2025年北京市燕山区中考数学一模试卷

2025年北京市燕山区中考数学一模试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.（2分）如图，直线a〃6,点8在直线a上，AB1BC,若Nl=40°,则/2的度数为（)

C.80°D.140°

3.（2分）实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

ab

_______1.1.1]■]I»

-10123

A.6z+Z?<0B.ab>0C.|«|<|Z?|D.-1

4.（2分）若关于尤的一元二次方程f-3x+m=0有两个相等的实数根，则实数机的值为（）

9

4A9

A.—B.—QC.—D.--?

9944

5.（2分）不透明的袋子中仅有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小

球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是绿球的概率是（）

1113

A.—B.-C.一D.一

4324

6.（2分）2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的IGbps提升到lOGbps.其

中lOGbps表示每秒传输IO10（bit）的数据.若我们的科技“再提速”到10G牺的10倍，达到每秒加

（bit）,则m的值为（）

A.IO10B.1OOX1O10C.0.1X1011D.1011

7.（2分）下面是“作一个B'C,使得B'C也△ABC”的尺规作图方法.

(1)作一条线段A'B'=4&

(2)以A'为圆心，AC长为半径画弧，以夕为圆心，8c长为半径画弧，两弧交于点C'；

'之ZXABC.

)

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

8.（2分）如图，在△ABC中，于点。，只需添加下面三个条件中的一个即可证明△ABC是直角

三角形.

@ZA+ZBCD=ZADC；

^ADCD

③—=—.

CDBD

所有正确条件的序号是（）

C.②③D.①②③

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若代数式一一在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

x-1

10.（2分）分解因式2根2〃-2n=.

21

11.（2分）方程+-=0的解为__________.

x-3x

-“

12.（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y=H0）的图象经过点（xi,2）和（%2,〃），若xi+%2

=0,则n的值是

13.（2分）某社区医院六月份有300名女教师做体检，医生从中随机抽取10名女教师计算了它们的体重

指数，得到的数据如下:

24.823.023.523.925.2

18.922.119.722.417.3

当体重指数参考值x依租2满足i8.5WxW23.9时，评定为标准体重.根据以上数据，估计这300名女教

师中标准体重的人数是

14.（2分）如图，。。的直径AB平分弦CD（不是直径），若NACD=55°,则ND=

15.（2分）如图,正方形A3C。的对角线相交于点。，点。又是正方形A181QO的一个顶点，且这两个

正方形的边长都是2.正方形ALBI。。绕点。转动，两个正方形重叠部分的面积为

%

16.（2分）某汽车的变速箱有1〜6号齿轮受电脑程序控制，自动啮合传动，这些齿轮在工作中的程序是:

如果1号转动，那么2号转，但是5号停；如果2号或者5号转动，则4号停；3号和4号可以同时转，

不能同时停；5号和6号必有一个在转动.若1号齿轮转动，则同时转动的另外三个齿轮

是_______________

三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分,

第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）计算：|一2百|+4s出30。一（3—兀）°一仍2

3（%+1）〉x

18.（5分）解不等式组工+9'

>2x

a2-2ab+b2

19.(5分)已知a-b-3=0,求代数式的值.

2(a—2b)+2b

20.（6分）如图，在四边形A8CD中，8。为一条对角线，AD//BC,AD=2BC,ZABD=90°,后为人。

的中点，连接BE.

(1)求证：四边形BCDE为菱形；

(2)连接AC,若AC平分/BA。，BC=1,求AC的长.

21.(6分)在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补

贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台8型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，

又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求：

(1)A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？

(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？

22.(5分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数(左为常数，ZW0)的图象由函数y=寺刀的图象

平移得到且与>=彳+根的图象交于点A(3,2).

(1)求左，b,m的值；

(2)当尤>3时，对于尤的每一个值，函数y=〃x(〃W0)的值既大于函数的值，也大于函数

y=x+〃z的值，直接写出〃的取值范围.

23.(5分)某校“it节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段.

(1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行

整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

a.教师评委打分：

85,86,88,90,90,91,92,94

b.学生评委打分的频数分布直方图如下(数据分4组：第1组80Wx<85,第2组85Wx<90,第3组

90Wx<95,第4组95Wx<100)

c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：

平均数中位数众数

教师评委89.590m

学生评委90.2n93

根据以上信息，回答下列问题：

①教师评委打分的众数相=，〃的值位于学生评委打分数据分组的第组；

②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为元，贝氏89.5

(填“＞，，“=”或，，＜，，)；

(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制).对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均

数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给

进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：

评委1评委2评委3评委4评委5

甲9092908991

乙9091899091

丙92899191k

若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是，表中左"为整

24.(6分)如图，在△ABC中，ZACB=90°,点。在A8上，以为直径作O。与BC相切于点E，

连接DE并延长交AC的延长线于点F.

(1)求证：NF=/ODE；

(2)若tan/AOE=2,CF=2,求。。的半径的长.

F

25.(5分)某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的。G。'部分为一段抛物线，顶点G的高

度为8米，它两侧和A'D'是高为5.5米的支柱，0A和为两个方向的机动车通行区，宽都

为15米，线段C。和C'D'为两段对称的上桥斜坡，其坡度(即垂直高度与水平宽度的比)为1：4.以

CC所在直线为x轴，横断面的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.

(1)求桥拱所在抛物线的解析式及0C的长；

(2)BE和次E'为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A'B'为两个方向的行人及非机

动车通行区.直接写出宽AB的长度；

(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米.今有一大型运货汽

车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米.它能否从桥下区域

安全通过？请说明理由.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+fcr+cQW0)经过点A(2,c).

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)点、M(A-2a,yi),N(rt+2,”)在抛物线上.若,<丫1<”，求a的取值范围.

27.(7分)在△ABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,将线段AC绕点A逆时针旋转a(0°<a<60°)

得到线段AD点。关于直线的对称点为E,连接AE,DE,BE.

(1)如图1,当a=60°时，用等式表示线段AE与8。的数量关系，并证明;

(2)连接依题意补全图2,若直接写出a的大小，并证明.

图1图2

28.(7分)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,对于OO的弦和。。外一点P,给出如下定

义：若直线P4,依都是O。的切线，则称点尸是弦AB的“关联点

(1)已知点A(1,0).

①如图1,若。。的弦=在点心(1,b)，P式1,1),P3(l,一1)中，弦AB的“关联点”

是;

②如图2,若点B&,-学)，点尸是。。的弦的“关联点”，直接写出线段48,线段OP的长；

(2)已知点C(3,0),线段跖是以点C为圆心，以1为半径的OC的直径，对于线段EF上任意一

点S,存在OO的弦AB,使得点S是弦AB的“关联点”.当点S在线段EF上运动时，将其对应的弦

AB长度的最大值与最小值的差记为3直接写出/的取值范围.

图1图2

2025年北京市燕山区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BBCCADAB

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【解答】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意;

B,图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

。、图形是轴对称图形，不是中心对称图形,不符合题意，

故选：B.

2.（2分）如图，直线点8在直线。上,AB±BC,若Nl=40°,则N2的度数为（）

B________________

A.40°B.50°C.80°D.140°

【解答】W：VABXBC,

：.ZCBA=90°，

B

.•.Z3=180°-ZCBA-Zl=180°-90°-40°=50°,

'：allb,

.•.N2=N3=50°,

故选：B.

3.（2分）实数a,。在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

ab

_______1.1.11.1I»

-10123

A.a+b<0B.ab>QC.\a\<\b\D.a<-1

【解答】解:观察数轴得：a+b>0,ab<0,\a\<\b\,a>-1,

故48。错误，C正确，

故选：C.

4.（2分）若关于尤的一元二次方程7-3x+，，z=0有两个相等的实数根，则实数相的值为（）

4499

---C---

A.9B.94D.4

【解答】解：根据题意得4=（-3）2-4m=0,

9

得

解-

4

故选：C.

5.（2分）不透明的袋子中仅有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小

球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是绿球的概率是（）

1113

A.—B.—C.—D.—

4324

【解答】解：列表如下：

红绿

红（红，红）（红，绿）

绿（绿，红）（绿，绿）

共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是绿球的结果有1种,

1

・•・两次摸出的都是绿球的概率为一.

4

故选：A.

6.(2分)2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的IGbps提升到lOGbps.其

中lOGbps表示每秒传输IO10(bit)的数据.若我们的科技“再提速”到lOGbps的10倍，达到每秒加

(bit),则m的值为()

A.IO10B.1OOX1O10C.0.1X1011D.1011

【解答】解：101°X10=1011(bit),

则m=10n,

故选：D.

7.(2分)下面是“作一个B'C,使得B'Cg△ABC”的尺规作图方法.

(1)作一条线段A'B'=AB；

(2)以A'为圆心，AC长为半径画弧，以次为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C'；

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

【解答】解：由作图可知AC=A'C,AB=A'B',BC=B'C,

在△ABC和B'C中，

rAC=A'Cr

-AB=A'B'，

、BC=B'C

：.△ABC^AA/B'C(SSS).

故选：A.

8.(2分)如图，在AABC中，于点。，只需添加下面三个条件中的一个即可证明△ABC是直角

三角形.

①NA=NBCD；

@ZA+ZBCD=ZADC；

^ADCD

③--=---.

CDBD

所有正确条件的序号是()

C

一

ADB

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【解答】解：①：craaB,

AZADC^ZBDC^90°,

?.ZB+ZBCD=90°,

'：ZA=ZBCD,

：.ZA+ZB=90°,

：.ZACB=180°-(ZA+ZB)=180°-90°=90°,

...△ABC是直角三角形，

故①符合题意，

ZA+ZBCD=ZADC,

：.ZA+ZBCD=90°,

VZB+ZBCD=9Q°,

NA=/B,

不能证明NACB是90°,

故②不合题意，

③：/AZ)C=/B£)C=90°,

ADCD

CD~BD'

：.AADC^ACDB,

ZA=ZBCD,

由①可知，△ABC是直角三角形,

故③符合题意，

・・・可证明△ABC是直角三角形只需添加的条件有①或③,

故选：B.

二、填空题（共16分，每题2分）

1

9.（2分）若代数式一:在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

x-1

【解答】解：若代数式上在实数范围内有意义，

X-1

则X-1W0,

即x#1,

故答案为：x^l.

10.（2分）分解因式为后"-2〃=2n（加+1）（加-1）.

【解答】解：2m1n-2n=2nGrr-1）=2«（m+1）（m-1）,

故答案为：2”（m+1）（w-1）.

21

11.（2分）方程--+-=0的解为x=l.

x-3x

【解答】解：原方程去分母得：2x+x-3=0,

解得：尤=1,

检验：当x=l时，x（%-3）W0,

故原分式方程的解为x=l,

故答案为：x=l.

12.（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y=亍（々H0）的图象经过点（羽，2）和（%2,n）,若xi+x2

=0,则n的值是-2.

【解答】解：Vxi+X2=0,

••%2=一XI，

k

•.,函数y=1（/cH0）的图象经过点（xi,2）和（12,〃），

kk

•.c•Z,-/c-,Yl----=----，

x1—x1x1

•*Tl~~12.

故答案为：-2.

13.（2分）某社区医院六月份有300名女教师做体检，医生从中随机抽取10名女教师计算了它们的体重

指数，得到的数据如下：

24.823.023.523.925.2

18.922.119.722.417.3

当体重指数参考值x像相2满足i8.5WxW23.9时，评定为标准体重.根据以上数据，估计这300名女教

师中标准体重的人数是210人.

【解答】解：估计这300名女教师中标准体重的人数是300x^=210（人），

故答案为：210人.

14.（2分）如图，的直径平分弦C。（不是直径），若NACD=55°,则35°.

【解答】解：设A8与C。相交于点E,

OO的直径AB平分弦CD（不是直径），

：.AB±CD,

：.ZAEC=90°,

VZACD=55°,

ZA=90°-ZACD=35°,

・・・NA=NZ）=35°,

故答案为：35.

15.（2分）如图，正方形ABC。的对角线相交于点O,点。又是正方形431QO的一个顶点，且这两个

正方形的边长都是2.正方形48100绕点。转动，两个正方形重叠部分的面积为1.

AD

一

C1

【解答】解：・・•四边形ABC。为正方形，

：.ZOAB=ZOBF=45°,OA=OB,

BO±AC,gpZAOE+ZEOB=90°,

又•:四边形AiBiCiO为正方形，

ZAiOCi=90°,^ZBOF^ZEOB=90°,

・•・/AOE=/BOF,

在△AOE和△BO尸中，

rZAOE=ZBOF

OA=OB，

^Z-OAE=Z-OBF

：.AAOE^ABOF(ASA),

,**5两个正方形重叠部分=5/\3。£+3480斤,

又•S/\AOE=S/\BOF9

._1

・•S两个正方形重叠部分—S/\ABO=4x2x2=1.

故答案为：1.

16.(2分)某汽车的变速箱有1〜6号齿轮受电脑程序控制，自动啮合传动，这些齿轮在工作中的程序是：

如果1号转动，那么2号转，但是5号停；如果2号或者5号转动，则4号停；3号和4号可以同时转，

不能同时停；5号和6号必有一个在转动.若1号齿轮转动，则同时转动的另外三个齿轮是一2号，3

口.(p.

节，6节.

【解答】解：若1号齿轮转动，那么2号转，但是5号停；2号转动了，则4号停了；

,；3号和4号可以同时转，不能同时停，

二3号转动,

5号和6号必有一个在转动，5号停了，

；.6号必在转动，

综上，转动的另外三个齿轮为：2号，3号，6号,

故答案为：2号，3号，6号.

三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分,

第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）计算：|一2次|+45讥30。一（3—兀）°一61.

【解答】解：原式=2A/^+4x号-1-2V5

=2V3+2-1-2V3

=1.

3（X+1）>x

18.（5分）解不等式组工+9

>2x

【解答】解：由不等式3（x+1）>x,得x>-|,

1X+9

由不等式-2>2%,得％<3,

所以不等式组的解集为-|<x<3.

a2—2ab+b2

19.（5分）已知〃-。-3=0,求代数式―—的值.

2（a-2b）+26

【解答】解：3=0,

•'.a-b=3,

(7)

2a—2b

(a—b)乙

2(a—b)

a-b

~2~

20.（6分）如图，在四边形ABC。中，3。为一条对角线，AD//BC,AD^IBC,ZABD=90°,E为AD

的中点，连接BE

（1）求证：四边形8CDE为菱形；

（2）连接AC,若AC平分NBA。，BC=1,求AC的长.

【解答】（1）证明：・・・AD=25C,E为AO的中点,

：.DE=BC,

9：AD//BC,

・•・四边形BCDE是平行四边形，

VZABD=90°,AE=DE,

；・BE=DE,

・・・四边形BCDE是菱形.

(2)解：连接AC.

'：AD//BC,AC平分NBA。，

・•・ZBAC=ZDAC=ZBCAf

：.AB^BC=1,

VAD=2BC=2,

1

sinZADB=

：.ZADB=30°,

ZDAC=30°,ZAZ)C=60°,

在RtZXAC。中，VAZ)=2,

：.CD=1,AC=V3.

21.(6分)在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补

贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台8型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，

又知8型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求：

(1)A型洗衣机和2型洗衣机的售价各是多少元？

(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？

【解答】解：(1)设A型洗衣机的售价为尤元，8型洗衣机的售价为y元.

根据题意可列方程组：｛；3%x+13%y=351'解得：(y=1600

答：A型洗衣机的售价为1100元，8型洗衣机的售价为1600元.

(2)小李实际付款为：1100X(1-13%)=957(元)；

小王实际付款为：1600X(1-13%)=1392(元).

答：小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元.

22.(5分)在平面直角坐标系。中，一次函数尸质+b"为常数，20)的图象由函数丫=9的图象

平移得到且与y=x+机的图象交于点A(3,2).

(1)求％,b,m的值；

(2)当无＞3时，对于x的每一个值，函数y="(九W0)的值既大于函数)=辰+。的值，也大于函数

y=x+加的值，直接写出九的取值范围.

【解答】=解：(1):一次函数y-=履+6的图象由函数y=%的图象平移得到，一次函数图象平移时

%的值不变，

k=

・・・一次函数尸"+/?过点人(3,2),且上热将点A(3,2)和女代入尸质+6中，可得2=/3+4

\・y=x+机的图象过点A（3,2）,将点A（3,2）代入y=x+机中，可得2=3+如

，解得m=-1；

1

（2）由（1）知》=可%+1,y=x-l,

当x>3时，的值既大于y=g+1的值，也大于y=%-l的值，>=心表示过原点的直线，

1

二.当%>3时，在y=寸+1和y=x-1上方，

产X-1在x>3时的函数值增长速度比y=泰+1快，

要使》=放在x>3时始终在y=x-1上方，且〉=内过原点，

要大于等于y=x-1的斜率1,即”>1.

23.（5分）某校“n节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段.

（1）初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行

整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

a.教师评委打分：

85,86,88,90,90,91,92,94

b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组80Wx<85,第2组85Wx<90,第3组

90Wx<95,第4组95Wx<100）

c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：

平均数中位数众数

教师评委89.590m

学生评委90.2n93

根据以上信息，回答下列问题：

①教师评委打分的众数加=91，”的值位于学生评委打分数据分组的第二组；

②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为元，则元=89.5

（填“>，，“=”或，，<，，）；

（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均

数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给

进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：

评委1评委2评委3评委4评委5

甲9092908991

乙9091899091

丙92899191k

若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是甲,表中上“为整数)

【解答】解：(1)①由题意得，教师评委打分中90出现的次数最多，故众数％=90,

50名学生评委打分数据的中位数是第25、26个数的平均数，

故n的值位于学生评委打分数据分组的第3组；

故答案为：91；3；

②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为元=/义

(86+88+90+90+91+92)=89.5,.*.%=91；

故答案为：=;

11

(2)甲选手的平均数为：-x(90+92+90+89+91)=90.4,乙选手的平均数为：-x(90+91+89+90+91)

=90.2,

:丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，

；•丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，

：5名专业评委给乙选手的打分为90,91,89,90,91,乙选手的方差S?=/x[2X(90-90.2)2+2X

(91-90.2)2+(89-90.2)2]=0.56,

5名专业评委给丙选手的打分为92,89,91,91,k,

乙选手的方差小于丙选手的方差，

；•丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，

90+92+90+89+91292+89+91+91+Q90+91+89+90+91,89支＞88,

.“为整数，

：.k1为整数)的值为89.

故答案为：甲，89.

24.(6分)如图，在△ABC中，/ACB=90°,点。在上，以为直径作。。与BC相切于点E,

连接DE并延长交AC的延长线于点F.

(1)求证：ZF^ZODE；

(2)若tan/AZ)E=2,CF=2,求。。的半径的长.

【解答】解：(1)与8c相切于点E,

C.OELBC,

：.ZBEO=90°,

VZACB=90a,

：.ZACB=ZBEO,

J.AC//OE,

：.ZF=ZOED,

"：OE=OD,

：.ZOED=ZODE,

:./F=/ODE；

(2)如图，

连接AE,

TAO是直径，

ZAED=90°,

：.ZAEF=90°,

♦・•NF=/ODE,

：.AF=AD.

VZACB=90°,

：.ZECF=90°,

在RtZXCE尸中，

VtanZADE=2,

ZF=ZODE,

•.•.tanN/口r=_-C^Ep=2,

■:CF=2,

・・・CE=4,

由勾股定理得EF=VCF2+CE2=V22+42=2遮，

在RtZkAEF中，

4/7

VtanZF=J^=2,

:.AE=2EF=4V5,

由勾股定理得AF=^EF2+AE2=J(2V5)2+(4V5)2=10,

：.AD=AF=\Q,

；.O。的半径的长为5.

25.(5分)某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的。G。'部分为一段抛物线，顶点G的高

度为8米，它两侧A。和4D'是高为5.5米的支柱，0A和为两个方向的机动车通行区，宽都

为15米，线段。和CD'为两段对称的上桥斜坡，其坡度(即垂直高度与水平宽度的比)为1：4.以

CC所在直线为x轴，横断面的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.

(1)求桥拱。G。'所在抛物线的解析式及OC的长；

(2)BE和3'E'为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A'B'为两个方向的行人及非机

动车通行区.直接写出宽A8的长度；

(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米.今有一大型运货汽

车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米.它能否从桥下区域

安全通过？请说明理由.

【解答】解：（1）设DG。'所在的抛物线的解析式y=ad+c.

由题意得G（0,8）,D（15,5.5）,

.（"c=8

,,l225a+c=5.5，

解得二一击，

1c=8

：.DGD1所在的抛物线的解析式为y=-急/+8；

4011

—=一,且AZ）=5.5,

AC4

.•.AC=5,5X4=22（米）

AOC=OA+AC=15+22=37（米），

答：OC的长为37米；（

EB1

2）,/—=BE=4

BC4

.-.BC=16（8分）

：.AB=AC-BC=22-16=6(米).

答：AB的宽是6米；

(3)该大型货车可以从0A(或04)区域安全通过，

,,137

当x=4时，y=—前xl6+8=7一,

vu45

371Q

V7—-(7+0.4)=旄>0,

4545

该大型货车可以从。4(或。A')区域安全通过.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线yucn2+bx+c(a#0)经过点A(2,c).

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)点A/(l-2a,yi),N(a+2,y2)在抛物线上.若c<yi<y2,求a的取值范围.

【解答】解：(1):抛物线y=ax2+bx+cQW0)经过点4(2,c).(0,c),

:.该抛物线的对称轴为直线无=竽=1；

(2)♦.•抛物线的对称轴为直线x1,

・••点M(1-2a,yi)关于对称轴的对称点为(1+2〃，yi),

当a>0时，

则〃+2>2,1-2«<1,

c<y\<yi,

〃+2>1+2。>2,

解得54〈I，

当a<0,

则1-241,

c<y\<yi,

・•・若〃+2>1时，贝ij«+2<1-2a<2,

11

解得_2<a<_W，

若〃+2V1时，贝!J〃+2>1+2〃>0,无解

综上，不等式组的解集为「VzVl或—义VaV—

2/$

111

：.a的取值范围为-<a<l或一3<a<-^.

2Z5

27.(7分)在△ABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,将线段AC绕点A逆时针旋转a(0°<aW60°

得到线段AD点。关于直线BC的对称点为E,连接AE,DE,BE.

(1)如图1,当a=60°时，用等式表示线段AE与8。的数量关系，并证明；

(2)连接依题意补全图2,若AE=BD,直接写出a的大小，并证明.

图1图2

【解答】解：(1)线段AE与8。的数量关系：AE=WBD；

证明:

A

图1

丁点。、E关于直线5C对称，

・・・直线BC是DE的垂直平分线，

:・BD=BE,

：.ZDBC=ZEBC=30°,

AZDBE=60°,

・・・△03石是等边三角形，

：.BD=BE=DE,ZBDE=ZBED^60°,

VZACB=90°,ZABC=30°,

：.AB=2AC,

9

：AD=ACf

：.AB=2AD,

：.BD=AD,

：.DE=AD,

：.ZDAE=ZDEA=30°,

：.ZBEA=9Q°,

ZE_

：.AABE中，一=tanZABE=tan60°=V3

BE

：.AE=V3BE,

：.AE=V3BD；

(2)依题意补全图2,如图，

延长AC至b，CF=AC,连接5/、BE、EF、CD、CE,

VZACB=90°,

：.AB=BF,

9：ZBAC=60°,

・・・AAB/是等边三角形，

：.AB=AF=BF,NBFC=60°,

・・,点。、E关于直线5。对称，

・,・直线BC是DE的垂直平分线,

：・BD=BE,CD=CE,

：.ZDCB=ZECB,

VZACB=ZDCF=90°,

：・/DCA=/ECF,

•：AC=FC,

AADAC^AEFC(SAS),