2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：与平行四边形有关的多结论问题（解析版）

重难点22与平行四边形有关的多结论问题

m题型解读

有关的多结论

问题

国典题精练

【题型一平行四边形中的多结论问题】

1.（2024春•尉氏县月考）如图，在四边形48c〃中，ZA=ZABC=90°,BC=BD,E

是CD边的中点，连接BE并延长，交.AD的延长线于点R则下列结论：①BC〃AF；②

四边形2DFC是平行四边形；③BD=DF；④BE=BD.其中正确的个数为（）

【分析】根据//=//3C=90°,可得8C〃4F,得出内错角相等，证明△BCE妾A

FDE,可判断3c〃。尸且2C=DR从而得出四边形ADPC为平行四边形；进而证得四

边形5。尸C是菱形，得到BD=DF,BFLCD,根据直角三角形的斜边大于直角边得到

BD>BE.

【解答】解：：N4=N/8C=90°,

...NN+N4BC=180°,

：.BC//AF,故①正确；

,:AF〃BC,

：.ZDCB=ZCDF,ZFBC=ZBFD,

又DE=EC,

:ZCE沿AFDECAAS）,

:.DF=BC,

又•：DFHBC,

四边形僦小。为平行四边形，故②正确；

:四边形3DFC为平行四边形，BC=BD,

四边形3DFC是菱形，

：.BD=DF,故③正确；

•.•四边形僦甲C是菱形，

：.BF±CD,

：.ZBED=9Q°,

：.BD>BE,故④错误.

...正确的结论为①②③，

故选：C.

【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定

和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键.

2.（2024春•惠山区期中）如图，已知△48C是边长为3的等边三角形，点。是边5c上的

一点，且AD=1,以4D为边作等边过点E作跖〃3c交NC于点尸，连接8尸,

则下列结论中其中正确的有（）

①△/加丝ABCF；②四边形2。即是平行四边形；③S四边形BDEF=亭④S.EF=亭

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】连接EC,过点C作CH_LEF于点H.先证明△比1。丝△口£1,再证明△£网?是

等边三角形，即可解决问题.

【解答】解：连接EC,过点。作C”,所于点

•；△4BC,△4£>£都是等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=ZABC=ZACB=60°,

:./BAD=/CAE,

在△84。与△0£1中，

AB=AC

Z-BAD=Z-CAE,

AD=AE

：./\BAD^/\CAE(SAS)f故①正确；

：.BD=EC=\,ZACE=ZABD=60°,

■:EF〃BC,

：.ZEFC=ZACB=60°,

・•・△EFC是等边三角形，

1

；・EF=EC=BD=1,FH=EH=-,

**•CH=NEC2-EH2=Ji2—(4)2=--9

•；EF〃BD,

・・・四边形此£尸是平行四边形，故②正确，

■:BD=CF=3BA=BC,/ABD=/BCF,

:AABD二ABCFQSAS),故①正确，

•1S平行四边形BZ)£F=B0・C7/=1x§=乎，故③正确，

•:AC=BC=3,BD=CF=\,

:.CD=2BD,AF=2CF,

…皿=1呼=苧

2223V3V3与

SAAEF=~^9S^AEC=三4ABD=§X4=~2',故⑷正确，

.••①②③④都正确，

故选：D.

【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的

判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

3.（2024•西城区校级开学）如图，在RtZs48C中，/48C=90°,点。是的中点，延

长CD至点E,使得/CAB=/BAE,过点£作斯，43于点尸，G为CE的中点，给出

结论:

1

①CD=yB；②BG=FG；③四边形/E8G是平行四边形；④/CAE+/BGF=

180°.其中正确的所有选项是（

C.②④D.②③④

【分析】构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解.

【解答】解：延长EE交4c于作GN_L/8于N,

1

9

：BD=~ABfDB<DC,

1

：.CD>~ABf

故①不符合题意;

■:EF〃NG〃BC,EG=CG,

:・FN=NB,

•:GNLAB,

；・FG=GB,

故②符合题意；

VZEAF=ZMAF,AF=AF,ZAFE=ZAFM,

：.AAEF^AAMF(ASA),

:・FE=FM,

•；EG=GC,

J.FG//AC,

:・/GFB=/CAB,

：.ZGBF=ZEAB,

：.EA//BG,

■:/EAD=/DBG,AD=BD,/ADE=/BDG,

:.AAED义ABGD(.ASA),

:・AE=BG,

・・・四边形AEBG是平行四边形，

故③符合题意；

•：/BFG+/FBG+NFGB=180°,

ZEAF=ZMAF=ZBFG=4GBF,

：.ZEAC+ZFGB=1SO°,

故④符合题意，

故选：D.

A

【点评】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应

用这些知识点.

4.（2024秋•宁阳县期末）如图，在△NBC中，AB=6,NC=8,2C=10,/\ABD,/\ACE,

△8CF都是等边三角形，下列结论中：@ABLAC；②四边形NEED是平行四边形；③

/DFE=135。；④S四边形江如=20.正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由NB2+/C2=BC2,得出/H4C=90°,故①正确；再由"S证得△NBCg4

DBF,得4C=DF=AE=8,同理△/BC之AEFC（&4S）,得AB=EF=4D=6,则四边

形NEED是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得

150°,则③错误；最后求出S.EFQ=24,故④错误；即可得出答案.

【解答】W：'：AB=6,4c=8,5C=10,62+82=102,

:.AB2+AC2^BC2,

...△NBC是直角三角形，/BAC=90°,

：.AB±AC,故①正确；

:△ABD,ZUCE都是等边三角形，

AZDAB=ZEAC=60°,

；./£U£=150°,

•・・AABD和△必C都是等边三角形,

：.BD=BA,BF=BC,ZDBF+ZFBA=ZABC+ZABF=60°,

:.NDBF=/ABC,

在与△05月中，

AB=DB

乙ABC=cDBF,

BC=BF

:.AABC经^DBF(&4S),

：.AC=DF=AE=S,

同理可证：△ABCmAEFC(.SAS),

；.AB=EF=AD=6,

・•・四边形4EFD是平行四边形，故②正确；

；・NDFE=NDAE=150°,故③错误；

过/作4GJ_Q尸于G,如图所示：

则NZGD=90。,

•・,四边形AEFD是平行四边形，

:.NFDA=180°-ZDFE=180°-150°=30°,

1

.'.AG=~AD=3,

:•SCJAEFD=DF・AG=8X3=24,故④错误；

.♦•正确的个数是2个，

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定

与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边

形的判定与性质，证明A/BC也△DBF是解题的关键.

5.如图所示，在平行四边形4BCZ）中，分别以/2、4D为边作等边△4BE和等边△4DH

分别连接C£,C尸和E凡则下列结论，一定成立的个数是（）

①ACDF咨AEBC；②△（7_£产是等边三角形；③NCDF=NEAF；©CE//DF

【分析】利用“边角边”证明△CD尸和△E2C全等，判定①正确；同理求出△CD尸和

△EAF全等,根据全等三角形对应边相等可得CE=CF=EF,判定△£（7尸是等边三角形,

判定②正确；利用“8字型”判定③正确；岩CEHDF,则C、F、/三点共线，故④

错误；即可得出答案.

【解答】解：在口A8CD中，ZADC=AABC,AD=BC,CD=AB,

MABE、△/£）尸都是等边三角形，

；.AD=DF,AB=EB,NDFA=NADF=NABE=60°,

：.DF=BC,CD=BE,

：.ZCDF=ZADC-60°,

ZEBC=ZABC-60°,

:.NCDF=NEBC,

DF=BC

在△CDF和△E8C中，“CDF=乙EBC,

CD=EB

:.△CDFQAEBC（SAS）,故①正确；

在口48。中，设4E•交CD于O,AE交DF于K,如图：

■:AB//CD,

：.ZDOA=ZOAB=60°,

ZDOA=ZDFO,

；/OKD=NAKF,

：.ZODF=ZOAF,

故③正确;

CD=EA

在△CD尸和△口产中,乙CDF=LEAF,

DF=AF

:ACDF沿4EAF（£4S）,

：.EF=CF,

"：/\CDF^/\EBC,

：.CE=CF,

:.EC=CF=EF,

.♦.△EC/是等边三角形，故②正确；

则NCFE=60°,

若CE〃。尸时，

VZDFA=60°=ZCFE,

：.NCFE+/DFE+/DFA=180°,

则C、F、A三点共线

已知中没有给出C、F、/三点共线，故④错误;

综上所述，正确的结论有①②③.

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，邻角互补的性质，等边三角形的判定与性质，

全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题

的关键.

6.（2024春•本溪期末）如图，在口48co中，对角线NC与8。相交于点O,延长8C至点

1

E,使得CE=8C,连接NE交CD于点G,连接。G.下列结论：®OG=~AD；@AE

平分/C4D；③以点/,C,E,。为顶点构成的四边形是平行四边形；④SBBCD=6SA

OCG.其中正确的是（填写所有正确结论的序号）.

A，D

/^^0\G

BCE

【分析】根据平行四边形的性质先证得△40G丝/XECG,得出DG=CG,4G=£G即可

解决问题.

【解答】解：,・•四边形是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,AO=OC,

：・/DAG=/E,ZADG=ZECG,

■:CE=BC,

:・CE=AD,

：.AADG^AECGCASA）,

:・AG=GE,DG=GC,

・・・OG是△C4Q的中位线，四边形4C即是平行四边形，故③正确；

1

OG=~AD,故①正确；

J.OG//AD,

:•S“CD=4SAOCG，

:口ABCD=8S&OCG，故④错误；

■:AC丰CE,

：.NErCAE,

:.NCAEWNDAG,故②错误.

...正确的是①③.

故答案为①③.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质并灵活运

用.平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等.②角：平行四边形的对角相

等.③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

7.（2024春•三明期末）如图，在口/BCD中，40=248,点尸是2c的中点，作NE_LCD

于点£,点£在线段CD上，连接ERAF,DF,现给出以下结论：@ZC=2ZAFB；

@AF1DF；

③SAABF=S“FE；

④△工?尸是等边三角形.

其中正确的是（写出所有正确结论的序号）.

【分析】①由平行四边形的性质可得4D=2C,AD//BC,NBAD=NC,AB=CD,AB

//CD,结合等腰三角形的性质可证得NNq=/8/尸进而可证明①的结论；

②先证明CF=CD,再由平行线的性质及等腰三角形的性质可得E4D+N/=90°,

即可得//阳=90°,进而可证明②的结论；

③延长交的延长线于点G,利用44s证明也可得S&4GF=SA^E，

进而可证明③的结论；

④通过证明/尸=GP=E尸及/可证明④的结论.

【解答】解：①•••/是3C的中点，

:.BC=2BF=2CF,

在口A8CD中，AD=BC,AD//BC,/BAD=/C,AB=CD,AB//CD,

：.ZAFB=ZDAF,

；AD=2AB,

:.BF=AB,

：.NAFB=NBAF,

：.ZBAF=ZDAF,

：.2/BAF=NBAD,

：.NC=2NAFB,故①正确；

@'：AB=BF=CF,AB=CD,

：.CF=CD,

：.ZCFD=ZCDF,

"：AD//BC,

：.ZADF=ZCFD,

:.NADF=/CDF,

'：AB//CD,

：.ZBAD+ZADC=\SO°,

AZFAD+ZADF=90°,

/.ZAFD=90°,

即//_LDR故②正确；

③延长EF交AB的延长线于点G,

■:AB〃CD,

:・/G=/CEF,/GBF=/C,

在ABGb和户中，

2G=乙CEF

乙GBF=乙C,

BF=CF

:•△BGFQ/\CEF(AAS)f

:・GF=EF,

••S“GF=S"FE，

:・S"BF〈S4AFE，故③错误;

CAELCD,AB//CD,

：.AE±AB,即NB/E=90°,

•・•GF=EF,

：.AF=GF=EF,

若△ZB/为等边三角形，则B尸=4F=G£而尸VGR故④错误,

故答案为：①②.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判

定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的面积等知识的综合运用，

灵活运用平行四边形的性质是解题的关键.

【题型二矩形中的多结论问题】

1.（2024春•唐河县期末）如图，在口/BCD中,对角线/C与AD相交于点。，对于下列

条件：①/1+/3=90°；②8c2+C£>2=/C2；③/1=/2；®ACLBD.能判定四边

形/BCD是矩形的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由矩形的判定、菱形的判定分别对各个条件进行判断即可.

【解答】解：①：/1+/3=90°,

AZABC=90°,

.•.口48CD是矩形，故①正确；

②•••四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=CD,

'：BC2+CD2^AC2,

:.BC2+AB2=AC2,

：.ZABC^90°,

.••口48。是矩形，故②正确；

③V四边形/BCD是平行四边形，

11

：.OA=OC=~AC,OB=OD=~BD,

VZ1=Z2,

C.OA^OB,

：.AC=BD,

.•.□/BCD是矩形，故③正确；

④：四边形/BCD是平行四边形，ACLBD,

.•.□/BCD是菱形，故④错误；

能判定四边形N5CD是矩形的个数有3个，

故选：c.

【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、

等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定是解题的关键.

2.如图所示，矩形/2CD中，AE平分/B4D交BC于E,/CAE=15°,则下面的结论:

①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③N/OE=135°；④S“OE=SACOE，其中正

确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据矩形性质求出根据角求出/。。。=60°即可得出三角形。

是等边三角形，求出NC=2/8,即可判断②，求出N3OE=75°,ZAOB=60°,相加

即可求出N/OE,根据等底等高的三角形面积相等得出S"OE=S&COE-

【解答】解：•••四边形/3CD是矩形，

AZBAD^90°,OA^OC,OD=OB,AC=BD,

：.OA=OD=OC=OB,

,：AE平分/BAD,

:.NDAE=45°,

\"ZCAE^15°,

：.ZDAC=30°,

'：OA=OD,

：.ZODA=ZDAC=30°,

：.ZDOC^60°,

'：OD=OC,

...△ODC是等边三角形，，①正确；

•.•四边形/BCD是矩形，

C.AD//BC,/4BC=90°

AZDAC=ZACB=30Q,

：.AC=2AB,

•；AC>BC,

：.2AB>BC,・,•②错误；

'：AD//BC,

：.ZDBC=ZADB=30°,

,；AE平分/DAB,ZDAB=90°,

；.NDAE=NBAE=45°,

•:AD〃BC,

：.ZDAE=ZAEB,

：.ZAEB=NBAE,

:・AB=BE,

•・,四边形45CD是矩形，

ZDOC=60°,DC=AB,

,：△。。。是等边三角形，

：.DC=OD,

：.BE=BO,

1

：.ZBOE=ZBEO=~(180°-NOBE)=75°,

VZAOB=ZDOC=60°,

AZAOE=60°+75°=135°,・••③正确；

'：OA=OC,

・••根据等底等高的三角形面积相等得出S0OE=S^COE，・••④正确;

故选：C.

【点评】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定,

三角形的内角和定理等知识点的综合运用.

3.（2024春•徐闻县月考）如图，矩形4BCD中，。为/C中点，过点O的直线分别与48,

CD交于点、E,F,连结8RDE、BO,若FB=FD,则下列结论：①4E=CF；②四边

形8FDE是菱形；③8。垂直平分线段EF；@ZACD=30°

其中正确结论的个数是（）

【分析】根据CD〃/8则/C42=/NCD,根据点。是NC的中点，证明

COF,判断①；根据矩形的性质，证明四边形2EDF是平行四边形，结合FB=FD,即

可判断②；由/，结合OE=O尸，可判断③；假设//CD=30°,推出与已知矛

盾的结论，即可判断④.

【解答】解：在矩形/BCD中，CD//AB,

：.ZCAB=ZACD,

:点。是NC的中点，

：.AO^CO

,：ZAOE=ZCOF

：.△/（?£■乌△CO尸

：.AE=CF,故①正确；

在矩形/BCD中，AB=CD,AB//CD,

'：AE=CF,

：.BE=DF,

四边形BEDF是平行四边形，

,:FB=FD,

平行四边形8瓦甲是菱形.故②正确；

：.BE=BF,

,：AAOE2△COF,

：.OE=OF,

垂直平分线段£尸，故③正确;

若//CD=30°,而4B〃DC,

：.ZCAB=30°,

为4c中点，ZABC=90°,

：.OA=OB=OC,

；.NOB4=/O4B=30°,

:BE=BF,BOLEF,

：.ZEBO=30°=ZCBF,

.♦.△BE尸是等边三角形，

与题干条件矛盾.故④不正确.

综上所述，正确的有①②③.

故选：C.

【点评】本题考查矩形，菱形，垂直平分线的性质，等边三角形和全等三角形等知识，

解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的

性质，全等三角形判定和性质.

4.（2024•荷泽二模）如图，在矩形/BCD中，。为NC中点，成过。点且EFL/C分别

交DC于F,交4B于E,点G是/£中点且N/OG=30°,则下列结论正确的个数为

（）

11

（1）OC=30G；（2）OG=~BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S0OE=/矩形NBCD

A.1个B.2个C.3个D.4个

1

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=/G=G£=/£,再根

据等边对等角可得NO/G=30°,根据直角三角形两锐角互余求出NGOE=60°,从而

判断出AOGE是等边三角形，判断出（3）正确；设/E=2a,根据等边三角形的性质表

示出OE,利用勾股定理列式求出49,从而得到NC,再求出8C,然后利用勾股定理列

式求出/2=3a,从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积

列式求出判断出（4）正确.

【解答】解：；斯，/。，点G是4E中点，

1

：.OG=AG=GE=~AE,

VZAOG=30°,

：.ZOAG=ZAOG=30°,

ZGOE=90°-ZAOG=90°-30°=60°,

.♦.△OGE是等边三角形，故（3）正确；

设/£=2a,则。£=OG=a,

由勾股定理得，AO=7AE2—OE2=J（2a）2-凉=,

•・・O为4C中点,

：.AC=2AO=243a,

11LL

.9•BC=^AC=-x2V3^=aa,

在Rt^/BC中，由勾股定理得，AB=］（2总）2—（百/=3a,

:四边形/BCD是矩形，

：.CD=AB=3a,

：.DC=3OG,故（1）正确；

1V3

"：OG=a,-BC=—a,

乙N

1

：.OG^-BC,故（2）错误；

1叵

SAAOE=<百〃=­a1，

SABCD=3。•43a=3百*,

1

:•SAAOE=/ABCD，故（4）正确；

综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个.

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三

角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设出/£、OG,然后用。表

示出相关的边更容易理解.

5.如图，在锐角△/BC中，延长BC到点。，点。是NC边上的一个动点，过点。作直线

MN//BC,MV分别交/NCB、N/CD的平分线于£,厂两点，连接/£、AF,在下列结

论中：@OE=OF；（2）CE=CF；③若CE=12,CF=5,则OC的长为6；④当/O=

C。时，四边形NEC尸是矩形.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】①只要证明。C=OE,0C=。尸即可.

②首先证明/EC尸=90°,若EC=CF,则NOPC=45°,显然不可能，故②错误,

③利用勾股定理可得斯=13,推出OC=6.5,故③错误.

④根据矩形的判定方法即可证明.

【解答】解；•：MN//CB,

：.NOEC=ZBCE,ZOFC=ZACF

VZACE^ZBCE,ZACF=ZDCF,

：.ZOEC=ZOCE,ZOFC=NOCF,

：.OC=OE=OF,故①正确，

VZ5CZ)=180°,

ZECF=90°,

若EC=CF,则/OFC=45°,显然不可能，故②错误，

：NEC尸=90°,EC=12,CF=5,

.•.斯=V122+52=13,

1

：.OC=~EF=6.5f故③错误，

：・OE=OF,OA=OC,

・・・四边形AECF是平行四边形，

VZ^CF=90°,

・•・四边形4EC/是矩形.

故选：c.

【点评】本题考查矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是

熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

6.（2024春•宽城区期末）如图，在矩形/BCD中，AB=4,40=3.点£、尸分别在边

AD、BC上（点E不与/、。重合）S.AF//CE,尸于点尸，交CE于点。，BML

CE于点、M,交/尸于点N.给出下面四个结论：①NC=5；②DQ=CM；③四边形PQMN

是矩形；④NC平分四边形P0肱V的周长.上述结论中，所有正确结论的序号

是.

【分析】由勾股定理判断①，由反证法判断②，由矩形定义判断③，由三角形全等判

断④即可.

【解答】解：①/C=7AB2+BC2=“+32=5,故①正确；

②若D0=CN,则有△C。。四△BMC,推出2C=OC,与已知矛盾，故②错误；

@AE//CF,DPLAF,BMLCE,四个角都是直角，是矩形，故③正确；

（4）VZADP+ZPDC=90°,ZDCE+ZPDC=90°,

ZADP=ZDCQ,

在矩形48。中，AD=BC,AD//BC,

y.'：AF//CE,

四边形AECF是平行四边形，

ZDAP=ZBCM,

NAPD=NCMB,

:.AAPD丝ACMBCAAS）,

：.AP=CM,

如图，设尸。、肱V分别交/C于点入K,

'：AF//CE,

：.ZPAJ=ZMCK,

又,:NAPD=/CMB,

:.AAPgACMK（ASA）,

:.PJ=MK,

:四边形PQMN是矩形，

：.PQ=MN,PN=QM,

：.AC平分四边形PQMN的周长，

故④正确；

正确的序号为①③④.

故答案为：①③④.

【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形

的性质，证明三角形全等是解题的关键.

7.（2024秋•丰泽区校级月考）如图，在△/2C中，ZABC^90°,BA=BC,把△/BC绕

点/逆时针旋转得到点。与点8对应，点D恰好落在NC上，过£作斯〃

交2C的延长线于点尸，连接3。并延长交E厂于点G,连接CE交3G于点下列结论:①

BD=DG；②CE=V^BD；③CH=EH；④FG=V^EG.其中正确的有

（填正确的序号）.

【分析】连接。RHF,可证四边形N8尸E是矩形，ZXNBCg△/£>£,即可判断①③;

根据①③的结论可推出CE垂直平分。R进而可得是等腰直角三角形，从而可

判断②；根据勾股定理证明④的准确性.

【解答】解：连接。RHF,如图所示：

VZABC=90°,BA=BC,

AZBAC=ZBCA=45°,

由旋转得：△ABC/dADE,

：.AD=AB,ZADE=90°,NDEA=NDAE=45°,

1800-45°

:.乙ABD=Z,ADB=-------------=67.5°,NBAE=90°,

•；EF〃AB,

：.ZAEF=90°,

・•・四边形是矩形，

：.ZGFB=90°,EF=AB=AD=ED,/DEF=9G°-ZAED=45°,

：.ZGBF=90°-ZABD=22.5°,

VZEDC=ZEFC=90°,ED=EF,EC=EC,

：./\EDC^/\EFC(7/L),

:・CD=CF,

1

J乙CFD=乙CDF=-Zi4CB=22.5。=乙GBF,

：.ZGFD=90°-ZCFD=67.5°=/FGD,

：.BD=FD=GD,

・••点。是5G的中点，

即3Q=QG,故①正确；

VZGDC=ZADB=61.5°,

:・NEDG=90°-ZGDC=22.5°,

△EDC/AEFC,

1

:•乙DEH=乙FEC=3乙DEF=22.5°=乙EDG,

：.DH=EH,

VZHDC=ZHCD=67.5°,

：.DH=CH,

：.CH=EH=DH,故③正确；

'：CH=EH,ZEFC=90°,

1

：.HD=HF=~CE,

VZHDF=ZDBF+ZDFB=45°,

/.AHDF是等腰直角三角形，

：.DF=^2DH,

'：CE=2DH,BD=DF,

：.CE=^.BD,故②正确；

设。尸交C£于O,

,.,△〃。尸是等腰直角三角形，ZDHC=ZFHC=45°,

：.ADOH和AFOH都是等腰直角三角形，

：.OD=OH=OF,

设OD=OH=OF=a,

：.DG=DF=2a,DH=HF=EH=^a,

.'.HG=DG—DH=2a-近a,EO=OH+HE=a+近a,

GF2=HG2+HF2=(2a—VZGI)2+(V2a)2=(8—4V2)a2>

EF2=OE2+0F2=(a+V2a)2+a2=(4+2回a2,

.”2_(4+2«)a22

"GF2-(8-4V2)a2-C2)'

・空=1+退

,,GR+2，

；.£T=(1+孝)GF,

/.GE=EF-FG=-FG

2

即FG=&EG,故④正确；

综上所述，正确的有①②③④；

故答案为：①②③④.

【点评】本题综合考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二

次根式的混合运算等知识点，综合性较强.

【题型三菱形中的多结论问题】

1.（2024秋•招远市期末）如图，在四边形4BCD中，AB//CD,BC//AD,且4D=DC,

则下列说法：

①四边形ABCD是平行四边形；

（2）AB=BC；

（3）AC±BD

④NC平分

⑤若/C=6,BD=8,则四边形N3CD的面积为24.

其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】先证四边形是平行四边形，再证平行四边形/BCD是菱形，即可得出结

论.

【解答】解：BC//AD,

四边形/BCD是平行四边形，故①正确；

'：AD=DC,

平行四边形N8C。是菱形，

：.AB=BC,AC±BD,AC平分NB4D,故②③④正确，

：/C=6,BD=8,

11

菱形/BCD的面积=]/C><8。=]X6><8=24,故⑤正确；

正确的个数有5个，

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平

行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键.

2.（2024春•绥滨县期末）如图，菱形4BCD的周长为40CM,对角线/C、AD相交于点

DELAB,垂足为E,DE：48=4：5,则下列结论：①DE=8cm；②BE=4cm；③BD=

4后:m；④NC=8V^c%；⑤S菱形/BCD=80c加2,正确的有（）

DC

AF.B

A.①②④⑤B.①②③④C.①③④⑤D.①②③④⑤

【分析】由菱形的性质可求得菱形的边长，结合。氏AB=4：5可判断①；在RtA4BE

中由勾股定理可求得/E,则可求得2E,可判断②；在RtZ^BDE中由勾股定理可求得

BD,可判断③；由菱形的对角线互相平分，可求得8。，在RtZX/OB中可求得NO,可

求得/C,可判断④；根据求得的/C和2D可求得菱形的面积，可判断⑤，可得出答

案.

【解答】解：•.,菱形/5CD的周长为40cm,

1

.'.AB=~TX4cm=10cm,

4

■:DE：AB=4：5,

；・DE=8cm,

故①正确；

DE.LAB,且4。=10c加，DE=8cm,

•'•AE=>JAD2—DE2=V102—82=6(cm),

；・BE=AB-AE=10cm-6cm=4cm,

故②正确；

":DE=8cm,BE=4cm,

:.BD=VfiD2+BE2=V82+42=4V5(cm),

故③正确；

•..四边形/BCD是菱形，

1「

：.BO^~BD=2^cm,^.AClBD,

.'.AO-yJAB2-BO2-102-(2A/5)2-4V5(cm),

•.NC=2/O=8A/^C〃7,

故④正确；

11

,.SgjgABCD=~^AC*BD=5x8A/^x4V5=80(cm"),

故⑤正确；

...正确的为①②③④⑤，

故选：D.

【点评】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直且平分是解

题的关键.注意菱形面积公式的应用.

3.(2024•沙县一模)如图，在△NBC中，点。、E、尸分别为边48、BC、NC的中点，分

别联结EF、DF、点。是/£与。尸的交点，下列结论中，正确的个数是()

①△£>£下的周长是△4BC周长的一半；

②/£与。尸互相平分；

③如果/A4c=90°,那么点。到四边形/。斯四个顶点的距离相等；

④如果那么点O到四边形尸四条边的距离相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①根据三角形中位线定理即可解决问题；

②根据三角形中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题;

③证明四边形/DE尸是矩形，进而可以解决问题；

④证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题.

【解答】解:①：点。、E、尸分别为边A8、BC、/C的中点，

111

：.EF=~AB,DF=~BC,DE=~AC,

1

C.EF+DF+DE=-(AB+BC+AC),

.•.△。斯的周长是△/BC周长的一半，故①正确；

②：点。、E、尸分别为边/2、BC、/C的中点，

J.DE//AC,DF////BC,

，四边形ADEF是平行四边形，

与。/互相平分，故②正确；

③•.•/R4C=90°,四边形/£（斯是平行四边形，

四边形是矩形，

：.AE=DF,OA=OE=OD=OF,

...点。到四边形跖四个顶点的距离相等，故③正确；

：.AD=AF,

V四边形ADEF是平行四边形，

.•.四边形/。跖是菱形，

：.AE,。厂是菱形两组对角的平分线，

...点。到四边形40环四条边的距离相等，故④正确.

综上所述：正确的是①②③④，共4个，

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质,

三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理.

4.（2024秋•城阳区校级月考）如图，在菱形N8CZ）中，ZA=6Q°,E、尸分别是48,AD

的中点，时相交于点G,连接AD,CG.有下列结论：①/BGD=120°；@BG+DG

2

=CG；③△BDFeCGB；@SAABD=^B,其中正确的结论有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【分析】根据菱形的性质和N/=60°,可知是等边三角形，△2DC是等边三角

形，根据等边三角形的性质可得9=ND£3=90°,ZGDB=ZGBD=30°,即可

判断①选项；根据SSS可证△CDG丝△C2G,根据全等三角形的性质可得/OGC=/

5GC=60°,再根据含30°角的直角三角形的性质可判断②选项；根据AGBC为直角

三角形，可知CG>BC,进一步可知CGW8。，即可判断③选项；根据勾股定理可得

=争8,再根据三角形面积的求法即可判断④选项.

【解答】解：在菱形/8CD中，AB=BC=CD=AD,

VZA=60°,

：.ZBCD=ZA=60°,

AABD是等边三角形，ABDC是等边三角形,

：.ZADB=ZABD=60°,ZCDB=ZCBD=60°,

,:E,1分别是48,4D的中点，

:"BFD=/DEB=90°,

:./GDB=/GBD=30°,

：.ZGDC=ZGBC=90°,DG=BG,

ZBGD=ISQ°-30°-30°=120°,

故①选项正确；

在△CDG和△C3G中，

CD=CB

CG=CG,

,DG=BG

:ACDG%ACBG(SSS),

AZDGC=ZBGC=60°,

：.ZGCD=30°,

：.CG=1GD,

,:DG=BG,

：.CG=DG+BG,

故②选项正确；

•••△G3C为直角三角形，

：.CG>BC,

:.CGWBD,

：.ABDF与△CGB不全等,

故③选项错误；

1

■:BE=3AB,BD=AB,ZDEB=90°,

根据勾股定理，得DE=g~AB,

:-SMBD=-DE=-^AB2,

故④选项正确，

故正确的有①②④，

故选：B.

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质,

直角三角形的性质等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

5.（2024春•龙湖区期末）如图，在菱形中，AB=AC=1,点、E、尸分别为边/8、

3c上的点，且4E=BF,连接CE、AF交于点H,连接交NC于点O,则下列结论:

①△ABFQACAE；②NFHC=/B；③LADO义AACH；④S菱形4BS=百；其中正

确的结论个数是个.

【分析】证得△A5C是等边三角形，则可得/8=/£/C=60°,由&4S即可证得△ASP

乌ACAE,可得/A4P=N/CE,EC=AF,由外角性质可得①②正确;

由NO4D=60°③△/DO丝△407不正确；求出△NBC的面积=坐

AB2=与,得菱形/8C。的面积=零，④不正确；即可得出结论.

4Z

【解答】解：・・•四边形是菱形，

:・AB=BC,

^AB=AC,

：.AB=BC=AC,

即△45C是等边三角形，

；.AB=CA,NEAC=NB=60°,

同理：△NDC是等边三角形

AZOAD=60°,

（BF^AE

在448厂和1中，=NEHC,

[AB=CA

:./^ABF冬MAECSAS）；

：.ZBAF=ZACE,EC=AF,

:ZFHC=ZACE+ZFAC=ZBAF+ZFAC=ZBAC=60°,

2FHC=NB,

故①正确，②正确；

VZOAD=60°=ZEAC^ZHAC,

故③丝△/CH不正确；

,.•△4BC是等边三角形，AB=4C=1,

：.A4BC的面积=*/=今

菱形/BCD的面积=24/BC的面积=孚，

故④不正确；

正确的有①②两个

故答案为：2.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质

等知识.熟练掌握菱形和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

6.如图，在菱形48CD中，/3=60°,点、E、尸分别从点2、。出发以同样的速度沿边

BC、DC向点C运动.给出以下四个结论：

①尸；

（2）ZCEF=ZCFE；

③当点、E,尸分别为边2C,DC的中点时，△/斯是等边三角形；

④当点£,尸分别为边8C,DC的中点时，△/斯的面积最大.

上述结论中正确的序号有.（把你认为正确的序号都填上）

AD

【分析】根据菱形的性质对各个结论进行验证从而得到正确的序号.

【解答】解：•点E、厂分别从点3、。出发以同样的速度沿边8C、。。向点C运动，

:.BE=DF,

"：AB=AD,ZB=ZD,

：.AABE咨AADF,

：.AE=AF,①正确；

:.CE=CF,

：.ZCEF=ZCFE,②正确；

•在菱形/BCD中，48=60°,

:.AB=BC,

：./\ABC是等边三角形，

11

当点E,产分别为边8C,DC的中点时，BE=~AB,DF^~AD,

...△/3E和△4。F是直角三角形，且/比1£=//14尸=30°,

AZEAF=120°