2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：与平行四边形有关的动点问题（解析版）

重难点23与平行四边形有关的动点运动问题

m题型解读

有关的动点运

动问题

国典题精练

【题型一平行四边形中的动点问题】

1.如图，在四边形/BCD中，ADWBC,且4DC3C,8c=6cm,动点P,Q分别从点D,B

同时出发，点尸以lcm/s的速度向点A方向运动,点Q以2cm/s的速度向点C运动,

几秒后四边形CDPQ是平行四边形（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由运动时间为t秒，则/P=f,QC=2t,而四边形CDP。是平行四边形，所以

DP=CQ,则得方程t=6-2t求解.

【解答】解：设t秒后，四边形CDP0为平行四边形，

则DP=/c%,QC=（6-2，）cm,

••,4DILBC所以C0,

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

知：OP=CQ即可，

即：t=6-2t,

片2,

当Z=2时，DP=CQ=2（cm）,

综上所述，2秒后四边形CDP0是平行四边形，

故选：B.

【点评】此题主要考查的是平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键.

2.如图，在口4BCD中，对角线AD_L4。，48=16,//=60°,。为AD的中点，E为

边上一动点，以2c加/s的速度从N点向8点运动，运动时间为fs,连接并延长交

CD于点F,连接DE、BF,下列结论不成立的是（）

A.四边形。口尸为平行四边形

B.若f=4,则四边形。匹尸为菱形

C.若t=2,则四边形。£3尸为矩形

D.若f=6,则四边形DEAF为正方形

【分析】由得NOBE=NODF,而08=0。,即可证明△O8E0△ODR得。£

=0F,即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形。匹尸为平行四边

形，可判断/正确；

当f=4时，AE=8,此时E为N5的中点，可根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边一

1

半”证明=则四边形。£5斤为菱形，可判断8正确；

作DGL/8于点G,由“直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半”可求得NG=

4cm,当/=2时，AE=4cm,点£与点G重合，则/B£O=/8G£>=90°,所以四边形

。仍下为矩形，可判断C正确；

当1=6时，AE=\2cm,此时点£在点G的右侧，则/8£。>90°,因此四边形。E3尸不

可能是正方形，可判断。错误，于是得到问题的答案.

【解答】解：•••四边形/3C。是平行四边形，

：.AB//CD,

：.ZOBE=ZODF,

,：O为BD的中点，

：.OB=OD,

在△OAE■和△0。尸中，

Z.0BE=A0DF

OB=OD,

/-BOE=乙DOF

:.MOBE0△ODFUSA),

：.OE=OF,

...四边形DEBF为平行四边形，

故/正确；

:当1=4时，/£=2/=2X4=81cm),

•:AB=16cm,

:.AE=BE=8cm,

,:BDLAD,

：・NADB=90°,

1

:.DE=BE=^LB,

・・・四边形。防尸为菱形，

故5正确；

如图，作。G_L45于点G,则N4GD=N5GD=90°,

VZADB=90°,ZA=60°,

：・/ADG=/ABD=30°,

1

AD=-AB=8cm,

1

'.AG=~AD—4cm,

当/=2时，AE—2t—2X2—4(cm),

：.AE=AG,

点E与点G重合，

:./BED=/BGD=90°,

...四边形。E2尸为矩形，

故C正确；

当t=6时，NE=2f=2X6=12(cm),

'：AE>AG,

...点E在点G的右侧，

，ZBED>ZBGD,

：.ZBED>90°,

四边形DEBF不可能是正方形，

故。错误，

故选：D.

【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判

定、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边

的一半等知识，正确理解且能灵活运用平行四边形及特殊的平行四边形的性质是解题的关

键.

3.(2024春•新沂市期中)如图，在四边形48CD中，AD//BC,AD=6cm,BC=\2cm,

点尸从/出发以lcm/s的速度向。运动，点。从C出发以2cm/s的速度向3运动，两点

同时出发，当点P运动到点。时，点。也随之停止运动.若运动时间为，秒时，以/、

B、C、D、P、0任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则f的值是

()

【分析】根据题意计算力尸、PD、BQ、CQ,再根据平行四边形的判定方法进行判定.

【解答】解：/=1时，4P=1cm,PD=5cm,CQ=2cm,BQ=lOcm,此时构不成平

行四边形，不符合题意；

B.f=2时，AP^Icm,PD=4cm,CQ=4cm,BQ=8cm,因4D〃8C,此时只构成一个

平行四边形尸AC。，不符合题意；

C.t=3时，AP=PD=3cm,CQ=BQ=6cm,贝CQ=2Q=AD,因此时有2

个平行四边形：平行四边形和平行四边形NOQ3,符合题意；

D./=4时，AP^4cm,PD=2cm,C0=8cm,BQ4cm,因4D/75C,此时只构成一个

平行四边形/尸。8,不符合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法.

4.（2024秋•蓬莱区期末）如图，在平行四边形/8CD中，AB=6cm,BC=16cm,/ABC

的平分线交/。于点尸，点E是3c的中点，点P以每秒1c加的速度从点/出发，沿4D

向点尸运动；点。同时以每秒2c"?的速度从点C出发，沿C8向点8运动，点P运动到

下点时停止运动，点。也同时停止运动，当以尸、。、E、厂为顶点的四边形是平行四边

A.2sB.5sC.2s或-^-sD.5s或-^-s

【分析】由平行四边形/BCD,AF是N4BC的平分线，可得/AFB=/CBF=/ABF,

1

则//=/8=6,由题意得CE=]BC=8,点P运动到厂时间为6+l=6s,点0运动到£

时间为8+2=4s,当0Wf<4时，AP=t,CQ=2t,贝!]P尸=6-〃QE=8-2t,当以尸、

0、E、尸为顶点的四边形是平行四边形时，PF=QE,即6-/=8-2f,计算求解即可；

当4Wf<6时，AP=t,CQ=2t,则/?尸=6-3QE=2t-8,当以尸、0、E、/为顶点的

四边形是平行四边形时，PF=QE,即67=2f-8,计算求解即可.

【解答】解：：平行四边形N8CD,8尸是NN8C的平分线，

NAFB=NCBF=/ABF,

：.AF=AB=6,

:点E是8c的中点，

1

：.CE=~BC=8,

...点尸运动到厂时间为6+l=6s,点。运动到E时间为84-2=45,

当0Wf<4时，AP=t,CQ=2t,则PF=6-t,QE=3-It,

当以P、。、E、产为顶点的四边形是平行四边形时，PF=QE,

；.6-（=8-It,

解得，f=2,

当4Wf<6时，AP=t,CQ=2t,则PF=6-t,QE=2t-8,

当以P、0、E、尸为顶点的四边形是平行四边形时，PF=QE,

.'.6-t=2t-8,

14

解得，［=可"，

14

综上所述，当以尸、0、E、尸为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2s或石5,

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

5.（2024春•大洼区校级月考）如图，在四边形48c。中，AD//BC,且4D〉2C,BC=

8cm,AD=llcm.点、P,。分别从点/,C同时出发，点尸以1c加/秒的速度从N向。运

动，到点。即停止，点0以2c%/秒的速度从点C向2运动，到点2即停止，当点尸，Q

运动时.直线。尸将四边形截出一个平行四边形.

A—►PD

【分析】分别利用①当80=4尸时以及②当C0=P。时，列方程得出答案.

【解答】解：设点P,。运动的时间为，s.依题意得：CQ=2tcm,BQ=（8-2力cm,

AP=tcm,PD=（11-?）cm.

■:AD//BC,

①当时，四边形/P03是平行四边形.

即8-2t=t,

8

解得t=

②当C0=P£＞时，

四边形CQP。是平行四边形，即2f=11-3

11

解得：z=~.

811

所以经过§秒或三秒后，直线PQ将四边形/BCD截出一个平行四边形.

811

故答案为：百秒或三~秒.

【点评】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边

形是平行四边形.

6.（2024春•济阳区期末）如图，在口N8CD中，AB=5cm,BC=9cm,动点尸从点/出发，

以每秒2cm的速度沿口48CD的边逆时针匀速运动;动点Q同时从点/出发，以每秒3cm

28

的速度沿口/8。的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为/秒（0＜1＜石）.

（1）当点尸在8c上运动时，BP=cm（用含/的代数式表示）；

（2）当/=秒时，P,0两点相遇；

（3）是否存在t的值，使得以点N,C,P,0为顶点的四边形是平行四边形？若存在,

请求出f的值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）结合题意利用距离=速度X时间的关系式解答即可；

（2）利用f的代数式表示出点尸，0移动的距离，再利用两点移动的距离之和为平行四

边形的周长列方程解答即可；

(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当NPC0为平行四边形时，利

用平行四边形的对边相等的性质列出关于f的方程解答即可；②当/0CP为平行四边形

时，利用同样的方法解答即可.

【解答】解：(1)..•动点尸从点4出发，以每秒2c加的速度沿口/BCD的边逆时针匀速

运动，

点Pt秒运动的距离为2tcm,

".'AB=5cm,

...当点尸在5c上运动时，BP=(2?-5)cm,

故答案为：(2「5)；

(2)•.,在口/8CD中，AB=5cm,BC=9cm,

二.口ABCD的周长为28CM.

由题意得：点“秒运动的距离为点Q秒运动的距离为3fcm,

：.P,0两点相遇时，2什3/=28,

5/=28,

28

:.t=

28

.•.当/秒时，P，0两点相遇.

28

故答案为：―;

14

(3)存在f的值，使得以点C,P,0为顶点的四边形是平行四边形，，的值为M秒

42

或G秒.理由：

①当4PC0为平行四边形时，如图，

由题意得：PC—(14-2?)cm,AQ—3tcm,

•：四边形APCQ为平行四边形，

14-2f=33

.'.5/=14,

14

②当40C尸为平行四边形时，如图，

由题意得：AQ=(28-30cm,PC—(2r-14)cm,

,/四边形4PC0为平行四边形，

A28-3/=2-14,

，5)=42,

42

:.t=—.

14

综上，存在f的值，使得以点4,C,P,0为顶点的四边形是平行四边形，f的值为名加

42

或三秒.

【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定

与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键.

7.(2024秋•任城区期末)如图，在△48C中，AB=AC=20cm,2D_L/C于点。，且AD=

16cm.点、M从点、4出发,沿NC方向匀速运动，速度为4c加/s；同时点P由8点出发,

沿以方向匀速运动，速度为lcm/s,过点尸的直线尸。〃NC,交BC于点Q,连接尸”,

设运动时间为f(s)(0<?<5),解答下列问题：

(1)线段cm；

(2)求证：PB=PQ；

(3)当/为何值时，以P、。、D、M为顶点的四边形是平行四边形?

A

【分析】(1)由勾股定理求出ND即可；

(2)由等腰三角形的性质和平行线的性质得出/尸30=/尸03,再由等腰三角形的判定定

理即可得出结论；

(3)分两种情况：①当点”在点。的上方时，PQ=BP=tcm,AM=4tcm,AD=Ucm,得出

MD=AD-AM=(12-4/)cm,由尸0〃MD,当尸。=MD时，四边形尸0DW是平行四边

形，得出方程，解方程即可；

②当点M在点。的下方时，PQ=BP=tcm,AM=4tcm,AD=l2cm,得出

=(4?-12)cm,由尸当尸。时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程,

解方程即可.

【解答】(1)解：在RtZUAD中，由勾股定理得：AD=^AB2-BD2=V202-162=12

(cm),

故答案为：12；

(2)证明：如图1所示：

\'AB=AC,

：.ZABC=ZC,即NP50=NC,

'：PQ//AC,

：.NPQB=NC,

ZPBQ=ZPQB,

：.PB=PQ；

(3)解：分两种情况：

①当点〃■在点。的上方时，如图2所示：

由题意得：PQ=BP=tcm,AM=4tcm,AD=12cm,

：.MD=AD-AM=(12-4/)cm,

,:PQ〃AC,

J.PQ//MD,

・,・当尸0=A©时，四边形尸河是平行四边形，

即当£=(12-4%)c用时，四边形是平行四边形，

12

解得：t=—(s)；

②当点〃在点。的下方时，如图3所示：

根据题意得：PQ=BP=tcm,AM=4tcm,AD=\2cm,

：.MD=AM-AD=(4r-12)cm,

■:PQ//AC,

：.PQ//MD,

・•・当尸。=A®时，四边形尸。。河是平行四边形，

即当片(4L12)c加时，四边形尸。。河是平行四边形，

解得：£=4(s)；

12

综上所述，当，或％时，以尸、、、〃为顶点的四边形是平行四边形.

5=4s00

【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面

积公式以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的

判定是解题的关键.

【题型二矩形中的动点问题】

1.（2024秋•仁寿县期中）如图，在长方形A8CD中，AB=CD=8cm,BC=12an,点、P

从点2出发，以2cm/秒的速度沿向点C运动，同时，点。由点C出发，以相同的

速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为，秒,当AABP出APCQ时,/的值为（）

A.1或3B.2C.2或4D.1或2

【分析】根据全等三角形的判定可得出答案.

【解答】解：当BP=CQ,时，AABP出APCQ,

AB=^,cm,

.".PC—8cm,

：.BP=\2-8=4（cm）,

.,.2t=4,解得：t=2,

故选：B.

【点评】此题考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角

形的判定与性质.

2.（2024春•新洲区期中）如图，矩形/8C。中，48=8,/。=2,点£从。向C以每秒1

个单位的速度运动，以NE为一边在/£的左上方作正方形/斯G,同时垂直于CD的直

线〃N也从C向。以每秒2个单位的速度运动，当点尸落在直线上，设运动的时

间为3则/的值为（）

1014

A.1B.4C.-D.-

【分析】过点/作交直线于点。，根据正方形的性质易证△4DE也

(44S),可知E7/=4O=3,根据题意可得什2%=2+8,求解即可.

【解答】解：过点尸作尸HLCZ),交直线CD于点〃，如图所示：

则/£77F=90°,

•・•四边形45。。为矩形，

ZADE=90°,

ZADE=NEHF,

在正方形ZEFG中，ZAEF=90°,AE=EF,

:・/AED+/HEF=90°,

■:/HEF+/EFH=90°,

・•・ZAED=ZEFH,

:.AADEQAEHF(AAS)f

：・EH=AD=2,

•・ZB=8,

根据题意，得汁2%=2+8,

10

:.t=—,

故选：c.

【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质等，构造全等

三角形是解题的关键.

3.（2024秋•仁寿县期中）如图，在长方形48co中，AB=CD=6cm,BC=10cm,点、P从

点B出发,以2c"/秒的速度沿2C向点C运动.设点尸的运动时间为/秒，当点P从点5

开始运动，同时，点。从点C出发，沿CD向点。运动，当1=秒时，以

P、C、。为顶点的三角形与△/AP全等.

【分析】此题主要分两种情况①当8P=C。，48=PC时，4ABP咨APCQ；当8/=

CQ,依=PC时，4ABP乌AQCP,然后分别计算出/的值.

【解答】解：①当8尸=。。，N8=PC时，AABPm4PCQ,

'：AB=6,

：.PC=6,

：.BP^10-6=4,

2t=4,

解得:t=2,

②当R4=CQ,P8=PC时，AABP咨AQCP,

,:PB=PC,

1

：.BP=PC^~BC=5,

2t=5,

解得：t=2.5,

综上所述：当t=2.5或2时△/BP与△尸0C全等.

故答案为：2或25

【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握

全等三角形全等的条件，找准对应边.

4.（2024秋•南海区校级月考）如图，在矩形48CD中，12c加，点P从点N向点。

以lcm/s的速度运动，点。以4cm/s的速度从点C出发.在&C两点之间做往返运动,

两点同时出发，点尸到达点。时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P,Q,C,D

四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为.

AP—►D

B<-QC

【分析】根据运动表示出。P、CQ,结合矩形的判定得到当。尸。时以p,Q,C,D

四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案.

【解答】解：•••四边形是/BCD矩形，

AZD=ZC=90°,AD=BC,

•..4D=12c%,点尸从点N向点。以1c机/s的速度运动，点。以4CH/S的速度从点C出

发，在5,C两点之间做往返运动，

：.DP=12-t,CQ=4t或CQ=24-务或47-24,

•以P,Q,C,。四点为顶点的四边形是矩形，

：.DP=CQ,

A12-f=4f或12-f=24-书或12-t=4f-24,

1236

解得：1=飞-或4或-^-,

1236

故答案为：1=三~或4或三~或12.

【点评】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键.

5.(2024秋•永寿县校级月考)如图，在四边形48co中，AB=26cm,CD=24cm,CD//

AB,NN=90°,点河从点。出发，以1c加/s的速度向点C运动，同时点N从点2出发,

以3c加/s的速度向点/运动，点N到达点/停止，同时点Af也停止，当点M运动多长

时间时，四边形为矩形.

【分析】设点N运动的时间为f,由题意易得aw=/c加，AN=(26-3f)cm,然后可得

方程f=26-3f,进而问题可求解.

【解答】解：设点N运动的时间为

AB=26cm,CD=24cm,

根据题意得c%,AN—(26-37)cm,

,:CD〃AB,ZA=90°,

:.DM=AN,

.,.t—26-3t,

13

解得t=—,

13

当运动万■秒时，四边形ADMN是矩形.

【点评】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

6.(2024秋•蓼城区校级月考)如图，已知矩形/2CZ)中，AB=16cm,AD=6cm,动点、P,

Q分别从点N,C同时发出，点P以3cmis的速度向点B运动，到点B为止；点0以2cmis

速度向点。运动，到点。为止；设运动时间为fs.

(1)当t为何值时，四边形是矩形，并说明理由？

(2)连接。3,当/为何值时，△8PQ中，PQ=BQ.

【分析】(1)由题意知，CQ=2tcm,AP=3tcm,则。。=(16-2。cm,贝!］当

时，四边形/尸。。是矩形，从而求得/的值;

1

(2)过0作。于£,则BE=]PB；再证明四边形8CQE是矩形，则3£=。。=

1

Item,由BE=]PB可得到关于f的方程，解方程即可求得f的值.

16

【解答】解：(1)当;为三七时，四边形/尸0。是矩形；

理由如下：

由题意知，CQ=2tcm,AP=3tcm,

在矩形/BCD中，CD=AB=\6cm,ZD=90°,

：.DQ=CD-CQ=16-2t=(16-2Dcm；

当/尸时，四边形/p。。是矩形，

即3/=16-It,

整理得,5t=16,

16

解得：t=—；

16

所以当f为三一时，四边形/尸。。是矩形；

(2)由题意知，CQ=2tcm,AP=3tcm,

则PB=AB-AP=(16-3f)cm；

如图，过。作于E,则/。£2=90°；

'：PQ=BQ,

1

：.BE=~PBt

在矩形4BCD中，ZC=ZABC=90°,

：./QEB=/C=/4BC=90°,

四边形5C0E是矩形，

；.BE=CQ=2tcm；

1

-：BE=~PB,

1

2t=~(16—3t),

整理得，7t=16,

为"ys时，在△BP。中，PQ=BQ.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌

握.

7.（2024秋•于洪区校级月考）如图，已知平行四边形的对角线NC,AD相交于点

O,AC^20cm,BD=12cm,两动点E,尸同时以2cw/s的速度分别从点/,C出发在线

段NC上相对运动，点£到点C,点尸到点/时停止运动.

（1）求证：当点E,尸在运动过程中不与点。重合时，以点2,E,D,尸为顶点的四边

形为平行四边形；

（2）当点£,厂的运动时间/为何值时，四边形2皮中为矩形？

【分析】（1）如图，连接。£,EB,BF,FD,由已知条件易得/E=C尸，BO=DO,AO=

CO,由此可得。E=OR从而可得四边形BED尸是平行四边形；

（2）由（1）可知，四边形8ED尸是平行四边形，故当EF=5D=12c加时，四边形8EZ/

是矩形，由此分以下两种情况进行解答即可求得对应的/的值，①点E在。/上，点产

在OC上时，EF=BD=12cm；②点E在OC上，点尸在CM上是，EF=BD=\2cm.

【解答】（1）证明：连接。E,EB,BF,FD.

:两动点£,尸同时以2c加/s的速度分别从点/,C出发在线段/C上相对运动,

C.AE^CF.

;平行四边形/BCD的对角线AC,BD相交于点O,

：.OD=OB,OA^OC（平行四边形的对角线互相平分），

：.OA-AE=OC-CF^AE-OA=CF-OC,即OE=OF,

，四边形BED尸为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

即以点3,E,D,尸为顶点的四边形是平行四边形.

（2）解:由已知条件可得：AE=CF=2t,

:由（1）可知四边形尸是平行四边形，

...当£尸=8。=12时，四边形BEDF是矩形.

①当点£在。/上，点尸在OC上时，EF=AC-曲,

；EF=BD=12,

.*.20-4f=12,解得：Z=2；

②当点E在。C上，点/在。/上时，EF=4t-AC=4t-20,

'：EF=BD=n,

A4/-20=12,解得：f=8.

综上所述：当点E,尸的运动时间t为2s或8s时，四边形尸为矩形.

【点评】这是一道涉及平行四边形和矩形的动点问题，熟悉“平行四边形的性质、矩形

的判定，且知道第2小题存在：①点E在CM上，点尸在0c上，EF=BD=12cm；②

点£在OC上，点尸在。4上，斯=AD=12cm这两种情况”是解答本题的关键.

【题型三菱形中的动点问题】

1.如图，在菱形/BCD中，N/=60°,E,尸分别为4D,DC上的动点，NEBF=60

点£从点N向点。运动的过程中，AE+CF的长度（)

A.逐渐增加

B.保持不变且与斯的长度相等

C.逐渐减小

D.保持不变且与48的长度相等

【分析】证明△/BEgZXQB/(4SZ),可得4E=QF,根据线段的和可知：AE+CF=AB,

是一定值，可作判断.

【解答】解：连接5D

・・,四边形45CQ是菱形，

:・AB=AD=CD.

VZA=60°,

是等边三角形，

:,AB=BD,ZABD=60°.

■:DC〃AB,

・・・/CDB=/ABD=600.

・•・ZA=ZCDB.

VZEBF=6Q°,

・•・ZABE=ZDBF.

在△ZBE和中，

Z-BAE=(BDF

AB=DB,

Z-ABE=2DBF

：.AABE^ADBF(ASA),

：.AE=DF,

：.AE+CF=AB,

即AE+CF的长度保持不变与AB的长度相等.

故答案为：D.

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定，熟练掌握菱形

的性质是解题的关键.

2.（2024春•西湖区期末）如图，在菱形/BCD中，/8=60°,点尸从点8出发，沿折

线2—C-D方向移动，移动到点。停止，连结4P,DP.在形状的变化过程

中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序

正确的是（）

A.①③②③B.③②①③C.①③②①D.③②③①

【分析】把点P从点2出发，沿折线2C-CD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形

的形状即可.

【解答】解：•••/3=60°,故菱形由两个等边三角形组合而成，

当点P与点8重合时，此时△/3P为等腰三角形，

当时，此时△O4P为直角三角形；

当点P到达点C处时，此时△D4P为等边三角形；

当P为CD中点时，△4BP为直角三角形；

故选：A.

【点评】本题主要考查了菱形的性质，涉及到等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性

质，题目有一定的综合性，难度适中.

3.（2024•槐荫区一模）如图，菱形48CD中对角线NC与5D相交于点八且NC=8,

BD=8V3.若点尸是对角线8。上一动点，连接幺尸，将AP绕点/逆时针旋转使得/

PAE=ZBAD,连接尸£,取的中点。，连接OE,则在点P的运动过程中，线段

C

A.2B.4C.4V3D.4V2

【分析】连接E。，由菱形的性质及NC=8,BD=8V3，得出/尸=4,。尸=4百，AC±

BD,BA=DA,由勾股定理求出40=8,进而得出//。8=//8。=30°,证明△血尸名4

DAE,得出N4DE=30°,进而得出当OELDE时，0E的值最小，求出此时0E的长度即

可.

【解答】解：如图，连接EO,

:四边形N5CD是菱形，且NC=8,BD=8V3.

11「

：.AF=~AC=4,DF=-BD=4^3,AC±BD,BA=DA,

.,.AD-VXF2+DF2-J42+(4V3)2=8,

:.NADB=NABD=30°,

将AP绕点A逆时针旋转使得/尸/£=ABAD,

：.AP=AE,

：.ZBAP=ZDAE,

在尸和△£)/£中，

BA=DA

/.BAP=/.DAE,

PA=EA

:.ABAP咨ADAECSAS),

:./ADE=NABP=30°,

.♦•。£是满足//。e=30°的线段，

当OELOE时，0E的值最小，

是ND的中点，

11

OD=~AD=5x8=4,

11

：.OE=-OD=-x4=2,

・••在点尸的运动过程中，线段。£的最小值为2,

故选：A.

【点评】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找出全等的三角形，证明N4DE=300是解决

问题的关键.

4.（2024秋•子洲县期末）如图，菱形的对角线NC,8。相交于点。点£,尸同时

从。点出发在线段NC上以lc%/s的速度反向运动（点E,尸分别到达N,C两点时停止

运动），设运动时间为fs.连接DF,BE,BF,已知△48。是边长为6cm的等边三

角形，当/=5时，四边形。班尸为正方形.

【分析】由题意得。£=。/=此加，则E尸=2/c%,由菱形的性质得03=0。，ACLBD,

所以当即=50时，四边形厂是正方形，而△48。是边长为6c加的等边三角形，则

BD=6cm,所以2f=6,求得f=3,于是得到问题的答案.

【解答】解：由题意得。£=。/

.'.EF=2tcm,

•.•菱形/BCD的对角线/C,BD相交于点O,

：.OB=OD,ACLBD,

...四边形。E8尸是菱形，

...当E尸=20时，四边形DE8尸是正方形，

,；AABD是边长为6cm的等边三角形，

：.BD=6cm,

,由跖=5。得2f=6,

解得t=3,

...当/=3s时，四边形。匹尸是正方形，

故答案为：3.

【点评】此题重点考查菱形的判定与性质、正方形的判定、等边三角形的性质、动点问

题的求解等知识与方法，证明当£尸=8。时，四边形。匹/是正方形是解题的关键.

5.如图，在菱形49。中，对角线NC、5D相交于点。.AC=Scm,BD=6cm,点、P为

NC上一动点，点尸以1c加/s的速度从点/出发沿/C向点C运动.设运动时间为fs,

当/=时，AP/B为等腰三角形.

当尸和C重合时，PB=AB=5cm,③作N8的垂直平分线交/C于P,此时连

接PB,求出即可.

【解答】解：；四边形48co是菱形，AC=8cm,BD=6cm,

C.ACLBD,AO=OC=4cm,BO=OD=3cm,

由勾股定理得：BC=AB=AD=CD=5cm,

分为三种情况：①如图1,当尸/=48=5c"?时，t=5+l=5；

图1

②如图2,当尸和C重合时，PB=AB=5cm,r=84-l=8；

③如图3,作的垂直平分线交ZC于尸，此时依=尸/,连接尸2,

B

图3

在RtZ\20尸中，由勾股定理得：BP2^BO2+OP2,

AP2=32+(4-AP)2,

25

4P=—•

8，

2525

y至+L/

25

故答案为：5或8或万­.

【点评】本题考查了菱形性质和等腰三角形的判定的应用，主要考查学生能否求出符合条

件的所有情况.

6.如图，矩形N8CD中，点P是线段上一动点，。为8。的中点，尸。的延长线交8C

于2

(1)求证：四边形尸8。。是平行四边形；

(2)若4D=8cm,AB=6cm,尸从点/出发，以1cm/秒的速度向。运动(不与。重合),

设点P运动时间为f秒.

①请用/表示尸。的长；②求f为何值时，四边形尸3。。是菱形.

【分析】(1)根据矩形性质推出根据平行线的性质得出/尸。0=/。80,根据

全等三角形的判定4S4证四ZX%。，根据全等三角形的性质推出OP=O。，贝广对

角线相互平分的四边形为平行四边形”；

(2)①由线段间的和差关系来求PD的长度；

②根据平行四边形的判定得出四边形必。。是平行四边形，求出。尸=5尸即可.

【解答】证明：（1）・・,四边形45CZ）是矩形，

：.AD//BC,

：./PDO=/QBO,

TO为中点，

：・OB=OD,

在△尸。0和△QBO中，

(Z.PDO=乙QBO

\OB=OD,

[APOD=乙BOQ

：.APDO^AQBO(ASA)f

：.OP=OQ.

又・：OB=OD,

・•・四边形PBQD是平行四边形；

(2)①•:AP+PD=AD,AP=t,AD=^cm,

:.PD=8-AP=8-t(c加).

7

②当t=0时，四边形尸80。是菱形，

q

理由是：

:四边形尸80。是菱形，

:.BP=DP=8-tCem).

在RtZ\/5P中，由勾股定理得：

AB2+AP2=BP2,

BP62+fi=(87)2

7

解得/=].

7

・,・当/=/时，四边形抬0。是菱形.

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的

判定的应用，题目比较好，综合性比较强.

7.（2024•马边县校级模拟）如图所示，在菱形N8CD中，AB=4,NBAD=120°,AAEF

为正三角形，点、E、尸分别在菱形的边5C、CD上滑动，且£、下不与3、C、D重合.

（1）证明不论£、厂在8C、CD上如何滑动，总有B£=CF；

（2）当点E、尸在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形NEC尸和△CE尸的面积是否发生

变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值.

【分析】（1）先求证48=/C,进而求证△48C、△/（7£）为等边三角形，得N4=60°,

AC=AB进而求证△/AE■0ZUCF,即可求得BE=CF；

（2）根据△48E哈△/CF可得%4BE=%4CF，故根据S四边形

A^E=S-BC即可解题；当正三角形/斯的边/£与2C垂直时，边4E最短.zX/M的

面积会随着NE的变化而变化，且当4E最短时，正三角形4EF的面积会最小，又根据S

△CEF=S四边形NECF-SMEF，则斯的面积就会最大.

【解答】（1）证明：连接4C,如图所示，

•・•四边形48cZ）为菱形，ZBAD=120°,

：.AB=BC=CD=AD,AD//BC,

：.ZB=ZD=\S0°-120°=60°,

.♦.△ACB,△4CZ）都是等边三角形，

：.Z1+ZEAC=6O°,Z3+ZEAC=60°,

・・・N1=N3,

VZBAD=nO°,

AZABC=60°,

・・・AABC和△/CD为等边三角形，

/.Z4=60°,AC=AB,

・••在AZBE和△4C/中，

21=z3

AB=AC,

/.ABC=Z4

:・AABE咨AACF(ASA).

：.BE=CF；

(2)解：四边形4EC厂的面积不变，4CM的面积发生变化.

理由：由(1)得LABE咨LACF,

则S^ABE=S"CF，

故S四边形XEC尸=30七厂5-0尸是定值，

作于〃点，则5〃=2,

11__________

SHajgAECF=^AABC~^BC*AH=5BCTAB2-BH2=4v3>

由''垂线段最短”可知：当正三角形/所的边NE与3c垂直时，边AE最短.

故△/斯的面积会随着的变化而变化，且当/E最短时，正三角形4E尸的面积会最

小，

又S&CEF=S四边形4ECF~SMEF，则此时△CS尸的面积就会最大.

22

：，S&CEF=S四边形4ECF-SA^EF=4V§-5x2百xJ(2A/3)-(V3)=V3.

答：最大值是百.

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△

是解题的关键，有一定难度.

【题型四正方形中的动点问题】

1.如图，点尸是正方形42co的2C边上一动点，PELBDE,PFlAC^F,若NC=

12,则尸£+尸尸的值是（）

A.6B.10C.6V2D.12

【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得O8J_OC,对角线平分一组对角可得NO5C=

45°,然后求出四边形OEP尸为矩形，△3EP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等

可得PF=OE,根据等腰直角三角形的性质可得从而得到尸E+PF=O8,然后根

据正方形的性质解答即可.

【解答】解：在正方形中，OB_LOC,ZOBC=45°,

■:PELBD,PFLAC,

四边形。£尸产为矩形，ABEP是等腰直角三角形，

:.PF=OE,PE=BE,

：.PE+PF=BE+OE=OB,

'：AC=BC,

1

：.OB=~AC=6,

：.PE+PF=6,

故选：A.

【点评】考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记

各性质求出PE+PF=OB是解题的关键.

2.正方形的边N2上有一动点及以EC为边作矩形EC/G,且边尸G过点。.在

点£从点N移动到点8的过程中，矩形EC/G的面积（）

A.先变大后变小B.先变小后变大

C.一直变大D.保持不变

【分析】连接。E,的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形N8CD的一半，则矩

形与正方形面积相等.

【解答】解：连接。E,

..1

・•・S/^CDE=齐四边形CEG『

1

S^CDE=5s正方形4BC。，

•••矩形ECFG与正方形/BCD的面积相等.

故选：D.

【点评】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接。£由面积关系进行转化是解题的

关键.

3.（2024•乐陵市模拟）如图，在正方形4BCD中，已知边长/2=5,点E是2C边上一动

点（点£不与8、C重合），连接NE,作点8关于直线NE的对称点尸，则线段C尸的

最小值为（）

5