2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：正方形的性质与判定的综合（八大题型）原卷版

重难点18正方形的性质与判定的综合运用

八大重难点题型

m知识梳理

▲知识点一：正方形的定义

・定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

几何语言：•••平行四边形48CD中，AB=BC,乙4=90。，

.•・四边形48co是正方形.

★1、正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；

★2、正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.即：正方形是

特殊的矩形又是特殊的菱形.

▲知识点二：正方形的性质

★1、具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即

①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；

②角：四个角都是直角；

③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

④正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.

★2、正方形的面积计算

①边长的平方；②对角线平方的一半；

★3、正方形特有的性质：

①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形

的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

②周长相等四边形中，正方形的面积最大.

▲知识点三：正方形的判定

★1、正方形判定方法:

定义法有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形.

四边形法

对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形.

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

平行四边形法

对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.

有一组邻边相等的矩形是正方形.

矩形法

对角线相互垂直的矩形是正方形.

有一个角是直角的菱形是正方形.

菱形法

对角线相等的菱形是正方形.

★2、平行四边形、矩形、菱形、正方形间转化关系和包含关系

m题型解读

国典题精练

【题型一利用正方形的性质求角度】

【例题1】（2024秋•竞秀区期中）如图，在正方形N5CD外侧，作等边三角形4DE,

AC、3E相交于点尸，则为（)

D

A.15°B.30°C.45°D.55°

【变式1-1】（2024秋•文山市期末）如图，四边形N8CO是正方形，延长到点E,使

AE=AC,则/3CE的度数是（

C.32.5D.22.5

【变式1-2】（2024秋•新城区期末）如图，在正方形中，E为对角线2D上一点,

连接4E1、CE,/BCE=W°,则NE4D为（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

【变式1-3】（2024秋•凤翔区期中）如图，四边形N8CO是正方形，延长8C到点E,使

CE=AC,连结/£交。）于点尸，则等于（）度.

A.112.5B.125C.135D.150

【变式1-4】（2024秋•太原期中）如图，点、E.尸分别是正方形/3CD内部、外部一点,

四边形ADFE与四边形BCFE均为菱形，则NC2E的度数等于.

【变式1-5】（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在正方形/BCD中，点E,尸分别在

AD,AB±,满足。£=/尸，连接C£,DF,点尸，。分别是。尸，CE的中点，连接

PQ.若/ADF=a.则NPQE可以用a表示为（）

A.aB.45°-aC.45°--D.3a-45°

【题型二利用正方形的性质求线段长】

【例题2】（2023秋•简阳市期末）如图，正方形A8CD的边长为6,点£是对角线NC上

一点，且/£=2CE,则瓦）的长度为（）

C.2V3D.2V5

【变式2-1】（2024秋•府谷县期末）如图，在正方形4BCD中，点G在2c边上，连接

AG,DEL/G于点£,AFL/G于点尸，若BF=4,DE=9,则E尸的长为（）

C.12D.2

【变式2-2】（2024秋•淄川区期末）如图所示，在正方形48CD中，。是对角线/C、BD

的交点，过。作。£，。尸，分别交42、BC于E、F,若NE=4,CF=3,则斯的长为

C.5D.6

【变式2-3】（2024秋•南明区月考）如图，。为正方形48CD对角线NC的中点，AACE

为等边三角形.若/5=2,则。E的长度为（）

A.B.V6C.V6—V2D.2

【变式2-4】（2023秋•莱西市期末）如图，已知四边形/BCD和四边形CEFG均为正方

形，且G是48的中点，连接若48=4,则/E的长为

【变式2-5】（2024秋•朝阳区校级期末）如图，正方形N8CD的边长为7,点£是

上的一点，且/£=3,将正方形沿。£翻折，点/落在点G处，延长EG交8C于点厂,

则CF的长是.

【题型三利用正方形的性质求周长或面积】

【例题3】（2022秋•汉台区期末）如图，正方形/BCD的边长为8,在各边上顺次截取

AE=BF=CG=DH=6,则四边形的面积是（）

A.34B.36C.40D.100

【变式3-1】（2024春•南岗区校级月考）正方形一条对角线长为2五，则周长为（）

A.4B.4V2C.8D.8V2

【变式3-2】（2024秋•遂川县期末）如图，在正方形中，点E,尸分别在和4D

边上，BE=2,AF=6,AE//CF,则△4BE的面积为（

A.6B.8C.12D.16

【变式3-3】（2024秋•裕华区校级期末）我们都知道，四边形具有不稳定性.老师制作

了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变

（如图），若正方形道具边长为ZD'=30°,则四边形的面积减少了（）

AD

A'Dz

BC

A.50cm2B.50V2cm2C.100cm2D.100V2cm2

【变式3-4】（2024秋•天府新区期末）如图，点C是正方形ADE厂内一点，连接/C,

FC,MACLFC,以/C为斜边在NC下方作Rt448C,且N48C=90°,若8c=4,

48=3,CF=12,则正方形4D斯的面积为.

【变式3-5】（2024秋•路北区校级期末）如图，小明同学将边长为的正方形塑料模

板/2CD与一块足够大的直角三角板叠放在一起,其中直角三角板的直角顶点落在点A

处，两条直角边分别与CD交于点R与C8延长线交于点E,则四边形NEC尸的面积

是.

【题型四利用正方形的性质进行证明】

【例题4】（2024秋•茂南区期末）如图，在正方形/BCD中，£是边N8的中点，尸是边

8。的中点，连接CE、DF.求证：CE=DF.

【变式4-1】（2024秋•澄迈县期中）如图，在正方形N8CD中，点£是边2C上一点，且

点£不与点以C重合，点厂是A4的延长线上一点，且NP=C£.求证：

DAF.

FAB

【变式4-2】（2024秋•永丰县校级期末）如图，在正方形/5CD中，点尸在边4D上,

且不与点力,。重合，点H在边4B上,且不与点4,2重合，连接BP、CH,BP与CH

交于点£.若BP=CH,求证：BPA.CH.

【变式4-3】（2024秋•双牌县期末）如图，四边形/BCD,8EFG均为正方形，连接CE,AG.

求证：CE=AG.

【变式4-4】（2024秋•观山湖区校级月考）如图，在正方形/BCD中，对角线NC,8。相

交于点。，点E,厂是对角线2。上的两点，MDE=BF.连接CE,AF,CF.

（1）证明：AADE四4CBF；

（2）若力B=4五,BF=2,求四边形NEC尸的周长.

BC

【变式4-5】(2024秋•虞城县期中)四边形/BCD是正方形，E、尸分别是。C和C2的延

长线上的点，且DE=BF,连接/£、AF.EF.

(1)求证：^ADE冬AABF；

(2)若3c=24,DE=8,求点/到石尸的距离.

【变式4-6】(2024•海口模拟)如图，已知正方形N8CD的边长是2,ZEAF=ma,将

ZEAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F,G是CB延长线上一点,

且始终保持BG=DF.

(1)求证：AABG咨LADF；

(2)求证：AG±AF；

(3)当EF=BE+DF时:

①求m的值；

②若F是CD的中点，求的长.

【题型五正方形判定的条件】

【例题5】（2023秋•太原期末）若口4BCD中对角线/C、5。相交于点O,则下列说法正

确的是（）

A.当。/=。£＞时，口4BCD为菱形

B.当45=40时，C7/2CD为正方形

C.当/A8C=90°时，IZJABCD为矩形

D.当NC_L2D时，口/5CD为矩形

【变式5-1】（2024秋•管城区校级期中）如图，已知四边形/BCD是平行四边形，下列说

法正确的是（）

B.若AC=BD,则口48。是菱形

C.若NC_L2D,则口N3CD是正方形

D.若ABLBC,则口18。。是矩形

【变式5-2】（2024秋•莲池区校级期中）下列图形：①一组邻边相等的矩形；②两条对

角线互相垂直的矩形；③有一个角是直角的菱形；④对角线相等的菱形；⑤对角线互

相垂直的平行四边形.其中一定是正方形的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式5-3】（2024秋•深圳月考）下列说法正确的有（）

①一组对边平行的四边形是平行四边形；

②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；

④两条对角线互相垂直的矩形是正方形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式5-4】（2024秋•东明县校级期末）如图，在中，点。，E,厂分别在边2C,

AB,CA±,5.DE//CA,DF//BA.下列四种说法：

①四边形AEDF是平行四边形；

②如果/R4C=90°,那么四边形AEZE是矩形；

③如果平分/A4C,那么四边形尸是菱形；

④如果4DL2C,且N8=/C,那么四边形/矶）下是正方形.

其中，正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式5-5】（2024•黑龙江一模）平行四边形ABCD的对角线/C与2。相交于点。，且

ACLBD,请添加一个条件：,使得平行四边形4BCD为正方形.

【变式5-6】（2024秋•城关区校级期中）如图，平行四边形4BCD中，过工作

于“，交BD于E,过C作CALL/。于N,交BD千F,连结/足CE,那么:

①MBE冬ACDF；

②四边形AECF是平行四边形；

③当时，四边形NECF是菱形；

④当M、N分别是2C、中点时，四边形/MCN是正方形.

则下列结论中正确的有.

【题型六正方形的判定的证明】

【例题6】（2022•邵阳）如图，在菱形N2CD中，对角线/C,3。相交于点。，点E,F

在对角线AD上，且BE=DF,OE=OA.求证：四边形/ECF是正方形.

【变式6-1】（2024秋•太原期末）如图，已知矩形N2CD中，ZBAD和N4DC的平分线

交于2c边上一点E.点尸为矩形外一点，四边形/助尸为平行四边形.求证：四边形

/££）尸是正方形.

【变式6-2】（2024秋•城固县期中）如图，在RtZUBC中，/C=90°,点。为其内一

点，且ND,8。分别平分/8/C,ZABC.若。E_L8C于点E,。尸_L/C于点R则四边

形DECF是正方形吗？请说明理由.

【变式6-3】（2024秋•金水区校级期末）如图，在RtZUBC中，/ACB=90°,D为4B

中点，过点。作交BC于点E,过点/作/尸〃5E,交切的延长线于点凡

连接/E,BF.

（1）判断四边形/仍厂的形状，并说明理由.

（2）当满足条件时，四边形NEAF是正方形.

【变式6-4】（2024秋•滕州市校级期中）如图，已知点E是口的边BC的中点，连

接/E并延长交。C的延长线于点R连接AF.

（1）求证：四边形N8尸C是平行四边形；

1

（2）若力E=,BC,求证：四边形/BFC为矩形；

（3）在（2）条件下，当△/2C再满足条件时，四边形N5尸C为正方形.

F

【变式6-5】（2024秋•中宁县期中）已知：如图，4D是△NBC的角平分线，过点。分

别作/C和AB的平行线，交48于点£,交/C于点?

（1）试判定四边形/£/小的形状，并证明你的结论；

（2）△4BC满足什么条件时，四边形/成）厂是正方形.

【题型七正方形的性质与判定的综合应用】

【例题7】（2023春•汕头校级期中）如图，在四边形/BCD中，ZA=ZB=90°,AB=

BC=4,AD=3,£是边上一点，且/。。£=45°,则。£的长度是（）

C.3.6D.4

【变式7-1】（2024秋•永寿县校级月考）如图，在菱形/5CD中，AB上BC,点E是AD

上一点，过点£作E〃_L3c于点，，点。是E“上一点，过点。作尸分别交

AB、CD于点尸、G,OE=OF,AE<DE.则图中正方形有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式7-2】（2024春•浦北县校级月考）如图，已知四边形/BCD为正方形，AB=2近,

E为对角线NC上一点，连接DE,过点E作斯，。£,交2c的延长线于点尸，以DE,

E尸为邻边作矩形DEFG,连接CG,下列结论结论正确的是（）

A.矩形DEFG是正方形B.2CE+CG=®AD

C.CG=CDD.CE=CF

【变式7-3】（2024春•赣县区校级期末）如图,£、F、M、N分别是正方形48CD四条

边上的点，且

AE=BF=CM=DN

（1）求证：四边形EFAW是正方形；

（2）若AB=7,AE=3,求四边形EKW的周长.

【变式7-4】（2024秋•府谷县期末）如图，四边形N2CD是平行四边形，AB=BC,ABL

2C,点E是边CD的延长线上的动点.连接/£过点C作CFL/E于点?

（1）求证：四边形N8CD是正方形；

（2）当点尸是/£的中点，且CE=8五时，求四边形/BCD的面积.

【变式7-5】(2024秋•榆阳区校级月考)如图，在矩形4BCD中，N24D的平分线交3c

于点E,EFLAD于点、F,OGL/E于点G,OG与斯交于点O.

(1)求证：四边形尸是正方形；

(2)若AD=AE,求证：AB=AG；

(3)在(2)的条件下，已知45=1,求的长.

【变式7-6】(2024春•杭州期中)已知：如图，在正方形4BCD中，E,尸分别是2C,

CD上的点，AE,2厂相交于点尸，并且

(1)如图1,判断/£和8尸的位置关系？并说明理由；

(2)若48=8,BE=6,求2P的长度；

(3)如图2,FM1DN,点尸在线段CD上运动时(点尸不与C、。重合)，四

边形见WP是否能否成为正方形？请说明理由.

图1图2

【题型八正方形中的最短问题】

【，列题8】（2022•资阳）如图，正方形4BCD的对角线交于点。，点E是直线3c上一动

点.若48=4,则/E+OE的最小值是（）

B.2V5+2C.2V13D.2V10

【变式8-1】如图，正方形/BCD的边长为3,点£在上，且CE=1,尸是对角线NC

上的一个动点，则P8+PE的最小值为

【变式8-2】（2022•德州）如图，正方形/BCD的边长为6,点£在8c上，CE=2.点、

M是对角线2。上的一个动点，则EM+CW的最小值是（)

B.3V5C.2V13D.4V13

【变式8-3】如图，正方形N2CD的边长为3五,点、E,尸分别是对角线/C的三等分点,

点P是边AB上一动点，则PE+PF的最小值是（）

C.3V2D.2V5

【变式8-4】（2024秋•莲湖区校级月考）如图，在正方形4BCD中，4B=3,点、E在CD

边上，且。E=2CE,点P是对角线NC上的一动点.则PE+P。的最小值是（）

C.3D.3V2

【变式8-5】（2024•青岛一模）如图，正方形N8CD的边长为6,点£,尸分别为边8C,

CO上两点，CF=BE,AE平分NBAC,连接分别交4E,NC于点G,点尸是

线段NG上的一个动点，过点P作PNL/C,垂足为N,连接尸初，则PM+PN的最小

值为

CD

国限时测评

1.（2024春•玉林期末）如图，已知尸是正方形48CD对角线助上一点，CP平分NACD,

C.67.5°D.77.5°

2.（2024春•海淀区校级期中）如图，在正方形纸片45CZ）上进行如下操作:

第一步：剪去长方形纸条4项加，AE=2；

第二步：从长方形纸片5CFE上剪去长方形纸条CFGHCH=3.

若长方形纸条4£FZ）和WG"的面积相等，则43的长度为（）

AD

BHC

A.5B.6C.7D.8

3.（2024秋•淄川区期末）如图所示，在正方形45CD中，。是对角线4C、助的交点,

过。作OE_LOR分别交48、BC于E、F,若4£=4,CF=3,则环的长为（）

A.3B.4C.5D.6

4.（2024•钱塘区三模）如图，四边形/BCD的对角