2025京改版九年级（上）期末数学汇编：二次函数（填空题）

2025北京重点校初三（上）期末数学汇编

二次函数（京改版）（填空题）

一、填空题

1.（2025北京顺义初三上期末）在平面直角坐标系中，若无论Z为何值时，直线，=履+2与抛物线

丁=依2+4依+跳。＜0）总有公共点，则6的取值范围是.

2.（2025北京大兴初三上期末）已知二次函数y=（x-〃）2+k,点A（-L,yJ,3（2,%）都在该函数的图象

上，且写出一个符合上述条件的二次函数解析式为.

3.（2025北京昌平初三上期末）把二次函数图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得图

象的二次函数表达式为.

4.（2025北京昌平初三上期末）已知二次函数丁=依2+法一3（。彳0）的图象经过点4（-1,0）,对称轴为直线

x=l.除点A外，请再写出此函数图象经过的一个点坐标.

5.（2025北京门头沟初三上期末）函数＞=/-2凶-1的自变量x的取值范围为全体实数，其中xNO部分

的图象如图所示，对于此函数有下列结论：

①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＜-i时，y随x的增大而增大；④当

-2＜。＜-1时，关于x的方程/-2次|-1=。有4个实数根.其中正确的结论有（填序号）.

6.（2025北京门头沟初三上期末）写出一个与抛物线y-x-2开口方向相同的抛物线的表达

式：.

7.（2025北京密云初三上期末）在平面直角坐标系％Oy中，抛物线y=%2-2%与％轴交于A（%,0）,

5（X2,0）,且王＜W.

①兄2=；

②当-2W九W加时，函数值y的取值范围是T«yK8,则根的取值范围______.

8.（2025北京平谷初三上期末）若抛物线y=h2+2x-1的顶点在入轴上，则女的值为.

9.（2025北京密云初三上期末）已知抛物线y=（x-l）2,当时，y随x的增大而增大，任写出一个符

合题意的m值______.

10.（2025北京房山初三上期末）抛物线y=（x+2『+3的顶点坐标为.

11.（2025北京燕山初三上期末）抛物线y=（x-l）2+5的顶点坐标是,开口方向是.

12.（2025北京丰台初三上期末）在平而直角坐标系宜刀中，抛物线>=办2+版+。（。彳。）上部分点的

横坐标X.纵坐标y的对应值如下表：

X-2-1012

y-3-4-305

则该抛物线的对称轴是.

13.（2025北京海淀初三上期末）二次函数y=a（尤-〃y+MawO）中的自变量x与函数值》的部分对应值

如下：

X-202

y02n

若/7>0,写出一个符合题意的〃的值为.

14.（2025北京海淀初三上期末）在平面直角坐标系中，二次函数y=<a%2+bx+c（a/0）的图象与x轴

交于A（-2,0）,3（4,0）两点，则一元二次方程加+6x+c=0的解为.

15.（2025北京丰台初三上期末）某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点A

处，羽毛球发射的初始位置的高为AB,AB=1.3m.若羽毛球从点8发射后的飞行路线可以看作是抛物线

的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点A的水平距离为6m的点C处的正上方达到最高点，且高度为

hm.在与点A的水平距离为13m的点。处落地，则九的值是.

16.（2025北京西城初三上期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点V（〃?,0）,N（“,0）,其中

m+n=-2,抛物线^=以2+笈+。（。>0）经过点/和"，以下四个结论：

①a加■>（）；②3a+c>0；③关于了的一元二次方程依?+法+2。=。无实根；④点（为,%）,（心％）在抛物

线上且在对称轴的同侧，当归-赴|=2时，总有瓦-对33时，则j其中所有正确结论的序号

是.

17.（2025北京西城初三上期末）已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点。,0）,写出一

个满足上述所有条件的二次函数的解析式.

18.（2025北京三帆中学初三上期末）写出一个开口向下，且与y轴的正半轴相交的抛物线的解析

式：・

19.（2025北京三帆中学初三上期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（aw0）与x轴交于点A（-l,0）和点8,对

称轴为直线x=l,下列结论：①〃加>0；②2"+6<0；③3a+c>0；④当抛物线沿着y轴向下平移1个

单位长度就可能经过点（3,-1）.其中正确的结论为.

20.（2025北京东城初三上期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0,-1）的抛物线的表达

式,

21.（2025北京通州初三上期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线％=依2-2依（a>0）和直线

%=日（左>0）交于点。和点4.若点A的横坐标是3,则履>加-26的解集为.

22.（2025北京通州初三上期末）已知二次函数y=a/+6x+c,自变量尤与函数y的部分对应值如下表:

X-2-10123

y50-3-4-30

关于x的一元二次方程ax?+笈+c=5的解是

23.（2025北京燕山初三上期末）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如

下表：

X-2-1012m

y04664-6

则这个二次函数的对称轴为直线x=,m=（m>0）.

24.（2025北京顺义初三上期末）请写出一个开口向下且过点（0,2）的抛物线解析式:

参考答案

1.b>2

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，依据题意，由直线>=丘+2（左是常数，

人力0）过点（0,2）,抛物线,=以2+4冰+沙（。<0）开口向下，对称轴为直线x=—2,则x=0时，

y=ax2+4办+6»2满足题意.

【详解】解：：直线丫=履+2,

二直线>=丘+2过定点（0,2）,

*/y=ax2+4ov+b（a<0）,

抛物线开口向下，对称轴为直线x=-2,

无论k为何值时，直线y=履+2与抛物线y=ar2+4ax+b[a<0）总有公共点，

x=0时，y=ax2+4ax+b>2,即622,

•*.无论k为何值时,直线y=履+2与抛物线y=o?+4依+可。<0）总有公共点，则b的取值范围是匕>2.

故答案为：b>2.

2.y=（x-l）2（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象与性质，掌握待定系数法是关键.根据解析式

判断出对称轴和开口方向，随后判断当王<%，%>当时，对称轴/?的取值范围，即可得出解析式.

【详解】解•.•y=（x-/7）2+%,

对称轴为直线x=〃，顶点坐标为伍,左），二次函数抛物线开口向上，

A点的横坐标占为-1,8点的横坐标马为2,玉<马,

第一种情况：

当对称轴直线x=/z>2时，A点3点均在对称轴左侧，y随x的增大而减小，

贝！1X>丫2，

第二种情况：

A、8两点分别在对称轴两侧，且2-/2<力-（-1）,

即时，则%>〉2，

二写出一个符合上述条件的二次函数解析式为：y=（x-1）2.

故答案为：y=（x-l）z（答案不唯一）.

3.y=2（%-2）2+l

【分析】本题考查的是二次函数的平移.熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案.

【详解】解：二次函数y=2/图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得图象的二次函数表达式

为：y=2（尤-2）~+l.

故答案为：y=2（x-2『+l.

4.（0,-3）（答案不唯一）

【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解

答.

根据二次函数解析式特点，可可求出其与y轴的交点坐标，即可求解.

【详解】解：对于二次函数，=加+及-3（aw0）,

当x=O时，贝！1>=一3,

此函数图象与y轴的交点是（0,-3）,

即此函数图象经过的一个点坐标可以是（0,-3）.

故答案为：（0,-3）（答案不唯一）.

5.①④/④①

【分析】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决

方程问题.根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断.

【详解】解：画出函数图象如图：

①如图所示，函数图象关于y轴对称，故①符合题意；

②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意；

③如图所示，当x<T时，y随x的增大而减小，故③不符合题意；

④如图所示，当时，关于x的方程--2忖-1=4有4个实数根，故④符合题意.

综上所述，正确的结论是①④.

故答案为：①④.

6.y=4x2+8%-2（答案不唯一）

【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质.

根据二次函数性质可得抛物线的开口方向是由二次项系数符号确定的，故只要二次项系数a>0即可解答.

【详解】解：：抛物线7=/-*_2开口方向向上，

.••与抛物线开口方向相同的抛物线只要二次项系数a>0,

二与抛物线开口方向相同的抛物线为：J=4.X2+8X-2,不唯一.

故答案为：y=4x2+8x-2（答案不唯一）.

7.21＜m＜4

【分析】本题考查抛物线与无轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

①令炉-2工=0,求出网,马的值即可.

②由抛物线解析式可得，当x=l时，y取得最小值-1.当令y=8,得无2一2元=8,求出％,吃的值，再结

合图象可得答案.

【详解】解：①令/一21=0,

x

解得i=0,x2=2,

故答案为：2.

②：y=x2-2x=（x-l）2-l,

当尤=1时，＞取得最小值—1.

令y=8,得--2%=8,

解得X|=_2,%=4.

•.,当加时，函数值y的取值范围是TVy48,

.•.加的取值范围是1＜加＜4.

故答案为：1W/九W4.

8.-1

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，令y=o,得区2+2X一1=0,根据抛物线＞=小+2了-1的

顶点在x轴上知方程区2+2彳-1=0有两个相等的实数根，根据△=（）列式求解即可.

【详解】解：令y=o,得"2+2x-i=o,

.抛物线y=~+2x-l的顶点在无轴上，

二方程依2+2%一1=0有两个相等的实数根，

A=22-4xjtx（-l）=0

解得，k=-l,

故答案为：-1.

9.2（答案不唯一）

【分析】本题考查了二次函数的增减性，对称轴，牢固掌握增减性性质是解题关键.

先判断出开口方向向上，对称轴为直线X=1,则当X＞1时，y随X的增大而增大，又机时，y随X的增

大而增大，故机21,在此范围内任意选择一个值即可.

【详解】解：由二次函数y=（尤-1）。，可得其对称轴为直线尤=1,图象开口向上，

.••当时，y随x的增大而增大，

又当无＞7”时，y随x的增大而增大，

则〃，21,所以可取大于等于1的一切数.

故答案为：2(答案不唯一).

10.(-2,3)

【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式.根据形如y=a(x-〃)2+左的抛物线的顶点坐标是仇Q解答即

可.

【详解】解:抛物线y=(*+2)2+3的顶点坐标是(-2,3).

故答案为：(-2,3).

11.(1,5)向上

【分析】本题主要考查了二次函数顶点式，准确分析是解题的关键.

根据二次函数>=。(》-/7)2+左的性质求解即可.

【详解】：抛物线y=(x-iy+5,二次项系数为1>0,

；•顶点坐标为(1,5),开口向上

故答案为：(L5),向上.

12.x=-l

【分析】本题考查二次函数的图象上点的特征，根据二次函数图象上对称点求得对称轴是解题的关键.

0-2

根据二次函数图象上点的对称性，可得对称轴为元=—1=-1,即可求解.

【详解】解：由表格可得，点(。,-3)和点(-2,-3)是抛物线上关于对称轴对称的两个点，

.•.对称轴为x=¥=-l,

2

故答案为：x=-l.

13.1(答案不唯一，可取大于0的任何数)

【分析】抛物线的对称轴是x=〃，根据〃>0和抛物线的对称性，点(-2,0)关于对称轴的对称点为

(2/7+2,0),且2/7+2>2,根据抛物线过X轴上的两点及点(0,2)可知抛物线开口向下，结合二次函数的图

像可以判断w符号，即可解答此题.

【详解】解：1,抛物线'=4了-4+左色力。)的对称轴是尤=3

•••(-2,0),(0,2)关于直线无=h的对称点为(2/1+2,0),(2/7,2),

,//z>0,

/.2/z>0,2/z+2>2,

二抛物线开口向下，

在抛物线上，

，当x=2时，n>0

，”可取大于。的任意一个数，

故答案为：1(答案不唯一，可取大于0的任何数).

如图所示,

【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，抛物线的对

称性，根据抛物线轴对称的性质是解本题的关键.

14.x,=-2,x=4

【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标即为所对应的一

元二次方程的解.据此进行解答即可.

【详解】解：；二次函数y=^+bx+c(awO)的图象与x轴交于A(—2,0),3(4,0)两点，

当彳=-2或x=4时，ax2+bx+c—Q>

即一元二次方程o?+法+c=0的解为x,=-2,无2=4,

故答案为：为=-2,x2=4

15.4.9

【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数(投球问题)，待定系数法求二次函数解析式，

y=a(x-/z)2+上的图象与性质等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.

由题意可知抛物线的顶点坐标为(6,/0,设抛物线的函数解析式为丁=。(*-6)2+力，将8(0,1.3),D(13,0)代

入即可求出函数解析式，于是得解.

【详解】解：如图，以点A为坐标原点，AD所在直线为无轴，所在直线为丫轴，建立平面直角坐标

由题意可知，羽毛球飞行的水平距离为6m时，达到最高，高度为故抛物线的顶点E的坐标为(6,〃),

由题意可得：由0,1.3),0(13,0),

设抛物线的函数解析式为y=a(x-6)2+h,

代入点8(0,L3),加3,0),得：

硝3-6『+/z=0

36〃+/z=1.3

1

d=---

解得：io,

/z=4.9

故抛物线的函数解析式为y=（x-6）-+4.9,

故答案为：4.9.

16.②④

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，对称轴，数形结合法，抛物

线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性

质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键.

①根据题中二次函数、="2+法+。的图像（a>。）判断开口方向，*=-5=；（祖+"）=-1,以及抛物线与

y轴的交点，可判断4,b,。的符号，进而可判断；

②由二次函数>=以2+bx+c的图象知：当x=l时，y^a+b+c>0,3y=3a+3&+3c>0；当彳=一3时，

y=9a-3b+c>0,两式相力口，化简可得

③一元二次方程的判别式A=〃-44x2c=b2-84c,结合a,b,c的关系与符号，进而可判

断；

④设公>多,且网,工2在对称轴右侧（在左侧同理），则%=%+2,

yl-y2=a^+-x2）=4ax2+4a+2b,结合a,b,c的关系与符号，进而可判断.

【详解】通过读图：

①因为。>0,所以抛物线开口向上，

hhYY）

对称轴x=---,由于m+九二一2,即对称轴％=一二一二一--二一1,

la2a2

可得。=2。>0,

抛物线与y轴交于负半轴，所以cvo,

综上，abc<0,结论①错误；

二次函数y=♦+的图象与龙轴交于N（〃,0）由图可知OVHVI,

又m+〃=—2,

—3<加<—2,

由二次函数y="2+6x+c的图象可知：

当尤=1时，y=a+b+c>03y=3a+3b+3c>0,

当天=-3时，y=9a-3b+c>0,

两式相加，化简可得3a+c>0,结论②正确；

③一元二次方程依。+汝+2c=0的判另IJ式△=廿一4.x2c=〃-8oc,

因为6=2a,所以A=4a2-8ac=4（a-2c）,

由C<0M>0,可得。一2c>0,所以A=4a（a-2c）>0,方程有两个不相等的实根，

结论③错误；

④设外>々，且看,马在对称轴右侧（在左侧同理），

贝I石=%2+2,

=a

yx—y2（%：-%；）+%,

=〃［（冗2+2）2_%；］+bx2,

=a（%2+4%2+4-%2）+2b,

=4ax2+4a+2b,

b=2a9

=

yx-y24a9+4〃+4a=40r2+8〃,

Vx2>-1（在对称轴右侧），

4ax2+8a24ax（—1）+8。=4a,

又,•1%—%|N3,

4a23,

3

即。之二，结论④正确.

综上，正确结论的序号是：②④.

17.y=-x2+l（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握a>0时，函数开口向上，有最小值;

。<0时，函数开口向下，有最大值.

【详解】•..二次函数有最大值，

二二次函数的二次项系数小于0,可设二次函数的解析式为y=-x2+c,

又•••它的图象经过点（LO）,

0——1+c,

.,.C=lf

二次函数的解析式为y=-N+l.

故答案为：y=-x2+l(答案不唯一)

18.y=-x2+l(答案不唯一)

【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关

键.

由“开口向下，且与y轴的正半轴相交”可得二次项系数小于0,常数项大于0,据此解答即可.

【详解】解：开口向下，且与y轴的正半轴相交的抛物线的解析式满足条件：

二次项系数小于0,常数项大于0,

如：y=-x2+l,

故答案为：y=-x2+l(答案不唯一).

19.@

【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌

握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系.根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点

的位置、以及与无轴y轴的交点，综合判断即可.

【详解】解:①由抛物线的开口向下知"0,

・•・对称轴位于>轴的右侧

：.b>0

抛物线与y轴交于正半轴，

c>0,

所以abc<0

故①错误；

b

②对称轴为直线彳=----=1,得2°+6=0,

2a

故②错误；

③抛物线y=ax2+bx+c(a^0)x轴交于点A(-l,0),

:.a-b+c=Q,

，/2a+b=0,即〃=一2夕,

3。+c=0,

故③错误；

④抛物线y=依2+for+c(aw0)与无轴交于点A(-1,0)和点8,对称轴为直线x=1,

.•.3(3,0),

设二次函数关系式为y=a(x+l)(x-3),

,抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后的函数关系式为y="(x+l)(x-3)-l,

当％=3时，y=-1,

，抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后经过点（3,-1）.

故④正确；

综上所述，正确的结论为：④

故答案为：④.

20.y=x2-2x-l

【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键.写出一个二次函数，使其

二次项系数为正数，常数项为-1即可.

【详解】解：根据题意得：y=x2-2x-l（答案不唯一），

故答案为：y=f-2x-l（答案不唯一）

21.0<x<3

【分析】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的交点确定就>以2-26表示的意思是一次函数在

抛物线上方，即在点。和点A之间，据此求解即可.