2024鲁教版七年级数学上册 专项突破提升（一） 构造全等三角形的方法

专项突破提升（一）构造全等三角形的方法

:90分钟满分：96分

方法一补形法

1.（8分）如图，NB4c=90。，AB=AC,3。是NA3C的平分线，且CELBD,交

3。的延长线于点E.试说明：BD=2CE.

解：如图，延长CE与BA的延长线相交于点F.

因为CELBE,ZBAC=90°,

所以NA3D+NR=90°,ZACF+ZF=9Q°.

所以NA3D=NACE

在△A3。和△ACT中，

(ZABD=^ACF,

IABAC,

=^CAF,

所以△ABD0△ACfXASA).

所以

因为3。是NA3C的平分线，

所以/EBC=/EBF.

在4BCE和△3RE中，

Z.EBC=乙EBF,

BE=BE,

乙CEB=乙FEB,

所以ABCE2ABFE(ASA).

所以CE=EF.

所以CF=2CE.

所以BD=CF=2CE.

2.（8分）如图，/XABC为等边三角形，延长3c到点。，延长B4到点E,使AE

=BD,连接EC,ED试说明：CE=DE.

E

BCD

解：如图，延长3。至点£使DF=BC,连接EF

因为AE=3D,ZkABC为等边三角形，

所以。歹=3C=A3,ZB=60°.

所以AE+AB=BD+DF,即BE=BF.

所以△3ER为等边三角形.

所以Nb=60°,BE=EF.

在AECB和△EDR中，

（BE=EF,

（ZB=乙F,

[BC=DF,

所以AECB义AEDFISAS）.

所以CE=DE.

方法二截长补短法

3.（8分）如图，在△ABC中，ZA=60°,BD,CE分别平分NA3C和NAC3,BD,

CE相交于点。，试判断BE,CD,3C的数量关系，并说明理由.

解：3E+CD=5C理由如下:

A

如图，在3c上取点G,使CG=CD.

因为BD,CE分别平分ZABC和ZACB,

所以/EBO=/GBO,ZDCO=ZGCO.

-11

所以N30C=180。一3NA3C+ZACB)=180°-1X(180°-60°)=120°.

所以ZBOE=ZCOD=6Q°.

在△C。。和△COG中，

伍。=CO,

l^DCO=乙GCO,

[CD=CG,

所以△。。。注△COG(SAS).

所以NCOG=ZCOD=60°.

所以ZBOG=120°-60°=60°=/BOE.

在△BOE和△BOG中，

(乙BOE=乙BOG,

\B0=BO,

(ZEB。=乙GBO,

所以LBOEm△BOG(ASA).

所以3石=36.

所以5E+O)=3G+CG=3C.

4.(8分)如图，在△ABC中，ZA=100°,AB=AC,BE是NA3C的平分线.试

说明：AE+BE=BC.

A

解：如图，延长3E到点匕使BF=BC,连接RC,在3C上取CV=C£连接

EF'.

A

因为A3=AC,NA=100。，

所以NABC=NAC3=40°.

因为BE平分NA3C,

所以/ABE=/EBC=20。.

因为BF=BC,

所以Nb=N3CT=80°.

所以/歹。£=/4。3=40°.

在AFCE和△VCE中，

rCF=CF',

■乙FCE=/.F'CE,

、CE=CE,

所以AFCE2AFCE(SAS).

所以EF=EF',ZEF'C=ZF=80°.

所以N3R'E=100°.

所以NA=/BF'E.

在△ABE和△尸BE中，

Za=乙BF'E,

-ZABE="'BE,

、BE=BE,

所以AABE^△BBE(AAS).

所以AE=EF.所以AE=EF.

所以AE+BE=EF+BE=BF=BC.

5.(8分)如图，在△ABC中，BE,CR分别是AC,A3两边上的高，在3E上截

BD=AC,在CT的延长线上截取CG=AB,连接AD,AG试说明：AD=AG.

解：因为BELAC,CFLAB,

所以ZHFB=/HEC=90°.

又因为NBHF=/CHE,

所以NABD=NGC4.

在△A3。和△GC4中,

(AB=CG,

<匕ABD=^GCA,

[BD=AC,

所以△A3。之△GGUSAS).

所以AD=AG.

6.(8分)如图，在△ABC(ABWAC)中，点。，E在边8c上，MDE=EC,过点

D作DF〃BA,交AE于点RDF=AC试说明：AE平分NBAC.

解：如图，延长EE到点G,使EG=EF,连接CG.

在ADEF和ACEG中，

(ED=EC,

<乙DEF="EG,

(EF=EG,

所以LDEF2△CEG(SAS).

所以。E=GC,NDFE=/G.

因为DF//AB,

所以NDFE=/BAE.

所以NG=NBAE

因为DF=AC,

所以GC=AC.

所以NG=NC4E.

所以NB4E=NCAE,

即AE平分NB4c.

7.（8分）如图，在正方形A3CD中，E为3c上的一点，R为CD上的一点，BE

+DF=EF,求NE4R的度数.

L

BF.C

解：如图，延长E3到点G,彳变得BG=DF,连接AG.

易知在△ABG和△ADR中，

(AB=AD,

<^ABG=UDF=90°,

[BG=DF,

所以AABG^AADF(SAS).

所以/。4歹=/痴6,AF=AG.

因为BE+DF=EF,所以BE+BG=EF,

即EG=EF.

在△AEG和△AER中，

fAE=AE,

■EG=EF,

、2G—AF,

所以AAEG/AAEF(SSS).

所以NE4G=NEAE

因为ZDAF+ZEAF+ZBAE=90°,

所以ZEAG+ZEAF=90°.

所以NE4b=45°.

方法三倍长中线法

8.（10分）如图，在△ABC中，AD是边3c上的中线，E是AD上一点，延长3E

交AC于点E

A

(1)若3E=AC,试说明：AF=EF；

(2)若AR=EF试说明：BE=AC.

解：(1)如图，延长AD到点G,使得AD=DG,连接3G.

因为AD是边3C上的中线，

所以

在△ADC和AGDB中，

CAD=DG,

i^ADC=乙GDB,

\DC=DB,

所以△ADC丝△GDB(SAS).

所以NC4D=NG,BG=AC.

又因为BE=AC,

所以3E=BG.

所以N3ED=NG.

因为ZBED=ZAEF,

所以NAEb=NCAD,

即ZAEF=ZFAE.

所以Ab=EE

(2)如图，延长AD到点G,使得AD=DG,连接3G

G

因为AD是边3C上的中线,

所以

在△ADC和△GD3中,

(AD=DG,

\^ADC=乙GDB,

[DC=DB,

所以△ADC注△GDB(SAS).

所以NC4D=NG,BG=AC.

因为Ab=E£

所以ZAEF=ZEAF.

所以NG=ZAEF=ZBEG.

所以5E=3G.

所以BE=AC.

9.（10分）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,E为CD的中点，连接AE并延

长交的延长线于点R连接3E,且BELAF试说明：

(1)FC=AD；

(2)AB=BC+AD.

解：⑴因为AD〃3C,

所以ZADE=ZFCE.

因为E是。的中点，

所以DE=CE.

在△ADE和AFCE中，

ZADE=ZFCE,

•DE=CE,

^AED—"EC,

所以AADE2AFCE(ASA).

所以FC=AD.

(2)因为△ADE咨△RCE,

所以AE=FE.

又因为BE±AE,

所以NAE3=NRE3=90°,JLBE=BE,AE=FE.

所以AAEB/AFEB(SAS).

所以A3=BE

所以A3=3R=BC+CF.

因为AD=bC,

所以A3=3C+AD.

方法四旋转法

10.(8分)如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=BC,E为△ABC外一点,

且NCE4=45。.试说明：AELBE.

解：如图，过点C作CfUCE交E4的延长线于点F.

因为NCEA=45°,

所以Nb=45°=NCE4.

所以CF=CE.

因为ZFCA+ZACE=ZACE+ZECB=90°,

所以NRC4=NECB

在△PC4和△EC3中，

(CF=CE,

\z.FCA=乙ECB,

14c=BC,

所以AFCA附AECB(SAS).

所以N3EC=NR=45°.

所以ZAEB=ZAEC+ZBEC=90°,

即AELBE.

11.（12分）如图，在△043和△OCD中，04=03,0C=0D,ZA0B=ZC0D

=a,AC,3。交于点M.

A

RM

图1

AD

R2c

图2

A

c

图3

⑴如图1,当a=90。时，NAMD的度数为90。.

(2)如图2,当a=60。时，求NAMD的度数.

(3)如图3,当A0CD绕点0旋转任意角度时，ZAMD与a是否存在着某种确定

的数量关系？若存在，请你用a表示并用图3进行说明；若不存在，请

说明理由.

解：⑴如图1,设0A交BD于点K.

A

RM

图1

因为NA03=NC0D=a,

所以N30D=NA0C.

在△AOC和△30。中，

=OB,

\^AOC=乙BOD,