2024-2025学年辽宁省高二数学下学期5月期中联考检测试题（含答案）

2024-2025学年辽宁省高二数学下学期5月期中联考检测试题

（含答案）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.等差数列｛%｝的前〃项和为若q=1,%=3,则$4=（）

A.12B.10C.8D.6

2.相关变量x,y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析.方案一：根据图中所有数据，

得到回归直线方程丁二41+〃1,相关系数为r方案二：剔除点0°‘32）,根据剩下的数据得到回归直线

方程歹二02*+出，相关系数为马.则（）

40

31

30*32

25

2027

19129

10

（51015

0<q<弓<10<々<q<1

A.B.

-\<r<r<G—\<r<r<Q

C.x2D.2x

3.下列求导运算中错误的是（）

Inx1-lnx

xx2

A.(3y=3In3B.xx

I=1+-

CaD.(sinx-cos%)'=cos2x

4.下列说法正确的是（）

A.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17

B.根据分类变量X与丫的成对样本数据，计算得到%,=4.712,根据小概率值。=0.05的独立性检验

（%。5=3.841）,可判断x与y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05

C.“事件Z,夕互斥”是“事件8对立”的充分不必要条件

D.若随机变量“〃满足〃=3舁2,则。⑺=3。0-2

5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，

叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?

现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列

2S〃+60

记数列｛""｝的前"项和为S〃，则n的最小值为O

A60B.61C.75D.76

6.若点尸是曲线Mx+i上任意一点，则点尸到直线2的最小距离为()

V2372

A.1B.2C.2血D.2

7.下列说法错误的是()

A.若随机变量“〜"(2,以则0—2)-5

B.若随机变量y服从两点分布，且则0(2丫)=1

P(Z=z)=^,z=-l,0,l,2

C.若随机变量Z的分布列为a，则a=10

D.若随机变量，g］则T的分布列中最大的只有尸(7=3)

8.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,.…即从

第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波

那契数列｛""｝说法正确的是()

A.%=233B.“2024是偶数

Q°2024—%+电+°3-I+。2022D^2020+。2024—3a2022

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，

全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数列｛4｝的前〃项和是邑，则下列说法正确的是()

A.若S"="T,则也"｝是等差数列

B.若％=2,%+i=2%+3,则,,+3｝是等比数列

C.若｝是等差数列，则S"，$2"-S",星,-S2tt成等差数列

D.若｛""｝是等比数列，则S",S2n-Sn,$3“一$2"成等比数列，

10.一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个

二等品和3个三等品.先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以4,4和4表示由甲盒取出的产

品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B表示由乙盒取出的产品是一等品

的事件.则下列结论中正确的是。

P(B)4尸(8|4)=A

A.55；B.11；

c.事件3与事件4相互独立；D.4,4,4是两两互斥的事件.

11.设等比数列｛""｝的公比为4,其前〃项和为前〃项积为1,且满足条件%>1,02024a2023>1,

(4。24-1)“2023-1)<0,则下列选项正确的是()

A0<^<1B,2023>§2024—

C.%。24是数列｛月｝中的最大项D.4。45<1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知等比数列｛""｝中，/=2,%=18,则%=.

13.设函数>=/"(")是，=/'(")的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数

/(x)=ax3+bx2+cx+d(a^0)的图像都有对称中心(不，/(%)),其中％满足f"(/)=°.已知三次函

数/(x)=X+2x-1,若再+》2=0,则/(石)+/(“2)=

14.已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放

回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为(用数字作

答).

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记》为等差数列｛%｝的前〃项和，已知%=$3=15.

(1)求｛%｝的通项公式；

2=幺

(2)记“S",求数列也｝的前„项和1.

16.已知函数/Ox-苏+Ja,beR)的图象过点㈠)，且/'0)=1.

(1)求。，6的值;

(2)求曲线尸=/(")过点(°'T)的切线方程.

17.某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金.为

了解研发资金的投入额x(单位：千万元)对年收入的附加额y(单位：千万元)的影响，对2017年至

2023年研发资金的投入额玉和年收入的附加额N进行研究，得到相关数据如下：

年份2017201820192020202120222023

投入额七103040608090110

年收入的附加额上3.204.004.806.007.307.309.25

(1)求》关于x的线性回归方程；

(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于°」，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3

个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望.

777

W>/=2976X%=422片=32800

参考数据：/=1，/=1，I.

附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

/=上―-----;——二号---------

即以白-〃？」丁院

18.某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了

200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组:

[,),[,),[,,],统计结果如图所示:

其

(1)由直方图可认为/市市民对5G网络满意度得分z(单位：分)近似地服从正态分布

中〃近似为样本平均数了,。近似为样本的标准差s,并已求得5=14.31.若/市恰有2万名5G手机用

户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间15&19,99.12］的人数（每组数据以区间的中点值为代

表）；

（2）该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10轮抽奖活动，每一轮抽

奖相互独立，中奖率均为万.每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖,

则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动.

①求小王获得900元话费的概率；

②求小王所获话费总额X的数学期望（结果精确到0.01）.

参考数据：若随机变量Z服从正态分布"3"）,即z〜N（〃b）,则尸（〃-+b>0.6827

尸(〃-2。<z<//+2cr)«0.9545

19.设数列｛""｝的前”项和为5,2S“+%=3,"eN*,数列也｝满足：对于任意的〃eN*,都有

n-\

a也+a2b“一+地-2+…+*=+3〃—3

I成立.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）求数列也｝的通项公式;

（3）设数列问：数列«"｝中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项;

若不存在，请说明理由.

数学试题答案

考试时间：120分钟满分：150分

、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.等差数列｛%｝的前〃项和为S”,若%%=3,则$4=（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，求得"=1,结合等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】设等差数列包1｝的公差为“，

—1

<

因为%=1,"3=3,可得[q+2d=3,解得…=1,

4x3

S4=H----------xd=10

所以2

故选：B.

2.相关变量x,>的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析.方案一：根据图中所有数据，

得到回归直线方程丁=41+%,相关系数为何方案二：剔除点0°'32）,根据剩下的数据得到回归直线

方程^二打工+出，相关系数为则（）

40

31

30*32

25

2027

19I?9

10

051015

八0<7[<々<1B。（弓<4<1

-\<r｛<r2<Q口-1<々"<0

【答案】D

【解析】

【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1,说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作

判断即可.

【详解】由散点图可知这两个变量为负相关，所以

因为剔除点0°'32)后，剩下点的数据更具有线性相关性，归1更接近1,

所以T<，2<6<0.

故选：D.

3.下列求导运算中错误的是()

(InxA_1-Inx

2

A.(3)=31113B>IVjx

(x+lna)=1H—/.、,

CaD(sinx，cosx)=cos2x

【答案】c

【解析】

【分析】依据求导公式及导数的运算法则一一判断即可得解.

【详解】A选项：(3、)'=3'ln3,故A正确；

pnxY_(lnx)f-x-x^lnx_1-lnx

B选项：IxJf,故B正确；

C选项：G+lna)=1,故c错误；

D选项(sinx-cosx)'=(sinx)•sinx=cos2x-sin2x=cos2x故口正确

故选：C

4.下列说法正确的是()

A.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17

B.根据分类变量X与y的成对样本数据，计算得到#2=4.712,根据小概率值1=0.05的独立性检验

(/a=3.841),可判断x与y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05

C."事件/,8互斥”是“事件/,8对立”的充分不必要条件

D,若随机变量"满足"=3。-2,则°(〃)=3。6)-2

【答案】B

【解析】

【分析】A选项，根据百分位数的定义进行计算；B选项，4,712>3,841,推出结论；c选项，由于事件

A,8对立是事件8互斥的特殊情况，故“事件42互斥”是“事件48对立”的必要不充分条件；D选

项/⑺=9世）,D错误.

【详解】A选项，1°X80%=8,故从小到大选取第8个和第9个数的平均数作为第80百分位数，即

17+20_37

22,A错误；

B选项，力2=4.712〉3.841,故可判断X与y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05,B正确；

C选项，事件/,2互斥不能推出事件/,8对立，但事件/,3对立，则一定有事件4B互斥,

故“事件/,8互斥”是“事件48对立”的必要不充分条件，C错误；

D选项，若随机变量之〃满足〃=34-2,则。⑺=9。©,口错误.

故选:B

5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，

叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列

25“+60

｛%｝,记数列｛""｝的前”项和为S•，则n的最小值为（）

A.60B.61C.75D.76

【答案】B

【解析】

【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数“得S",

2s“+60

再由基本不等式求得n的最小值.

【详解】被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8,公差为

15的等差数列｛""上

on(n-l),,1521

=8n-\-------xl5=—n~+—n

所以222

2s“+60

n

15〃=竺

当且仅当n,即〃=2时取等号,

25+60

...当"=2时n取最小值为61.

故选：B.

6,若点P是曲线>=必—Mx+1上任意一点，则点尸到直线V=x-2的最小距离为（）

V2372

A.1B.2C.26D.2

【答案】D

【解析】

【分析】求出平行于N=x-2的直线与曲线歹lnx+1相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公

式可得结论.

【详解】设尸（X。/。），函数歹=/—lnx+1的定义域为（0,+s）,求导得，“X,

,2Xg-----=1

当曲线卜二厂一11K+i在点尸处的切线平行于直线歹=%-2时，％,

则（%-1）（2/+1）=0,而（>0,解得X。=1,于是为=〃Tnl+l=2,

平行于了=%-2的直线与曲线歹=V-欣+1相切的切点坐标为0，2）,

|1-2-2|3V2

a=------j=----=------

所以点尸到直线y=x—2的最小距离即点（1,2）到直线y=x-2的距离V22.

故选：D

7.下列说法错误的是（）

A.若随机变量X〜”,吸则P（X22）一万

B若随机变量y服从两点分布，且2,则0（2丫）=1

p（Z=z）=^,z=-l,0,l,2

C.若随机变量Z的分布列为a，则。=10

D.若随机变量，则T的分布列中最大的只有0任=3）

【答案】D

【解析】

P（^>2）=-

【分析】A选项，根据正态分布的对称性得到2,A正确；B选项，根据Y服从两点分布，

£（r）=-

且2得到分布列，求出"的分布列，求出期望值和方差；C选项，根据概率之和为1列出方程,

P（T=k）>P（T=k+l）

<

求出。=1°；D选项，根据0—1）解出答案.

X〜N（2b2、P[X>2）=^-

【详解】A选项，I'4由正态分布的对称性可知2,A正确；

£（y）=-

B选项，若随机变量丫服从两点分布，且2,

即分布列为:

Y01

11

P22

所以

2Y02

11

P22

1111

£（2Y）=0x—+2x—=10（2丫）=（0-1）x9—+（2-1）x9—=1

故22,贝u22,B正确;

士+3+9+工1

C选项，分布列中概率之和为1,即aaaa,解得a=l°,c正确;

（\P（T=k}>P（T=k+\）

D选项，随机变量…凶，令M（T=g（T*l）,

k>2

,解得"W3

因为无eN,所以后=2或3,

则T的分布列中最大的有尸（,=2）或尸（T=3）,口错误.

故选：D

8.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,.…即从

第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波

那契数列｛""｝说法正确的是()

A.%4=233B.“2024是偶数

^^2024I।^^3+•••|^^2022D“2020+°2024=3a2022

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得""+2=%+】+"",结合该递推关系对选项逐项计算判断即可得.

【详解】由已知得数列｛""｝满足递推关系""+2=%"】+,%=02=1,

%4=。13+。12=2。12+。11=3〃ii+2a=5a+3a=8a+5a=+8%

对选项A:1010998

=13x21+8x13=377,故A错误；

对选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环,

2024

=674x3+2,不能被3整除，且出为奇数，

所以4。24也为奇数，故B错误；

对选项C：若选项C正确，又々2024—。2023+。2022,贝|〃2023=%+〃2021,

同理。2022=%+&+。3>卜。2020，&021=+出+%+卜〃2019,依次类推，

可得的=%+外,显然错误，故C错误；

对选项D:口2024=。2023+口2022=2a2022+02021,

所以°2020+°2024=°2020+2a2022+°2021=2a2022+(°2020+°2021)=3a2022,故口正确

故选：D.

【点睛】关键点点睛：斐波那契数列问题的解决关键是熟练掌握其递推公式为"?=%"+%,

%=%=L从而得解.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,

全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9,已知数列｛%｝的前〃项和是邑，则下列说法正确的是()

A.若邑=*T,则｛%｝是等差数列

B,若%=2,%+]=1an+3,贝°｛%+3｝是等比数列

S

C.若｛"〃｝是等差数列，则凡，2n-S",S3”~S2n成等差数列

S

D.若｛""｝是等比数列，则，2n-S",S3”-S2n成等比数列，

【答案】BC

【解析】

【分析】由%与S〃的关系，即可得到数列｛%｝的通项公式，即可判断A,由等比数列的定义即可判断

B,由等差数列与等比数列前九项和的性质即可判断CD.

【详解】对于A,若S"="T,当〃=1时，%=d=l-1=0,

a=S-S„.=p-I)2-11=2«-1

当“22时，〃nn-xV/Lv)J,

Jo,72=1

且％=°不满足上式，则”12/7-则｛%｝不是等差数列，故错误；

4+1+3

对于B,由条件变形可得""+1+3=2(%+3),所以an+3,

且％+3=5,所以数列｛%+3｝是首项为5,公比为2的等比数列，故正确；

对于C,设等差数列｛""｝的首项为4,公差为"，则S“=4+%+…

S2n—S=%+i+%+2+，，，+a2n=%+nd+g+nd+,••++nd=〃2d

同理S3"_S2n—a2n+\+〃2〃+2=%+1+"〃+22n+〃d=S?”一S〃+〃d,

所以2阈-S“)=S,+(S3,-S2J所以SW"-$2“成等差数列，故正确；

对于D,设％=(T),则星=°,S4-S2=0,S6-S4=01所以此数列不是等比数列，故错误;

故选：BC

10.一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个

二等品和3个三等品.先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以4,4和4表示由甲盒取出的产

品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B表示由乙盒取出的产品是一等品

的事件.则下列结论中正确的是。

B0(".

A.PM.*-**，

c.事件3与事件4相互独立；D.4,a,4是两两互斥的事件.

【答案】ABD

【解析】

【分析】有条件概率的定义可得B正确；利用全概率公式进行计算，可得A正确；有相互独立事件的判定

方法可得C错误；有互斥事件的定义易得D正确.

【详解】因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，

尸(4)=3二,尸(4)=』,尸(4)=3

则i"105iiov3710,

乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品，

尸(04)=^^=9,尸(04)=尸(5|4)=^—=»

则尸(3)=尸(4).尸(3|4)+尸(4)•尸(刃4)+尸(4)•尸34)

2635c27

—_x___।___x__x2=__

511101155,故A,B正确；

因为尸(4火尸⑷.尸⑷4)=沁=||.

p(4)=|P⑻=?

又5,55,

则尸(48)“尸(4)‘尸(')，则两事件不相互独立，

故C错误；

根据互斥事件的定义可知，4,4,4是两两互斥的事件，

故D正确，

故选：ABD.

11.设等比数列｛""｝的公比为4,其前〃项和为5,前〃项积为1，且满足条件%〉1,02024a2023>1,

(a2024T)(。2023-1)<°,则下列选项正确的是()

A0<乡<1B,2023>S2024—1

C.丁2024是数列区)中的最大项D.1。45<1

【答案】AB

【解析】

【分析】根据给定条件，探讨等比数列｛%｝的性质，再逐个选项分析判断即可.

【详解】由(“2024—1)(02023—1)(。，。2023一】〉°，。2024一］<°或°2023一】<°，。2024一1〉°,

而％〉1,。2024a2023>1,%023,。2024同号，则“2023〉］，。2024<1,即数列前2023项大于］,从第

2024项开始小于1,

0=维£<1

对于A,%。23,又q>°,则A正确；

对于B,由“2024<1,得$2024-1^2023=。2024<1,则,^2023>,2024-1,B正确；

对于C,显然｛""｝是递减正项数列，且％023〉1,。2024<1,因此5023是数列｛,｝中的最大项，C错误；

T__40451+2+…+4044_40454045x2022_/\4045i

对于D,/4045—…〃4045—"1.q~'q~\^20237〉工，D错误

故选：AB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知等比数列｛""｝中，/=2,%=18,贝产=.

【答案】6

【解析】

【分析】由等比中项的性质和等比数列的性质计算即可.

【详解】由等比中项的性质可得=03a7=>公=36=>%=±6,

设等比数列的公比为夕，

因为d=生4->。，

所以生=6,

故答案为：6.

13.设函数卜=/"(")是>=/'(")的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数

/(x)=ax3+bx2+cx+d(a^0)的图像都有对称中心(%，/(%)),其中％满足f"(/)=°.已知三次函

数/(x)=K+2x_],若西+工2=0,则/(石)+/(》2)=

【答案】-2

【解析】

【分析】根据题意求解f"(/)=°可得对称中心(/'/(/)),再根据对称中心的性质求解即可.

,2

r、垩缸、4tma/(x)=3x+2f"(x｝-6x人/'"(x)=6x=。^4Y-o„f(0)=-1

【详解】由11题意，J'),J')，令J')解73得1ax—U,又八)，故

f(x)=x3+2xT的对称中心为(O，T),故当X]+》2=o时,f(X1)+/(x2)=2x(-1)=-2

故答案为：-2

14.已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放

回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为(用数字作

答).

3

【答案】5

【解析】

41

【详解】由题意可知，2次检测结束的概率为A'10,

小_/+-_3

3次检测结束的概率为10,

,,133

夕=1一夕2一23=1--------=一

则恰好检测四次停止的概率为-10105.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记S”为等差数列｛""｝的前„项和，己知%=S3=15.

(1)求｛%｝的通项公式；

b=旦

(2)记“S",求数列3"｝的前〃项和北.

【答案】⑴%=2〃+1

96〃+9

⑺"=丁2(〃+1)(〃+2)

【解析】

【分析】（1）根据等差数列性质列方程组即可求解;

（2）求出出,求出求出或，求出门.

【小问1详解】

。7=15

<

设数列也｝的公差为d,由〔%+回+%=15,

%+6d=154=3

得1%+d=5,解得jd=2,

.4=2〃+1.

【小问2详解】

〃(3+2"+1)

S,=n2+2n

由⑴知，4=2〃+1,2

b一二3二jl1]

"Sn〃(〃+2)n+2j

111

Tn=4+，.,+”----1--------

〃+1n〃+2

_3f3__1____1]_96〃+9

-51万一7+2厂12（7+1）（7+2）

16.已知函数/Ox-苏+Ja,6eR）的图象过点Q，4）,且/'0）=1.

（1）求。，6的值；

（2）求曲线>=/（"）过点（°,T）的切线方程.

【答案】（1）。=1,6=0.

（2）x-y-l=O

【解析】

【分析】⑴根据题意"2）=4可得6=4。-4,由/'。）=3--2"，可得广（l）=3-2a=l,联立

即可得解；

（2）由/⑺=V——可设曲线片/⑺上的切点为M加一一）利用导数的几何意义可得切线斜率

为/㈣=3加2-2加,利用点斜式可得切线方程……2=.-2项…）,带入点（0，-1）,即

可得解.

【小问1详解】

因为函数"“）=/-加+6的图象过点（2,4）,所以b=4a-4①.

f'（x）=3x2-laxr（l）=l1（l）=3xl2—2a=3—2a=l⑸

由①②解得a=1,6=0.

【小问2详解】

由⑴知/（"）=/",

设所求切线在曲线＞=""）上的切点为（"加一川）则/,（加）=3--2加，

所以切线方程为了一疝+/。/一2"）（x-加），

又切线过点（°'一1）,所以2〃/_/_i=o,

可得2m3—2—加2+1=0,

2（掰3—1）_（加2—1）=0,

（m~1）（2加?+加+1）=o,解得加=1,

所以切点为切线方程为X7T=°.

故曲线片/⑺过点（°,T）的切线方程为％-7T=0.

17.某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金.为

了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至

2023年研发资金的投入额%和年收入的附加额N进行研究，得到相关数据如下：

年份2017201820192020202120222023

投入额七103040608090110

年收入的附加额N3.204.004.806.007.307.309.25

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于°』，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3

个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望.

777

=2976»＞，=42£x；=32800

参考数据：,=1，i=1，i=1

附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

n__〃_

工苍％—〃町

b=...——=...—

t^-nx^=-4-

【答案】（1）y=0-06x+2.4

9

7

（2）分布列见解析,

【解析】

【分析】（1）根据最小二乘法即可求解，

（2）根据超级几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解.

【小问1详解】

-1

X=—X(10+30+40+60+80+90+110)=60

依题意，7

-1

V=—X(3.2+4+4.8+6+7.3+7.45+9.25)=6

-7

_2976—7x60x6

=0.06

b=^j-----32800-7x3600

y-nx

i=l

a=y-bx=6-0.06x60=2.4

所以y关于x的线性回归方程为了=°-06x+24

【小问2详解】

由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个,

所以X的可能取值为0,1,2,3,

3

尸(x=o)r=°*r=34

'/C；35P(X=I)=养4

「2rlin3

尸(X=2)=5^=UP(X=3)=^r-=-1

\/C：35\/C；35

X的分布列如下:

X0123

418121

P

35353535

，八E（X）=Ox—+1义一+2x—+3

所以X的期望是353535

18.某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了

200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：

［，）,［，）,［，］,统计结果如图所示:

z（单位：分）近似地服从正态分布Ng,其

中〃近似为样本平均数X,b近似为样本的标准差S,并已求得5=14.31.若/市恰有2万名5G手机用

户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间f5619,9*121的人数（每组数据以区间的中点值为代

表）；

（2）该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10轮抽奖活动，每一轮抽

奖相互独立，中奖率均为5.每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖,

则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动.

①求小王获得900元话费的概率；

②求小王所获话费总额X的数学期望（结果精确到0.01）.

参考数据：若随机变量z服从正态分布"3"）,即z〜则尸（〃—0<z4〃+bA°.6827

P（//-2cr<z<〃+2o0.9545

【答案】（1）16372（人）

1

⑵①1024；②99.90（元）

【解析】

【分析】(1)根据给定的频率分布直方图，求出X,再利用正态分布求出满意度得分位于区间

[56.19,99.12]的概率即可计算作答.

(2)①利用独立事件的概率公式计算作答；②求出X的可能值及各个值对应的概率，再利用期望的定义

求解作答.

【小问1详解】

依题意，样本平均数为1=45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,即

4=X=70.5

由b=S=14.31,得[〃一巴〃+2b]=[56.19,99,12]

JP(7/-a<Z<//+2cr)=—P(//-cr<z<//+CT)+—(/z-2cr<z<//+2cr)«0.8186

而22,

所以2万名5G手机用户中满意度得分位于区间1299.12]的人数约为20000x0.8186=16372(人)

【小问2详解】

①小王获得900元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，所以所求的概率

11

P=X—=----

为21024

②依题意，X的可能取值有0,100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000,即X=100"

0<z<10ZGN

9，

当1W/W9,ieN时，X=100"说明小王前，轮连续中奖且第1+1轮未中奖，此时

P(X=100i)=H；=,

3尸(X=0)=；、.口尸(X=10(h)=(；)-=!尸(X=1000)=/

又2满足222,2,

^,0<z<9,zeN

P(X=100z)=<

/工=10E(X)=0x；+(*+舁4+--+/”100+1000

因此J

c12391o1239

令5=齐+无+梦+一下,则5s=1+及+尹+•••+落

111119_9_119_111

-2+3+4++1011-

2222,22尹一2”2"-22"

两式相减得

S=l-工E(X)=(1-=)x100+100025