2025届高考数学考前冲刺卷（新高考1卷）

新高考1卷

——2025届高考数学考前冲刺卷

【满分：150分】

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={疝Kx<3},B={x|2<x<4},则AB=（）

A.{x|2<x<3}B.{x|2<x<3}C.{x|l<x<4}D.{x|l<x<4}

2.若（3x-的展开式中各项系数和为16,则其展开式中的常数项为

()

A.54B.-54C.108D.-108

3.已知函数/(%)=111(优2工+2)-x-a是偶函数，则实数。=()

A.eB.1C.2D.4

满足

4.已知角a，pcos/7=g,cosacos(tz+/)=z,则cos(2a+/?)=()

111

A.-B.-C-1.-D.-

3468

22

5.已知椭圆C:J+多=l（a〉6〉0）的右焦点为R过点R且斜率为1的直线/交

ab

C于A,3两点，若|AB|=a,则C的离心率为（）

A且RV6rV3r1"

3324

6.在等边△回（?中，已知点。，E满足AD=4OC,AE=EB,BD与CE交于点

O,则A。在AC上的投影向量为（）

A.-ACB.—ACC.-ACD.-AC

3242

7.若％=0是函数/（x）—（a+g]x2+（。2的极小值点，则/（%）的极大

值为（）

8.已知直三棱柱A5C—4与£中，AB=AC=2,NB4C=亍，点C到直线44的

距离为S，则三棱柱A3C-4用£的外接球表面积为（）

A.1271B.16TIC.20兀D.24TI

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知复数I是z的共辗复数，则（）

A.|z|=|z|B,z+z=OC.z.z=|zFD.2为实数

z

10.已知定义域为R的函数/(x)满足/(x)"(y)=/(x+y)+/(2-x)-/(2-y),且

40)=1,。(-2)=0,则()

A./(x)=/(-%)

B"(x+4)=/(x)

C./(2)+/(4)+/(6)+/(8)+/(10)++/(2026)=1012

D."(x)f+"(2+x)f=l

11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c=2〃cosA—a,D

在边AC上，且3。平分ZABC,若A£>=4,CD=2,则下列结论正确的是()

A.ZABC=-B.—=2

3BC

C.△ABC的面积为竺叵D.BD=+区

77

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一，二，三，四辩,

若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为.

13.若直线,=依+优左>0)与圆7+丁=1和圆(x—6)2+丁=1都相切，贝|)左=

14.若函数/(幻和g(x)的图象分别分布在某直线的两侧(函数图象与直线没有公

共点)，则称该直线为函数/⑴和g(x)的“隔离直线”.已知/(x)=-2/,

g(x)=3(x〉0),若/(x)和g(x)在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔

X

离直线”的斜率取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.(13分)已知函数〃无)=丁—依+2.

(1)若曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程为y=0,求/(x)的极值；

(2)若a>0,求/(x)在区间［1,3］上的最大值.

16.(15分)为迎接校篮球社团组织的“李宁杯”三人篮球赛，某班甲、乙两位

同学决定提前训练，为比赛做准备.在投篮训练中，甲、乙两位同学各自投篮，

甲投一次得3分、2分、。分的概率分别为工，乙投一次得3分、2分、

555

0分的概率分别为4，1,1,且甲、乙两人每次投篮的得分情况相互独立.

424

(1)若甲、乙两人各进行两次投篮，求甲、乙的总得分不少于n分的概率；

(2)若甲、乙两人各进行一次投篮，记两人的总得分为x,求x的分布列及数

学期望.

17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABC。，AB//CD,

ZAZ)C=90°,PA±PB,PA=PB.

(1)求证：平面八1DJ_平面P3C；

(2)^AB=AD=2,CD=l,E是线段BC上一点，且二面角E—Q4—O的余

弦值为£，求g的值.

3CB

18.(17分)已知抛物线。:必=245〉0)的焦点为乩直线y=6+2与C交于

43两点，与y轴交于点。,。在点4,3处的切线交于点2,且当左=0时，|4尸|=3.

(1)求C的方程；

(2)记直线以，PB,PQ的斜率分别为占，k2,白,证明：供=秘2；

(3)设直线以，P3与x轴的交点分别为跖N,若四边形A3NM的面积是28,

求k的值.

19.(17分)设〃为正整数，数列%,a2,a“,其中6e(0,l](i=l,2,.

若%,%，…，4可被分为I组，使得每组各数之和不超过1，则称数列％,%，••・，

。“为/-可分数列.

H21、，

(1)若％=a?=%=g，a4=a5=a6=—,数列al,a2,&是/—可分数列，

求I的最小值；

(2)若根=22°",a=-(1<z<m),证明：数列为,%是2024-可分

ti~

数列；

(3)给定正数若任意满足％+4+…的数列%，生，%均为/-

可分数列，求/的最小值(用含M的式子表达).

答案以及解析

1.答案：C

解析：已知A={x|lKxK3},5={x[2<x<4},在数轴上分别表示出两个集合,

由图易知AB={x|l<x<4}>^C.

A

3

2.答案：A

解析：方法一：令x=l,可得(3-1)〃=16,所以〃=4,则「X-展开式的通

项为j=C(3x严］—£|=(—1广34飞％43,令"2左=0,得k=2,所以展

开式中的常数项为(-1)2X32C；=54.故选A.

方法二：令x=l,可得(3-1)〃=16,所以〃=4,展开式中的常数项为

C：(3X)2(」］=54.故选A.

3.答案：C

解析：法一：因为/(x)为偶函数，所以/(_幻=/(©，所以

ln(«e-2'+2)+x-a=In(ae"+2)—x-a,In^ae2x+2)-ln(«e-2x+2)=2无，

ae22x2x

In忧，+2=2x,+=；a^x+2=e(ae~+2),ae"'+2=a+2e”,

a&-2x+2ac-2x+21)

(a—2)e2，=a—2,所以a=2,故选C.

法二：f(x)=In(ae"+2)-x—a=ln(ae?*+2)-Ine*-a=In(ae"+2e~x)-a,令

g(x)=ae*+2e-，因为/(x)为偶函数，所以g(x)为偶函数，所以a=2,故选

C.

4.答案：C

解析：因为cos/?=cos[(a+/?)—a]

=cosacos(6Z+/?)+sinasin(a+/?)

=—+sinasin(o+/)=§,

所以sinasin(a+〃)=*，

所以cos(2a+/?)=cos[(a+0+a]

=cosacos(6Z+/?)-sinasin(a+/?)=g,故选C.

5.答案：B

(22

-上+匕=1

2

解析：设尸(G。)，A(x1,y1),5(%2，%)，则直线/：y=%-以联立方程</b,

。二九一G

242c

消去y得色之+a2^x2-2a2cx+a2[c1-Z?2)=0,则可得△>0,

222

a2'2a2cY4a(c-b)孚”=a,整理得

xx=—,贝(J|AB|二及,

x2b2+/产十吃b2+a2b+a

3b2=a2,又柠=a1-d,贝U3c2=2a2,则e='=

a3

6.答案：C

AFAD

解析:过点。作。/〃CE交A3于点R图略).由平行线的性质得，==C=4,

EFDC

BOBE_5

BD~BF~6,

所以=AO=AB+BO=AB+-BD

66

=AB^AC-AB

+^-AB+-AC,

63

(-AB+-AC\AC

所以AO在AC上的投影向量为忙空.AC=L^——1-2——AC

|AC|2|AC|2

i7

-ABAC+-AC-q

-----------U-------AC—AC.故选C.

|AC|24

7.答案：D

1

解析：函数/(X)=；X3ClH--x2+(tz2+d)x-\,求导得

2

/，(%)=/—(2。+1)%+(4+〃).由％=o是/(x)的极小值点，得尸(0)=〃2+〃=0,

解得a=0或。=-1.

当a=0时，/'(%)=%2一%=%(%一1).当x<0时，f\x)>0；当0<xvl时，f\x)<0.

故x=0是/(%)的极大值点,不符合题意.当a=-1时，八%)=炉+%=x(x+l).当

—IvxvO时，/(x)<0；当％>0时,/f(x)>0,故％=0是/(%)的极小值点,符

合题意，所以/(%)=3%3+；］2一］.又当无<_］时，八月>0,所以函数/(X)在

x=-l处取得极大值/(-I)=-9.故选D.

6

8.答案：C

解析：方法一：设点C到直线A3的距离为d,由

S^ARr=-ABACsinZBAC=-ABd,解得d=ACsinNBAC=2x3=6.由点

△ABC222

C到直线44的距离为近，得曲=(屿)2-屋=4,即44=2,则三棱柱

ABC-A^B.Q的外接球的球心到底面ABC的距离为—=1.

解法一：在△ABC中，由余弦定理得

BC=y/AB2+AC2-2AB-ACcosABAC=273,由正弦定理得△ABC的外接圆直

BC

径为2丫=二4,所以厂=2.

sinZBAC

解法二：设△ABC的外接圆的半径为「，根据勾股定理可得(一iy+(百)2=/,

解得厂=2.

所以直三棱柱的外接球的半径尺=j/+12=6■,则其外接球的表面积为

4兀尺2=20兀.故选C.

方法二：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-孙z,则C(-1,百,0),

设9=々〉0)，则A(0,0/)，4(2,01),则AX=(2,0,0),AC=(T，G,T)，

/.丫

所以点c到直线A用的距离d=AC?-单华=府+4-1=拒£>=币,

\IKIJ

解得r=2,所以直三棱柱ABC-A用G的高为2.

在△ABC中，AB=AC=2,ZBAC=—,易得3c=2石.设△ABC的外接圆半

3

径为r,由正弦定理得△ABC的外接圆直径为2厂=一些一=4,所以厂=2.设

sinABAC

直三棱柱ABC-A3G的外接球的半径为R,则代=产+12=5,则其外接球的表

面积为4成2=20兀.故选C.

9.答案：AC

解析:设2=。+历，所以2=a-bi,|2|=，避+-=|z|,所以选项A正确;z+z=2〃,

不恒为0,故选项B不正确；z-z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=\z\2,故选项C正确；

《="幺=(。不恒为实数,故选项D不正确.

za-bia+b

10.答案：AD

解析：由题意/(x)"(y)=/(x+y)+/(2—x>/(2—y),得

f(x+y)=f(x)-f(y)-f(2-x)-f(2-y),令x=y=l,则

/(2)=/(1)./(1)-/(1)./(1)=0,令尤=2，,=-2,可得

/(0)=/(2)./(-2)-/(0)./(4)=-/(0)./(4),由/(0)=1,得/(4)=一1，故B错

误；令1=—2,y=—y,可得/(-2一y)=/(-2)-/(-y)-/(4)"(2+y),且/(4)=-1,

/(—2)=0,所以/(—2—y)=/(2+y),即/(%)=/(—©,所以为偶函数,故

A正确；令光=2,y=x,可得

/(2+x)=/(2)./(%)-/(2-2)-/(2一x)=-f(2-x)=-f(x-2),所以

f(x+2)+f(x-2)=0,所以/(4)+/⑻=。，/(6)+/(10)=0,....

f(2022)+f(2026)=0,可得

/(2)+f(4)+/(6)+/(8)+/(10)++/(2026)=/(2)=。，故©错误；令丁=—%，

可得/(0)=JU)-/(-%)-f(2-x)-f(2+x),故

1=[/(x)]2-/(2—x)"(2+x)=[f(x)]2+/(2+x)"(2+x)=[/(x)]2+[/(2+%)]2,

故D正确.

11.答案：BCD

解析：对于A,由2c=2Z?cosA-a及正弦定理可得，

2sinC=2sinZABCcosA-sinA,贝I

2(sinAcosZABC+cosAsinZABC)=2sinZABCcosA-sinA,所以

2sinAcosZABC=-sinA,又Ae(0,7t),所以sinAwO,所以2cosNABC=-1,

解得cosNA3C=——,又因为NABCeQir),所以NABC=」，故A错误；对

23

一7T-

于B,由选项A可知，ZABC=—,。在边AC上，且3。平分NABC,所以

3

ZCBD=ZDBA=-,又A£>=4,CD=2,在△54。中，由正弦定理得

3

———=―空一，在△BCD中，由正弦定理得———=———,两

sinABDAsinZABDsinZBDCsinZCBD

AD

ABADAB.7i

------------------------------------sin—

式左右两边分别相除可得，sin刍ZM=singg。=sinfZM=一=2,

nCCUnCC/J

sinZBDCsinZCBDsin(兀一NBDA)由四

Sm3

4R4nAR

化简得丝=丝=2,故B正确;对于C,由选项B可知丝=2,设3C=x(无>0),

BCCDBC

则AB=2%,在ZVLBC中，由余弦定理得AC2=AB?+BC2-2AB-BCcosZABC,

即62=(2X)2+Y—2X2X・XCOS0,解得工=贮，贝lj

37

[2兀]8j^

S^ABC=],2x-xsin7=—^—，故C正确；对于D，由S△瓯=53£)+工瓯，

得L2x.xsin&=L2x-3£)sin乌+Lx-_B£)sin2,解得3。=2%，所以

2323233

BD=Z义亚=毡~,故D正确.故选BCD.

377

12.答案：180

解析：从6名学生中选出4名且甲必须参赛的不同情况有C；=10(种)，甲不

担任四辩的不同情况有C；A；=18(种)，故不同的安排方法种数为10x18=180.

J7

13.答案：卫

4

解析：易知圆必+丁2=1的圆心为Q0),半径彳=1,圆(》一6)2+丁2=1的圆心为

(6,0),半径々=1,显然两圆相离；

_LN_=1

由直线与两圆都相切可得如;解得左2=L即4=41或左=_克(舍).

I6-+M844

故答案为变.

4

14.答案：(—16,0)

解析：/(%)和g(X)的公共定义域为(0,+8)，结合大致图象可知，在(0,+8)上，

/(x)<g(x).设直线Z:y=kx+b,直线I与/(%)在(0,+oo)上的图象切于点

(]6、

与g(x)在(0,+oo)上的图象切于点3x2,一，/'(%)=-4%,

I%2)

g'O)=贝！]左二-----上-二-4再=一号，贝1]§=%；_2%々，且石二乡，解

xxx-x2x2x2x2

得％2=1，所以公切线的斜率左=-16,结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取

值范围为(-16,0).

15.答案：(1)/(x)的极大值为4,极小值为0

(2)当时，/(x)max=3—a；当0<。<13时，/(x)max=29-3a

解析：(1)由题意/1'(%)=3/—a,

所以f(X)=3-a=0,解得a=3,

所以3x+2,

广(幻=3——3,

由<f(x)>0,得x<—1或x>l,

所以f(x)在区间(-0),-1)和(1,y)上单调递增；

由「(%)<0,得-

所以/(X)在区间(-1,1)上单调递减，

故/(X)的极大值为/(-I)=4,极小值为/(I)=0.

(2)由/'(X)=3必一a,

令/'(x)=0,得］=±t，

所以/(X)在区间0,/］上单调递减，在区间上单调递增，

所以/(x)的最大值为/(I)或/(3).

而/⑴=3—a,/⑶=29—3a,

①当3—a»29—3a,即a»13时，/(x)max=3-a,

②当3—a<29—3a,即0<a<13时，/(x)^=29-3«.

综上，当。213时，/(x)max=3—。；当0<a<13时，/(x)max=29-3a.

Q

16.答案：(1)--

400

(2)分布列见解析，数学期望为国

20

解析：(1)设事件M为“甲、乙两人各进行两次投篮，总得分不少于11分”，

则事件“包含甲、乙两人各投两次且两人两次全得3分，或者一人两次全得3

分，另一人一次得3分，一次得2分两种情况.

故P(M)=[[+C：x衿x[)+C*x；x))磊,

故甲、乙两人各进行两次投篮，总得分不少于11分的概率为2.

400

(2)甲、乙两人各进行一次投篮的总得分X的所有可能取值为0,2,3,4,5,

6,

911

则尸(X=0)=—x—=—；

5410

21213

P(X=2)=-x-+-x-=—；

545210

P(X=3)=-x-+-x-=—；

545420

P(X=4)=-x-=-；

525

…八21111

P(X=5)=—x—+—x一二一；

54525

p(x=6)=-x-=—.

5420

故X的分布列为

X023456

1331

p

ToTo205520

J9flUE(X)=0x—+2x—+3x—+4x-+5x-+6x—=—

101020552020

17.答案：（1）证明见解析

⑵3

解析：（1）在底面ABCD中，因为AB〃CD,ZADC=90%所以ADLAB.

因为平面上钻，平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,ADu平面ABCD,

所以AD,平面PAB.

又因为PBu平面勿3,所以ADLPB.

又因为ADAP=A,AD,APu平面ADP,

所以PB,平面ADP,

又因为PBu平面P3C,所以平面从D_L平面PBC

（2）取A3的中点。，连接。C,OP.

因为CD〃49,且CD=AO,

所以四边形AOCD为矩形，则CO_LAB,所以CO,平面以B

又因为在中，PO±AB,所以。P,OB,0c两两垂直.

以。P,OB,0c分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-孙z,

则C(0,0,2),5(0,1,0),P(l,0,0),A(0,-l,0),D(0,-l,2).

^CE=ACB,2e[0,1],则£(0,42(1—2)),AE=(0,2+1,2(1-2)),PA=(-l,-1,0)

设平面AEP的法向量为相=(x,y,z)

则AE-m=(2+l)y+2z(l-2)=0,

PA•机=一九一y=0,

令y=2X—2,可得x=2—2%,z=A+l,

即帆=(2-2424-2,2+1).

因为ML平面PAD,

所以平面PAD的一个法向量〃=PB=(-1,1,0),

诉］mn4(2-1)瓜

所以Icos〈肛n)|==/,:=—

\m\\n\",8(2-I)?+(2+1)23

化简得3万—l(U+3=0,即(4-3)(34-1)=0,

解得;I」或2=3(舍去)，即

3CB3

18.答案：(1)炉=4矛

(2)证明见解析

(3)k=±V2

解析：⑴因为C的准线方程为y=-g

点A在C上，且当k=0时，|AF|=3,

所以2+5=3,解得p=2,

所以C的方程为f=4y.

(2)证明：联立卜=4%消y整理得炉―4日-8=0,

y=kx+2,

所以A=168+32>0,

A(%,%),B(%2，%)，贝U"i+"2~4k,MW=-8,

由丁二工12,得y=J_%,

42

所以kxk2=%2=-2，

且。在点A处的切线方程为y-y=；玉(%-王)，

即'(%_玉)'化简整理得y=~xix~~xi9

同理可得C在点B处的