2025届上海市青浦高三年级下册学业质量调研数学试题（含答案与解析）

绝密★启用前

上海市青浦区2024~2025学年高三下学期学业质量调研

数学试题

（时间120分钟，满分150分）

学生注意：

1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分.

2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.

3.可使用符合规定的计算器答题.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在

答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合A={N2X<1},3={-1,0,1,2},则4口3=

2.函数y=2sinx—3cosx值域是

3.（1-0X）6的二项展开式中项的系数是20,则实数。的值是.

4.如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为.

168

2122

31

5,向量"©IO」⑻在向量6=（0,2025）方向上数量投影是.

6.已知VA3C的角A、B、C对应边长分别为a=4,"=5,c=6,则A=

00

7.数列{叫中，％」%=2。,+1,则t.

8.已知随机变量”M3,⑦。>°）,若PC川=0.9,则P（3gW5）=.

9.已知复数z、w满足Iz|=2,z=（l+i）wG是虚数单位），贝正4+21的最大值是.

10.已知点尸是抛物线上一动点，点Q在圆（x—5）2+/=1上运动，则尸与Q两点间最短距离为

11.道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力

的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如

下假设：

假设1：车身长度均为4.8米；

假设2：所有车辆以相同的速度v（单位：千米/小时）匀速行驶；

假设3：安全距离〃（单位：米）与车辆速度v近似满足d=3.2+0.6522v+°.0h<

该城市道路通行能力的最大值约为.（结果保留整数）

兀

12.如图，正方体AB。。—48cl2绕直线旋转彳，直线42旋转至直线A®,则直线与直线

A3'所成角大小为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14每题4分，第15—16每题5分）每题

有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

71

13.“函数y=sin（x+cp）为偶函数”是“（p=2”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

14.若正数以均不为1,则下列不等式中与“加〉〃”等价的是（）

A*n

B.logflm>logan

C.ma>naD.log,,,a>log,,a

15.一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1,2,3,4.任意掷一次该四面体，观察它与地面

接触面上的数字，得到样本空间。={1,2,3,4},记事件A={1,2},事件8={1,3},事件C={1,4},贝|

A.事件A&C两两独立，事件A,8,C相互独立

B.事件A,5c两两独立，事件A6C不相互独立

c.事件A5c不两两独立，事件AB,C相互独立

D.事件AB,C不两两独立，事件A5c不相互独立

16.数学上用符号表示〃个实数弓吗,…q的积.设不々,…,々00,%,%，…，为00为互不相同的实

1=1

200200

数，已知“(%+力)=2025«=1,2,…,200),贝|“仕+匕)=().

产1i=i

A.-2025B.2025C.-2026D.2026

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要

的步骤.

17.对于函数y=/(x),其中/(x)=logaMa>0,awl).

(1)若函数y=/(x)的图像过点(4,2),求/(2x-2)</(x)的解集；

(2)求证：当q=0■时，存x使得了(尤+1),/(以),/(%+2)成等差数列.

7T

18.如图，已知四棱锥S—ABCO的底面为菱形，ZBAD=-,AS=CS.

3

(1)求证：4。_1_平面8。5；

⑵若AB=2,BS=5DS=l，求四棱锥S—ABCD的体积.

222

19.如图，椭圆G:21■+2=1(0<6<2回与双曲线。2:2->2=1在第一象限的公共点为

4(%,%)(4>。)•曲线「由两段曲线组成：当了<乙时，曲线r与椭圆G重合，当时，曲线r

与双曲线c2重合.

(1)当％=2时，求b的值；

(2)已知人=友，直线/过点。(2,0)与曲线r交于石、E两点,若丽•丽=2,求直线/的方程；

(3)已知42,1),斜率为左(左》1)的直线加过点P(0,D与曲线「交于Af、N两点，若

S.AMN=4tanNMAN,求实数2的最大值.

20.函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数y(实数。为常数)的导函数为y=0；反之，若函

数y=0(x)的导函数为。'(x)=0,贝U0(x)=c(实数C为常数).已知函数y=/(x)与y=g(x)定义域

都是R，导函数分别为y=f(x"Dy=g'(x).若((x)=/(x),则称y=/(x)是“自导函数”；落

f'(x)=g(x)且g'(x)=-/(X),则称y=/(X)与y=g(x)是“共轨互导函数”.

(1)请判断函数丁=6.+二。力^氏。/0)是否是“自导函数”，并说明理由；

(2)若函数y=/(x)“自导函数”，且满足/(0)=1,求证：/(%)/(-%)=1；

(3)若函数y=/(x)与y=g(x)是“共辗互导函数”，满足了(0)=0,g(0)=l,求证：

尸(x)+g2(X)=1.进而证明/(%)=sinx且g(x)=cosX.

参考答案

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分)考生应在

答题纸的相应位置直接填写结果.

1已知集合4={讨2%<1}.3={—1,0,1,2},则4门3=

【答案】{-1,0}

【解析】

【分析】解不等式求出集合4即可求集合的交集.

【详解】解集合A中的不等式2xWl,得

2

AcB就是求既属于A又属于5的元素，所以4门3={-1,。}.

故答案为：{-1,0}

2.函数y=2sinx-3cosx的值域是.

【答案】F-A/13,^/13]

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数求值域即可.

故答案为：[-713,713].

3.（1-ox,的二项展开式中/项的系数是20,则实数a的值是.

【答案】—1

【解析】

【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.

【详解】根据二项式展开式的通项公式[+1

则（1-ax）6展开式中/项为C：x尸x（―公丫，

6!

又。6=3!（6-3）!=2°，贝（I该项为20X（—Q）3%3,

已知d项的系数是20,贝"20x（—a）3=20,即（―。）3=1,

解得a=—1.

故答案为：-1.

4.如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为

168

2122

31

【答案】21.5

【解析】

【分析】将茎叶图中的数据按照从小到大排列后，根据中位数的定义即可求得.

【详解】将这6个数从小到大排列为16,18,21,22,22,31,

21+22

因数据有偶数个，则中位数是中间两个数的平均数，故中位数为-------=21.5.

2

故答案为:21.5.

5.向量Z=(310,118)在向量石=(0,2025)方向上的数量投影是.

【答案】118

【解析】

【分析】根据题意，由数量投影的定义代入计算，即可得到结果.

【详解】因为忖=2025,

向量苕在向量5方向上的数量投影公式为22=aOxO+ll.2025=n8.

\b\2025

故答案为：118

6.已知VA5C的角A、B、C对应边长分别为。=4力=5,c=6,则A=.

3

【答案】arccos-

4

【解析】

【分析】由余弦定理求解cosA,再由反三角函数求得角A.

/22_2

详解】根据余弦定理得cosA=-a,

2bc

52+62-423

把Q=4,Z?=5,c=6代入可得cosA=

2x5x64

3

因为人£（0,兀），所以A=arccosw

3

故答案为：arccos-.

4

00

7.数列｛%｝中，4=1,an=2。什1,贝ij£4=

i=l

【答案】2

【解析】

【分析】由无穷递缩等比数列的求和公式计算.

【详解】％=1，an=2an+l,即工=彳，｛%｝是等比数列，公比为

a2

n+l

故答案为：2.

8.己知随机变量自〜N(3,b2/b〉。)，若P(J21)=O.9,则P(3WJW5)=.

【答案】0.4

【解析】

【分析】由正态分布曲线的对称性求解即可.

【详解】因为随机变量J~N(3,b2kb>0),正态曲线关于％=3对称.

P化>1)=0.9，则P(JW1)=1—0.9=0.1,P(1WJW3)=0.5—0.1=0.4,

根据正态曲线的对称性P(3<^<5)=P(1<^<3)=0.4.

故答案为：0.4.

9.已知复数z、w满足|z|=2,z=(l+i)w(i是虚数单位)，贝力4+2|的最大值是.

【答案】2+四##0+2

【解析】

【分析】由模长运算，可得复数川的模长，根据复数的几何意义与圆的性质，可得答案.

【详解】已知|z|=2,z=(l+i)w,则|zH(l+i)w|=|l+i||w|.

因为|1+“=，心+俨=夜,所以|攻|=I曰zI看=&2=J5，

14+21表示复数W所对应的点到-2所对应的点的距离，

|w|=J5说明W对应的点在以原点为圆心，、历为半径的圆上，

所以|4+2I的最大值为圆心(0,0)到点(-2,0)的距离加上半径，即2+J5.

故答案为：2+0.

10.已知点P是抛物线V=8%上一动点，点。在圆（x-5）2+/=1上运动，则尸与。两点间最短距离为

【答案】2屈-1

【解析】

【分析】因为点P在圆外，P与。两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径,设出点P坐标,

写出距离，再根据二次函数性质即可求解.

C2\

【详解】设抛物线V=8x上的点尸坐标为小,y,

I8）

圆（x—5）2+/=1的圆心为C（5,0）,半径厂=1.

点P到圆心C的距离［=［凹—5］+V=匕12+25+y2=忙」2+25.

虱8）V644""V644"

令则』=匕_—1?+25=J—（?-8?+24-对其求最小值，

V644V64v'

根据二次函数性质，当f=8时，d最小为2c.

则尸与。两点间最短距离为6?.-F=2A/6-1.

故答案为：2Gl.

11.道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力

的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如

下假设：

假设1：车身长度均为4.8米;

假设2：所有车辆以相同的速度v（单位：千米/小时）匀速行驶；

假设3：安全距离d（单位：米）与车辆速度v近似满足d=3.2+0.6522v+0.0hA

该城市道路通行能力的最大值约为.（结果保留整数）

【答案】821

【解析】

【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案

V

【详解】1小时=3600秒，车辆速度v（千米/小时）换算为米/秒是一米/秒.

3.6

1小时内通过的车辆数

V

_________360°.右_________lOOOv_1000

n22

~4.8+3.2+0.6522v+0.01V.8+0.6522v+0.01v.001v+8+06522'

V

根据基本不等式a+b22y/ab（“*>0）,0.01v+—>2.lo.Olvx—=292,

vVv5

8一心3

当且仅当O.Oh="时等号成立.所以2拒八—

v-------1-0.6522

5

即该城市道路通行能力最大值约为821.

故答案为：821.

7T

12.如图，正方体43。。一4瓦£2绕直线旋转直线旋转至直线A8,则直线A8与直线

A3'所成角的大小为.

【解析】

【分析】利用旋转思想把正方体问题转化到圆锥问题来求解即可.

5G

7?

根据AB//A与，可由题意将所求角转化为将4片绕B}D旋转,所得到的直线4A'与4月所成的角，

即可将其转移到圆锥4。中求解，图中直线用。与耳。重合，圆锥母线为4片，如下图：

由旋转g可转化到幺'。％=|,

在正方体中，假设正方体的边长为1,则可知44=1，4。=百，

11

所以cos/A耳。二,即在圆锥中有cos/AiA。sinN^B。二也

也

由A耳二L可得A。—4月sin二

也

由等边三角形。\A'，可得AA'=

,1+1--

在△MH中,由余弦定理,COSNMA'=T=：

从而可得旋转后直线A3'方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为

3

2

所以直线AB与直线A3'所成角的大小为arccos—.

3

2

故答案为：arccos

3

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13—14每题4分，第15—16每题5分)每题

有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.“函数y=sin(x+cp)为偶函数”是“(p=弓”的

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：0=会时，y=sin(x+0)=cosx为偶函数；若j=sin(x+0为偶函数，则0=左

冗

71H---kWZ;选B.

2

考点：1三角函数的性质；2充分必要条件.

14.若正数均不为1,则下列不等式中与“加〉〃”等价的是()

mn

A.a>aB.logam>logfln

C.ma>naD.log,,,a>log/

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可逐一排除A,B项，通过举反例排除D项，利用幕函数的单调

性可推理C项正确.

【详解】对于A,当0<a<l时，函数y="单调递减，由相>〃可得优"<屋，故A错误；

对于B,当0<。<1时，函数y=log4％在(0,+8)单调递减，由机>72>0可得log“〃2<log0〃，故B错

误；

对于C,因〃2>0,〃>0,。>0,函数y=x"在(0,+8)上单调递增，由加>〃>0,可得税"〉",由"/>na，

也可得形〉"，故c正确；

对于D,若取加=4,〃=2,a=8,显然满足正数名均不为1,且相>"，

3

但log,”a=log48=-<log0a=log28=3,即log.,a>log,,a与m>n不等价，故D错误.

故选：c.

15.一个质地均匀正四面体，四个面上分别标有数字1,2,3,4.任意掷一次该四面体，观察它与地面

接触面上的数字，得到样本空间。={1,2,3,4},记事件A={1,2},事件8={1,3},事件C={1,4},则

()

A.事件A&C两两独立，事件A,5c相互独立

B.事件A5c两两独立，事件不相互独立

C.事件A5c不两两独立，事件A3,C相互独立

D.事件A&C不两两独立，事件A5C不相互独立

【答案】B

【解析】

【分析】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误.

212121

详解】由题知：P(A)=-=-,P(B)=—=—,P(C)=—=—,

424242

P(AB)=-,P(AC)=-,P(BC)=-,P(ABC)=~.

4444

因为P(AB)=-=P(A)P(B),P(AC)=-=P(A)P(C),P(BC)=-=P(B)P(C),

444

所以事件A&C两两独立；

但P(ABC)=-^P(A)P(B)P(C)=所以事件A,B,C不相互独立.

48

故选：B.

16.数学上用符号n4表示〃个实数4吗，…M"的积•设。吐2,…，尤200,%，内，・•・，为00为互不相同的实

1=1

200邓

数，已知nq+")=2025«=l,2,…,200),贝仕+匕)=()-

7=1/=1

A.-2025B.2025C.-2026D.2026

【答案】A

【解析】

【分析】定义多项式P«)=n('+X)，每个工,•都是方程。⑺—2025=0的根，可分解为

7=1

200

P⑴-2025=匕口0求出左联立即可求解.

i=l

【详解】定义多项式。（/）=n«+”），

7=1

当/1=%时，尸（xj=2025,

即每个天都是方程尸⑺-2025=0的根，

多项式尸⑺一2025有200个根玉,々，…，Zoo，

200

因此可分解为尸⑺-2025=H。一七），

i=l

由于PQ）的最高次项系数为1,

比较两边最高次项系数可得k=l,

200

故P⑺_2025=n（―%），

i=l

当”-X时，左边为P（一匕）-2025=n（—y+匕，）一2025,

/=!

当了=/时，一匕+匕=0，

因此n（—»+匕，）=。，

7=1

代入得左边值为-2025,

右边此时为n-=（-1严n（%+匕）=n（%+匕），

z=li=li=l

200

联立左右两边得口（%+匕）=一2025.

i=l

故选：A.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要

的步骤.

17.对于函数y=/（%）,其中/（x）=logaX（a>0,awl）.

（1）若函数y=/（x）的图像过点（4,2）,求/（2x-2）</（x）的解集;

(2)求证：当。=后时，存在无使得了(尤+1),/(依),/(九+2)成等差数列.

【答案】⑴(1,2)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求出函数解析式，利用单调性解不等式即可；

(2)利用等差中项的性质可得2(l+log虚x)=log0(x+l)+log0(x+2),根据对数运算化简可得

log^(2x2)=log^(x2+3%+2),所以2好=r+3%+2,即3%—2=0，由判别式可知方程有解,

即可得证.

【小问1详解】

己知函数y=/(x)=log”x的图像过点(4,2),

所以log〃4=2,即/=4，因为a>0,awl,所以。=2,

则/(x)=log2%.

函数/(x)=log2x的定义域为(0,+co),且在定义域上单调递增.

2x—2>0

由/(2x-2)</(x)可得卜〉0,

2x-2<x

解得1<%<2,所以不等式的解集为(L2).

【小问2详解】

当a=及时，/(x)=log0x,f(x+1)=log点(x+1),

/(依)=log应(&尤)=log发+log应％=1+log应x,f(x+2)=log后(九+2).

若/(%+1)、/(ax)、/(%+2)成等差数列,则2/(ax)=/(x+l)+/(x+2),

即20+log应x)=log④(x+1)+log息x+2).

所以2+2log6x=log^[(x+l)(x+2)],

即log点(0)2+log应尤2=10g0(%2+3X+2),

BPlog(2x2)=log^(x2+3%+2),则2/=尤2+3%+2,移项可得必一3%—2=0.

对于一元二次方程V—3%—2=0，△=(—3)2—4x(―2)=9+8=17〉0,

所以方程有实数解，即存在彳使得了(九+1)、/30、/(%+2)成等差数列.

7T

18.如图，已知四棱锥S—ABCD底面为菱形，ABAD——,AS=CS.

3

(1)求证：AC，平面BOS；

(2)若AB=2,3S=6,DS=1，求四棱锥S—ABCD的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【解析】

【分析】(1)由菱形与等腰三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直判定，可得答案；

(2)由菱形的性质与勾股定理，根据(1)可分割三棱锥的底与高，结合体积公式，可得答案.

【小问1详解】

设AC与BO相交于点。，

因为底面ABCO为菱形，所以AC/BD,且。为AC、3D中点.

又因为AS=CS,所以SOJLAC,SOc30=0,SO、BDu平面BOS,

所以AC，平面BOS.

【小问2详解】

jr

因为底面ABC。是菱形，Z.BAD——,AB=2,所以△A8Z）是等边三角形，则JBD=AB=2.

3

在ABDS中，BS=®DS=1,BD=2,满足+OS?=，

根据勾股定理逆定理可知/BSD=90°，即SO，SB.

由（1）知AC_L平面8DS,所以匕—ABC»=QS菱形ABCD'S°，S菱形股。。=2SAABL>=2xx2?=26•

BSDS

在Rt^BDS中，SO==^211=^1,则匕^x2gx@=l.

BD22sc32

222

19.如图，椭圆G：21■+2=1(0<6<2回与双曲线。2：器->2=1在第一象限的公共点为

4(%,%)(%>0)•曲线「由两段曲线组成：当了<4时，曲线r与椭圆G重合，当时，曲线「

与双曲线c2重合.

(1)当％=2时，求)的值；

(2)已知人=夜，直线/过点。(2,0)与曲线r交于E、E两点，若彷丽=2,求直线/的方程;

(3)已知42,1),斜率为左(左》1)的直线机过点尸(0,1)与曲线「交于河、N两点，若

S.AMN=atanNMAN,求实数几的最大值.

【答案】(1)b=E；

(2)x=2；

14

(3)4最大值为

【解析】

【分析】(1)将％=2,分别代入椭圆及双曲线方程求解即可；

(2)设直线方程为，=攵(％-2),联立椭圆或双曲线方程，结合韦达定理，向量数量积的坐标运算即可求解;

1___,__.

(3)由S*MN=%tanNMAN得到％==—再判断出直线与双曲线右支无交点，从而转化为直

1----.—.

线与椭圆交于河,N两点，利用韦达定理将A==-AM-AN表示为斜率左的函数求最值即可.

2

【小问1详解】

222

如图，已知当乙=2时，点4(2,%)为椭圆G：三-+£=1(0<6<20)与双曲线。2：£-V=1在第

一象限的公共点.

22

2V即，解得y2=C.

将龙=2代入椭圆方程得上+勺=1,1+4=1

8b-2b-2

cb122b14b1

把x=2,/=幺代入双曲线方程之一幺=1,整理得4―2=1

2b~2b42

4t

设f=〃(r〉O),则-----=1,

t2

即8—『=2/,/+2f—8=0,«+4)«—2)=0,

解得f=2或/=T(舍去)，所以尸=2,

即Z?=^/2-

【小问2详解】

222

当人=应时，椭圆6：工+匕=1,双曲线。2：二r=i.

822

[22

—+—=1

82

联立

%22

|万7=11

解方程组求交点A的坐标.

22

由土+乙=1得尤2+49=8,

82

由]—丁=1得2/=2,

两式相减消去/得6y2=6,V=1,

代入双曲线方程得/=4，

因为点A在第一象限，所以42,1).

设£(%，%)，/(%2,%)•

Al5=(0,-l),EF=(x2-xl,y2-yl),

由赤•丽=2得一(％一%)=2，即X—%=2.故以〉为，

当直线/斜率不存在时，直线/方程为尤=2,

此时而=(0,-1),则石(2,1)*(2,—1),

乔=(0,-2),莅•丽=2成立.

当直线/斜率存在时，由题知交点及E必定在直线尤=2两侧，即左侧为/与椭圆的交点，右侧为直/与双

曲线的交点，易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段QAQ(0,J5)之间时，％〉力=1，此时

上＜-1，故%-%=2不可能，舍去;

尤2的渐近线方程为、=±

因为双曲线。2：］-V=15；1,

故直线QD:y=-4%+应与双曲线。2：［-丁=1没有横坐标大于2的交点,

即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去；

同理：当直线/与椭圆交于x轴下方时，也舍去，

综上：直线/方程为九=2,

【小问3详解】

f2元2

如图，已知42,1),由(1)知椭圆4：上+匕=1,双曲线--/=1.

822

直线m过点P(O,1)且斜率为k(k>1),则直线m的方程为y=kx+l.

设”(玉,(孙％)，由凡丽=2tanNAMN,

1—.—.

根据三角形面积公式

SAAMN=-\AM\-\AN\sinZMAN,

则!|丽|•IAN\sinZMAN=2smZMAN,

2cos/MAN

W-W=(x1-2,y1-l).(x2-2,y2-l)=(x1-2)(x2-2)+(y1-l)(y2-l)

=(石_2)(9—2)+XyX2=(k~+1)%%—2(%+/)+4,

J?

因为双曲线的渐近线方程为y=±三x,而左21,

故直线y=就+1与双曲线右支无交点，

故M,N均为直线y=Ax+l与椭圆的交点，

y=kx+l

联立%2y2,

+一=1(x42)

、o2

贝|」(4左2+1K2+8&一4=0,

,8k4

则n%,+%,=---；——，％%,=------；——，

1-4^+11-4k~+1

—4(左2+1)16左，一4/一4+16左+16左2+412^+164°\6k-3

AM-AN=—~-+—；—+4=---------；------------=——5-----=3+—5—

4^+1442+14产+14产+14V+1

令。=16左一3213,左=等

=3+64

n.W-AiV=3+----\------=3+—^-

则4(2/+1/+6/+73

16J

•••(/+二73)'=1一7一3＞0在后13时成立，故/+1,3单调递增且/+上13〉0,所以3+——73女递减,

tttt(+7+6

_____28

所以当。=13次=1时加.丽取得最大值g,

1.—.

又X=_AAf万

2

14

所以几的最大值为二.

20.函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数y(实数c为常数)的导函数为y=o；反之，若函

数y=0(x)的导函数为。'(x)=0,贝U0(x)=c(实数c为常数).已知函数y=/(x)与y=g(x)定义域

都是R,导函数分别为y=f⑴和尸8口).若((x)=/(x),则称y=/(x)是“自导函数”；落

/'(%)=g(x)且g'(x)=-f(x),则称y=/(x)与y=g(x)是“共轨互导函数”.

(1)请判断函数y=e"+〃(eR,awO)是否是“自导函数”，并说明理由;

(2)若函数y=/(x)是“自导函数”，且满足函(0)=1,求证：/(%)/(-%)=1；

(3)若函数丁=八%)与丁=8。)是洪辗互导函数”，满足/(0)=0,g(0)=l,求证：

/2(X)+g2(X)=1.进而证明/(%)=sin尤且g(x)=COSX.

【答案】(1)当。=1时，y=eQ+"是“自导函数”；当awl时，y=不是"自导函数，，；理由见解析

(2)证明见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据复合函数求导后利用函数新定义分析即可；

(2)利用自导函数的定义构造函数/(%)=/(X)/(—力，再求导即可推理得证.

(3)由共轨互导函数的定义对［/2(x)+g2(尤)］进行求导运算可证明/2q)+g2(x)=l,并确定

/(x),g(x)的一个解，再证明唯一性即可..

【小问1详解】

对、=6*+6求导，根据复合函数求导公式(e")'=e"-/,

令n=ax+b,则y'=(ox+Z?)'e1K+"=ae3".

若丁=*+〃是“自导函数"，则y'=y,即优如&=y+)，

因为1+6/0,所以。=1.

故当。=1时，、=6批+"是"自导函数”；当awl时，丁=6批+"不是"自导函数

【小问2详解】

因为函数y=/(x)是“自导函数”，所以尸(x)=f(x),同时/'(—%)=/(—%),

记*》)=/(X)/(—x),求导得

F'(%)=f(x)=(―x)—/(x)/(―x)=0,

由题干条件可知/(x)=c(实数c为常数)，又/(0)=1,

所以网o)=/(o)〃—0)=1,故C=l,于是〃X)/(T)=L

【小问3详解】

设G(x)=/2(x)+g2(x),

由复合函数求导公式(t?)-2u-u'可得G[x)=[/(x)+g2(%)]=2/(x)/，(x)+2g(x)g[x),

因为函数y=/(x)与y=g(x)是“共辗互导函数”，所以f\x)=g(x)且g'(x)=-/(x),

于是G'(x)=2/(x)g(x)—2g(x)/(x)=0,故G(x)=c(实数c为常数)，

mG(o)=f(O)+(o)=1,所以产(x)+g2(x)=l.

下证/(x)=sin%且g(x)=cosx：

首先容易验证/(无)=5也%和8。)=8$》是一对满足条件的“共辗互导函数”，

接着证明满足条件的函数只有/(x)=sin%和g(x)=cosx,采用反证法，

假设除了/(%)=sinx和g(x)=cosx外，还存在满足条件的一对“共辗互导函数"y=4(％)和y=&(%),

即fi(x)=&(%)且8iW=~fi(%),同时满足fi(0)=0,4(0)=1,

令"(x)=于[(x)sinx+gj(x)cosx,

则M(%)=/(x)sin1+工(x)cos1+g1(x)cos%—g1(x)sinx=&(x)sinx+工(x)cosx-fx(x)cosx-gx(x)sinx=0,

于是M%)=c(实数。为常数)，又“(0)=1,所以M%)=1,即工(x)sinx+g](x)cosx=l①，

同理可令[x)=<(x)cosjr—gi(x)sinjr,则

/(x)=工(x)cos-工(x)sinx—4(x)sinx-gx(x)cosx-0,

于是于是f(x)=c(实数C为常数)，又(0)=0,所以(x)=0,即工(x)cosx—g](x)sinx=0②，

由①②可得<(x)=sin羽g](x)=cosx,由此，满足条件的“共软互导函数”只有一对，

所以/(尤)=sin%且g(x)=cosx.

机密★启用前

2024学年第二学期高三年级学业质量调研

物理试卷

(时间60分钟，满分100分)

考生注意：

1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、学校、准考证号。

2.选择题的作答必须用2B铅笔涂在答题纸上相应区域内与试卷题号对应的位置，需要更改时,

必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。主观题的作答必须用黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上

与试卷题号对应的位置。

一、玩具枪(13分)

玩具枪是儿时的美好回忆，为了保证玩具枪的安全性，公安部对玩具枪的“比动能”(即子弹或炮弹的动能与

其最大截面积的比值)作出了规定，要求其数值须小于0.16。基于此，物理兴趣小组尝试通过测量塑料弹丸

的速度来鉴别某玩具枪是否合规。

1.根据“比动能”的定义，请推断该物理量的单位为()

依NkgN

A.—-B.—-C.—D.—

S“S”Ss

2.小组设计的实验装置如图所示。所用器材有：玩具枪及弹丸、装有挡光片的小车、轨道、光电门、数字

式游标卡尺、电子秤等。实验步骤如下：

光电门8光电门/

•I「唠绅玩具枪管

.小车

左轨道右

（1）用电子秤分别测量小车的质量㈣和弹丸的质量机2；

（2）用游标卡尺测量出挡光片宽度与；

（3）平衡小车沿轨道滑行过程中的阻力。在轨道上安装光电门A和8,让装有挡光片的小车以一定初速度

由右向左运动，若测得挡光片经过48的挡光时间分别为13.56ms、17.90ms,则应适当调高轨道的

（填“左”或“右”）端。经过多次调整，直至挡光时间相等；

（4）让小车处于A的右侧，枪口靠近小车，发射弹丸，使弹丸沿轨道方向射出并粘在小车上，小车向左运

动经过光电门A,测得挡光片经过A的挡光时间"；

（5）改变挡光片的宽度，重复实验，并作出“。一‘。图线，如图所示，若图线斜率为左，则弹丸速度大小”=

（用k、网、和表示）

3.小组测出弹丸离开枪口的速度大小为°2m/s,弹丸的质量为°2g,直径为6mm,请判断该玩具枪是

否合规？（选填“是”或“否”）判断的理由：o

二、发电设备（20分）

发电设备是指将其他形式的能源转换为电能的装置。生活中的发电设备具有结构简单、体积轻便、生活常见

等特征。

4.图甲为某“自发电”无线门铃按钮，其“发电”原理如图乙所示。按下门铃按钮过程，磁铁靠近螺线管；松

开门铃按钮过程，磁铁远离螺线管回归原位。下列说法正确的有（）

「孥鸳禀"空按下按钮

IINWJ号按钮

pQ

乙

A,按下按钮过程，螺线管受到向右的磁场力

B.松开按钮过程，。端的电势更高

C.按住按钮不动，螺线管中产生恒定的感应电动势

D.按下和松开按钮过程，螺线管对磁铁的力方向相反

5.手摇式发电机是登山爱好者必备的物品，其原理示意图如图所示。一单匝半圆形金属线圈处在磁感应强

度方向垂直纸面向里的匀强磁场中，通过导线与灵敏电流计组成回路，现使手柄以一定的转速从图示位置

A.产生的是交变电流

B.此时磁通量变化率最大

C.转过90。时感应电流的方向发生变化

D.转过90°时产生的感应电流最大

6.如图所示为一台微型水力发电机，其进水口接到家里的水龙头。打开水龙头阀门，发电机输出的电能恰

好使额定功率为2W的小灯泡正常发光。测得进水口水的流速为4