析】由等比数列的性质结合对数的运算求解即可；

【详解】由题有a2aLa3ag=a4a7=a5a6==3,贝ij

5

log3al+log3a2H--Flog3a10=log3^a2a9a3aiaAa1a5a（）axaxo^=log33=5.

故选：A.

5-2.已知数列｛4｝为等比数列，其中%%。为方程/+4x+3=0的两根，则/=（）

A.yB.-V3C.V3D.|

【答案】B

【分析】利用韦达定理判断%吗。的正负，进而判断小的正负，结合等比数列下标和性质，即可求得外

【详解】根据题意可得：%，%0=3,&+%0=-4,故可得&＜。,可0＜。；

根据等比数列下标和性质，&•%。=d=3，解得％=±6,

设｛。,｝的公比为则。8=。6«2＜0,故4=-6.

故选：B.

5-3.在等比数列｛%｝中，若a5a7aMi=81,则（）

A.6B.9C.±6D.±9

【答案】B

【分析】利用等比数列的性质可求得结果.

【详解】在等比数列｛%｝中，若a5a7。9%1=81,则=（。吗5）2=81,

由等比数列的性质可得%%5=d>°，故％%5=9.

故选：B.

题型六等比数列的前n项和

例题：6-1.已知在等比数列｛%｝中，%=2,&=8,则曾

)

d2

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据给定的条件，利用等比数列通项求出才及称.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为q,由4=2,&=8,得八詈=4,因止匕如=2,

所以\"^+1="^+1/+1=3.

S2S2a2+%

故选：B

6-2.若数列｛%｝的前％项和为S“，且。用+%=2",则$8=()

A.84B.86C.170D.172

【答案】C

【分析】利用并项求和法可求得§8的值.

【详解】因为数列｛%｝的前"项和为E,,且。用+%=2",

则=(4+4)+(%+4)+(“5+白6)+(“7+%)=2+2^+2，+2，=170.

故选：C.

巩固训练

6-1.若等比数列｛%｝的前"项和为S"，且出的=2%,:为为与2%的等差中项，则$4=()

A.29B.33C.31D.30

【答案】D

【分析】利用等差中项的性质以及等比数列前"公式即可计算出凡

【详解】设等比数列的等比为4,

由a2a3=2a1=axa4=>%=2,为为与2a7的等差中项得&+2%=/%，

a-,112

所以一=q3=~=>^=~>%=q闻=2=%=16,

。432

M1Z£),O

故S4=-J3U•

"q

故选：D.

6-2.在正数等比数列｛%｝中，若%=:,%=：,则该数列的前10项和品=（）.

28

clclclcl

A-2-唳B.2--c.2--D.2--

【答案】B

【分析】根据已知求出首项和公比，即可利用求和公式求出.

【详解】设等比数列的公比为4,

2112n1

*/a4=a2q,—x,•：q>0,.

2

故选：B.

6-3.已知数列｛叫，也｝满足。也=2e=4/+8"+3,则数列｛%｝的前30项和$3。=（）

A1920

-11B.—C.—D.

596163

【答案】D

【分析】根据裂项相消法求和即可求解.

2211

【详解】把“=4〃2+8〃+3代入。/〃=2整理得：册=

4/+8〃+3(2〃+1)(2〃+3)2〃+12〃+3

1111111120

故邑。=a+a-\-----F=++•••+

{23557616336363

故选：D

题型七数列的综合应用

例题：7-1.已知数列｛。"｝满足％=2,%=4,2a“+]=a“+%+2（〃eN*）,数列也,｝是各项均为正数的等比数

列，4=2,且4+&=8（4+&）.

⑴求数列｛与｝和也｝的通项公式：

（2）设c”=条，求数列｛g｝的前"项和.

【详解】（1）2a„+1=an+an+2eN*）=an+2-an+l=-a,eN*）,

又％=2,%=4,故。2-。1=4—2=2,

故｛七｝为等差数列，首项为2,公差为2,

所以%=2+2(〃-1)=2":

设也｝的公比为4,则p+4=“七+&/=(“+&)q3,

又&+4=8(“+&)，故/=8,解得q=2,

又a=2,所以6“=22一=2"；

设数列｛%｝的前"项和为北，

12n

贝1」北=。+。2+…+c“=^?+>+…+①，

1Tl2n与

a[=了+尹+…+尹②，

1___1

则①-②得I=U+/+…+2]

JJ」1--

4

7-2.已知数列｛%｝是递增的等比数列，满足%+%=9,%%=8.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

1

(2)若仇=log?。,，求数列，s的前"项和S".

1仅“+1)(%+1”

【详解】(1)由。2a3=8可得%&=8,又％+为=9,

故外,。4是方程/-9x+8=o的两个实数根，且％<%

故。1=1,%=8,进而4=2,

故。,=2「

(2)由题意得”=10g2%=10g22i=〃—l,

L1_1_1__1_

故("+1)("+1+1)«(«+1)«n+1

因此邑十£|+[一扑…+n