2025北京重点校初二（上）期末数学汇编：分式的运算（解答题）

2025北京重点校初二（上）期末数学汇编

分式的运算（解答题）

一、解答题

1.（2025北京平谷初二上期末）计算：-+3a一2

Q+2Q+1Q+1Q+2

、Y+2

2.（2025北京东城初二上期末）先化简一^+为+1再选一个合适的数作为x值代入，求出代数

\x-1Jx-l

式的值.

3.（2025北京怀柔初二上期末）计算：+

4.（2025北京怀柔初二上期末）我们定义：若两个分式/与B的和为一个分式C,且分式C的分子为常数,

分母为关于x的一次整式，则称/与3是“合分式”,这个常数称为/与2关于C的“合值”.例如：分式』=L

X

2123

B=~,A+B=-+-=~,则/与3是“合分式”，/与2关于C的“合值”为3.

XXXX

解决下列问题：

52

（1）已知分式EF=--,判断E与尸是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出

x-l1—x

£与尸关于C的“合值”；

⑵已知分式其中。是常数，且"0）,N=\,M与N是“合分式”，且河与N关于。的“合

值”为1,求常数。的值.

5.（2025北京怀柔初二上期末）计算：（-：）2--;+（6）°-23

X+2

的值.

HX

7.（2025北京朝阳初二上期末）在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他

发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：

2x-3=2x+2-5=2"+1）-5=》而且他发现这样的变形可以优化计算.

x+1x+lX+1X+1

参考小智的方法，完成下面的问题：

h

⑴如果分式2上x4丁-3可以变形为4+5（。，b为整数），求。和6的值；

X+1X+1

（2）求分式6X：12X+7的最大值.

-2/+4x-3

14

8.（2025北京朝阳初二上期末）计算：--+^—.

9.（2025北京门头沟初二上期末）老师设计了一个数学“接力游戏”，由学生合作完成分式的计算.如图，老

师把题目交给甲同学，他完成一步计算后，再将结果传递给乙同学，依次进行，最后完成计算.规则是每位

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同学只能看到前一位同学传过来的式子.

老师甲乙丙

41414-13

2

x-4x-2(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)-(x+2)(x-2)-(x+2)(x-2)

根据上面同学的接力过程，回答以下问题：

⑴在“接力游戏”中，从—同学开始出现计算错误，错误的原因是

（2）请写出正确解答过程.

计算：卜2|-(兀-3)。+QY'+(-D2.

10.（2025北京门头沟初二上期末）

计算：至一尤

11.（2025北京石景山初二上期末）

x-yx-y

12.（2025北京石景山初二上期末）已知-2。"求代数式x-卜”的值.

2x—3

13.（2。25北京燕山初二上期末）课堂上有这样一个分式的计算题：77r甲、乙两位同学完成的过

程分别如下：

甲同学：

2__x—3乙同学：

X+1—1

2__x—3

2x-3小,

=----------------------第一步X+1—1

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)如,

2(x-1)x-3.一

二——-------------------第一步

2—(x—3)(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)A'

(x+l)(x-l)弟一,

—2(x—1)—(x—3)第二步

2—x+3__

-(x+l)(x-l)第一”=2x-2-x+3第三步

=x+l第四步

二弟四步

老师发现这两位同学的解答都有错误.

请你从甲、乙两位同学中，选择L位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.

（1）我选择同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）

该同学的解答从第步开始出现错误，错误的原因是；

（2）请重新写出完成此题的正确解答过程.

2__x-3

x+1%2—1

解：

14.（2025北京燕山初二上期末）阅读下面材料：

小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一

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特性，小聪发现像x+儿中z,/+/等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.于是他

把这样的式子命名为交换对称式.

他还发现像一+/,（x-i）（y-i）等交换对称式都可以用无+了，孙表示.

例如：x2+y2=(x+y)2-2xy,(x-l)(y-l)=xy-(x+y)+],于是小聪把x+y和xy称为基本交换对称式.

请根据以上材料解决下列问题：

⑴代数式①5②…，③不④孙+yz+zx中，属于交换对称式的是

（填序号）；

⑵己知(x―^Xx—b)=x2_pr+q.

①好（用含。，6的代数式表示）；

②若。=2,q=-l,求交换对称式2+1的值；

ab

q3+2Z)3+273曰[/土

③若4=-2,求交换对称式--------+---------+a+b的最小值.

ab

已知加+w=g,求代数式11+2〃m-n

15.（2025北京燕山初二上期末）〃/+2m"+"2的值•

m-n

9Y_2

与。r，再从卜归2的整数解中选取一个数代入求值.

16.（2025北京二中初二上期末）先化简x+1J

X-1

17.（2025北京西城初二上期末）计算：

⑴计算:{2a-3b)(a+2b);

%2—2x+1x2甘+,.

（2）先化简，再求值：Xx2-lUr其中

-1

18.（2025北京海淀初二上期末）计算：（-2y+（"4）°

先化简，再求值：（x-2-^-%2-6x+9,

19.（2025北京海淀初二上期末）--------,其中X=6.

Vx+2x+2

%2—4x+4廿,1,

20.（2025北京大兴初二上期末）先化简，再求值：---------2——，其中x=4.

X

-2

（2025北京大兴初二上期末）计算：（-4）。+3|+而+

m2-2m

22.（2025北京燕山初二上期末）计算：———1

m-lm2-2m+l

Y—1

23.（2025北京通州初二上期末）化简求值：,其中x=V5-1.

X+1

24.（2025北京海淀初二上期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形.类似的，“几个分

式相加，，与“将一个分式化成几个分式之和的形式，，也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向

相反的变形为“分式分解”.

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2x—l2x—lx+(x—1)xx—111

例如’将而刁分式分解：可不刁+而刁=口+：

2x+l

(1)将7m分式分解的结果为;

(2)若.1可以分式分解为-J+4(其中小，p,«是常数)，则”________,q=

mx-3x+lx-12x-1

2x+1?x2-1

(3)当x>l时，判断丁丁与牛」的大小关系，并证明.

xlx+*1JX-x

25.(2025北京大兴初二上期末)阅读下面的解题过程：

例：已知F一Y求1代数式/+与1的值.

x+12x

第一步因为：=1，所以《±1=2,即"卜2；

x+12x

第二步因为(x+工]=X2+2-X--4-—^-=X24—^-+2,

\XJXJCJC

所以/+=(x+工)—2=22—2=2.

该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题.

(1)仿照第一步，求x-L的值；

X

(2)仿照第二步，求f+二的值.

X

21

26.(2025北京延庆初二上期末)计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：告甲、

x-1x-1

乙两位同学的解答过程分别如下：

甲同学：

21

%2-1x-1

______2________1

(x+l)(x-l)x-\①

_2]

2-1

(x+l)(x-l)③

1

(x+l)(x-l)④

乙同学：

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21

x2-1x-1

______2________1

(x+l)(x-l)x-1®

_2x+1

=2-(x+1)③

二1一X④

老师发现这两位同学的解答过程都有错误.

请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.

(1)我选择同学的解答过程进行分析.(填“甲”或“乙”)

(2)该同学的解答从第步开始出现错误(填序号)，错误的原因是；

(3)请写出正确解答过程.

八1、a2+a

(1H------)。~$-------

27.(2025北京门头沟初二上期末)先化简，再求值：°-2。+1,其中。二2.

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参考答案

♦一2

,(a+l)(a+2)

【分析】本题主要考查了分式的混合运算，

先将除法变为乘法，同时分解因式，再约分，然后计算分式的加减.

1。+

【详解】解：a+3a32

q?+2。+1。+1。+2

Q(Q+3)Q+12

((2+1)24+3。+2

a2

a+\a+2

+2)2(〃+1)

(a+1)(a+2)(Q+1)(Q+2)

a(a+2)-2(,7+1)

(a+l)(a+r

(a+l)(〃+2)，

2.x+2,取x=3时，代数式值为5(答案不唯一)

【分析】先把括号内的整式化成分母是工-1的分式，然后按照同分母的分式相加法则计算括号内的，再把除

法化成乘法，进行约分，然后取能让分式有意义的数，代入化简后的式子进行计算即可.

本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分.

4x+5x+2

【详解】解：原式=

x—\x—1

x2+4x+4x-1

----------------------

x-1x+2

(X+2)2X-1

x-1x+2

=x+2,

.「x=l或-2时分式无意义,

・“不能是1或-2,

・•・当x=3时，

原式=3+2

二5.

3.x-1

【分析】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算

律运算，会简化运算过程.

先把前面括号内通分和中括号内的除法运算化为乘法运算，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算转化

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为乘法运算，最后约分即可.

【详解】解：9—1卜［(xTbW

_x2-(2x-l),x-1

XX

_x2-2x+lx

xx-1

_(x-1)2x

xx-1

=x-l.

4.(1)E与b是“合分式”，理由见解析，3

(2)Q-—2

【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键.

(1)将两式相加并计算即可；

(2)将两式相加并计算，根据M与N关于C的“合值”为1求得。的值即可.

【详解】(1)解：E与尸是“合分式”，理由如下：

E+F

52

X-1X—1

3

一百，

则E与尸关于C的“合值”为3；

⑵解：M+N

a1

=—；----+----

x—2xx—2

a+x

与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1,

--2

7

8-

【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

先根据有理数的乘方、绝对值、零指数募、负整数指数幕的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即

可.

【详解】解：(-1)21+(V3)°-2-3

4

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_7

-8,

6.5

【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号，再运算除法,得——2x,因为——2x-5=0,所以——=5,

即可作答.

_(x+2)(x-2)%2

xx+2

=2)

—x—2%,

%2-2x-5=0,

•*-x2-2x=5,

原式=5.

7.(1)"2,b=l

⑵-1

【分析】本题考查了分式的化简求值.

(1)依题意，原分式可化为2>+1)+1=2+',可得解；

x+1X+1

22

⑵依题意，原分式可化为-3+萌一犷二，再由卜-1)々0推出77~~其二*2即可得解.

2x+3

【详解】(1)解：--

x+1

2x+2+1

x+1

_2(x+l)+l

x+1

=2+^—,

X+1

a=2,6=1；

⑵解：6尤丁2X+7

—2,x+4x-3

6%2—12x+9—2

—2%2+4x—3

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3(2X2-4X+3)-2

-(212—4x+3)

2x—4x+3

2(1)+1

'.'(x-1)2>0,

.-.2(X-1)2+1>1,

-------J—<2

2(x-l)+1'

.-.-3+------二—<-l

2(x-l)>l，

原分式的最大值为-1.

1

8.--

。一2

【分析】此题考查了分式的加法运算，解题的关键是熟练掌握分式的加法运算法则.

利用异分母分式的加法法则计算即可得到结果.

14

【详解】解：--+^-

a+2a-4

a-24

二------------1-------------------

(q+2)(〃-2)(Q+2)(〃-2)

。+2

(q+2)(q-2)

a—2

9.(1)甲，分子分母没有同乘以(尤+2)

(2)见解析

【分析】本题考查了分式的混合运算：一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算

律进行灵活运算.

(1)甲在通分时，分子没有乘(x+2);

(2)先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可.

【详解】(1)解：在“接力游戏”中，从甲同学开始出现计算错误，错误的原因是分子分母没有同乘以(x+2)；

故答案为：甲，分子分母没有同乘以(x+2)；

⑵解：

x—4x—2

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_4x+2

(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)

4—x—2

(x+2)(x-2)

2-x

(x+2)(x-2)

x2

=~(-)

(x+2/x-2)

x+2

10.5

【分析】本题考查有理数混合运算.熟练掌握零指数幕、负整数指数幕，绝对值运算，（一）"的运算，运算法

则及运算顺序，是解决问题的关键.

根据零指数幕，负整数指数幕，绝对值运算，（-1）"的运算，分别求解后，利用有理数的混合运算法则求解即

可得到结论.

【详解】解：原式=2-1+3+1

=5.

11.2x+2y

【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

利用分式的加减法则计算即可.

【详解】解：-

x-yx-y

x-y

_2(x+y)(xy)

无一了

=2(x+y)

=2x+2y.

【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.先通分括号内的式子，再算括号

外的除法进行化简原式，然后根据--2》-20=0,可以得到X2-2X=20,最后代入化简后的式子计算即可.

b.n（4、5x+10

【详解】解：X——卜一j—

Vx）x

_x2-4x2

x5（x+2）

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_(x+2)(x-2)x2

x5(x+2)

x(x-2)

一5

_x2-2x

一5'

•/X2-2X-20=0,

x2-2x=20,

二原式=g=4.

13.(1)答案不唯一，见解析

⑵I

【分析】本题主要考查分式的混合运算，

(1)根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断；

(2)根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得.

【详解】(1)解：选甲：一，理由合理即可，如：第一个分式的变形不符合分式的基本性质，分子漏乘X-1；

选乙：二，理由合理即可，如：与等式的性质混淆了，丢掉了分母；

⑵告X+1一X与—1

2(x-l)x-3

-(x+l)(x-l)-(x+l)(x-l)

2x—2—(x—3)

(x+l)(x-l)

X+1

"(x+l)(x-l)

1

14.⑴①④

(2)①4=g；(2)-6；③4

【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，

熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”.

(1)任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可；

(2)①先根据(尤-a)(x-b)=x2-pr+q得至11/一(。一6卜+。6=/-加+«,即可得到答案；②先将夕+f通

ab

分，再根据“像/+/,。一1)(尸1)等交换对称式都可以用x+y,孙表示.例如：V+V=(x+y)2_2刈”

计算/+〃，最后将p="+A,g=ab代入求值即可；③先化简再将夕=-2代入求出

ab

第11页/共18页

原式=p?+4_p+p,然后求解计算即可.

【详解】⑴解：①,任意交换两个字母的位置后变为,，值不变，是交换对称式；

xyxy

②尤-y任意交换两个字母的位置后变为y-x,值可能改变，不是交换对称式；

③上任意交换两个字母的位置后变为土，值可能改变，不是交换对称式；

④孙+JZ+ZX任意交换两个字母值的结果都等于孙+JZ+ZX,是交换对称式；

故答案为：①④；

(2)解：①7(X-Q)(X-6)=——(Q+6)X+“6,=X2-/7X+^,

：.x2-^a+b^x-\-ab=x2-px-^-q,

，p=a+b,q=ab;

故答案为。6；

②解：P=2,q=—1贝lja+b=2,ab——1,

.baa2+Z>2(a+b)2-lab/.

••—I—=---------=------------------="€),

ababab

③解；q=—2、则必=—2,

=(a+b)2-2ab++')+a+6

ab

=/?2+4-

=/+4,

又炉>0,

p1+434,

「.上^+匕E+4+6的最小值是4；

ab

15.2

m+n

【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则，整体代入法求代数式的值，是解题关键.

先计算括号里的分式，再与括号外的约分相乘，化简，再将〃?+〃=;代入化简结果求值即可.

mn

【详解】解：fl+—}2~2

Vm-nJm+2mn+n

(m-n2n]m-n

\m-nm-n)(jn+n)2

--m---+--n-----m-----n---

m—n(冽+〃)2

第12页/共18页

1

m+n

当加+〃=；时，原式=2.

X—13

16.,x=—2时，原式=；

X2

【分析】本题考查的是分式的化简求值，绝对值不等式的含义，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法

运算得到化简的结果，再结合绝对值不等式与分式有意义的条件把x=-2代入计算即可.

【详解】解：•：卜归2,x为整数，

/.x=±2,x=±1,x=0,

(x+4、Ix—x1

x+4-2x-2+

x+1x(2-x)

2—x(x+1)(x—1)

x+1x(2-

_x-1.

二，

X

•.•分式有意义，

「.xwO,xw±l,xw2,

x——2,

原式=》=!■.

-22

17.(l)2a2+ab-6b2

；

⑵密T

【分析】本题考查分式的化简求值、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

(1)根据多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；

(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可.

［详解］(1)解：(2a-3b)(“+2b)=2/+4〃b-3a=2/+〃6一662；

(%-1),X2

(2)解：x-----；------V+----

+Ix+1

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X+1X+1

(x+1)X

当x=3时，原式=互.

18.2

【分析】根据实数的混合运算、有理数的乘方运算、零指数幕、负整数指数嘉的运算法则进行计算即可.

【详解】解:(-2)：

=4+1—3

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，有理数的乘方运算，零指数幕，负整数指数幕等知识点，熟练掌

握相关运算法则是解题的关键.

【分析】本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键.先

对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值.

%2—6x+9

【详解】解:

x+2

_(x-2)(x+2)5x+2

x+2x+2(%—

%2—9x+2

=x+2@—3)2

_(x+3)(x-3)x+2

=.(I]

x+3

当x=6时，原式=3.

【分析】利用分式运算化简求值，先计算括号中的减法，再计算除法，将其化简为最简形式再代入求值即可,

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式的混合运算的运算法则是解答该题的关键.

x-4x+4

【详解】解:

x-2x

尤(x-2)

第14页/共18页

X

x-2

当x=4时,

4

原式===2

21.11

【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幕、算术平方根、零指数幕的运算法则是解题的关

键.先计算负整数指数幕、算术平方根、零指数幕，再进行加减计算即可.

=1-3+4+9

=11.

m-l

22.------

m

【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键；

根据分式计算法则计算即可求解；

m2-2m

【详解】解：———1

m-lm2-2m+l

1m-lA(m-l)2

m-lm-l)m(m-2)

1-m+l(m-l)2

m-l(机一2)

2-m

m-lm(m-2

=_(吁2)•上百

m(m-2)

m-1

m

2"T

【分析】本题主要考查了分式的化简求值,

先计算括号内的，再将除法变为乘法，同时分解因式，然后约分化为最简，最后代入数值计算即可.

【详解】原式:以‘舒

x-\X+1

(X+I)2X-1

1

x+1

•'x=V5-1,

第15页/共18页

.<*X+1=yf5,

原式=3=且.

V55

11

24.(1)--+-；

x+1x

(2)1,3；

2x?—12x+1

(3)-一z＞一(八，证明过程见详解

X-xX(x+1)

【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键.

(1)根据题中示例进行变形即可得出答案；

(2)将+通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案；

x-12x-l

(3)根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案.

……A..2x+lx+(x+l)xx+111

【详解】(1)解：.—(一八二一7一/-7\+—1=—L一，

++x(x+l)Xp：+l)X+1X

故答案为：-+—;

x+1X

工

⑵解：.•pq

x—12x—1

/7(2X-1)q(x-l)

(x-l)(2x-l)(x-l)(2x-l)

2px-p+qx-q

(x—l)(2x—1)

(2p+q)x_p_q

(x-l)(2x-l)'

5x—4P工q

------------1---------------

mx2-3x4-1x—12x—