2025年高考数学总复习：导数同构（学生版）

第26讲导数同构

知识梳理

方法技巧总结一、常见的同构函数图像

函数表达式图像函数表达式图像

/

7L

4=/足+Xy-ynx—x

1/rv

1,i)

y=]nx+x-J1函数极值点

4-一二0234-3-2-1O4

1)

r弋(b-

一』(1,-1)

-27

-3、

-3、

-4-4

yy.

----------------------~~4-

Inx——4—

y=xlnx/y=

/

/

函数极值点/函数极值点

--

-J-2-1O4-3-2-1O/

-----4--4

yV/

X/

y=z——y-e+x/

Inx/

函数极值点过定点

4-3-21O4-3-2-

/

(%e)(0,1)/

/

1/

yy,

---------------------4-

4-

\11

y=

x/―2-1

y=e-x—2-i-

y函数极值点।/

函数极值点/

4-3-1-1O~=—

1

(0,1)-1,--

e]

-5

*

2、同构式的应用:

(1)在方程中的应用：如果方程/(a)=0和/伍)=0呈现同构特征，则可视为

方程/(尤)=0的两个根

(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为

一个函数，进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.〈同构小套路〉

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：f(x)=x-e\〃x)=/±x；寻找"亲

戚函数”是关键；

③信手拈来凑同构，凑常数、X、参数；④复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性

求参数范围.

(3)在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则A5为

方程所表示曲线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线A3的方

程

(4)在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(4,〃)与

1)的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

3、常见的指数放缩：ex>x+l(x^Q);ex>ex(x^I)

1Y

4、常见的对数放缩：1——<In%<x-l(x=1);In%<—(%=e)

xe

5、常见三角函数的放缩：x€I0,—I,sinX<X<tanX

6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式:

(1)当a>0且aAl,x>0时，有a'现尸=x

(2)当a>0且awl时，有log/X=x

再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论(其中%>0)

r+lnxx

(3)%e"=e;x+lnx=ln(xe)

ln

(4)—=^-\x-ln%=ln—

XX

(5)%2ev=e-v+21nA;x+21n尤=ln(x2eT)

Y

再结合常用的切线不等式友xWx-l,lnx<-,ex>x+l,eT>ex等，可以得到更多的

e

结论，这里仅以第(3)条为例进行引申：

(7)xe*=eA+lnA>%+In%+1.%+In%=In(xe*)<xe*—1

⑻xex=ei»e(x+lnx)；x+lnx=ln(xe)T=xexT

7、同构式问题中通常构造亲戚函数xe'与xlnx,常见模型有：

]nY—

®ax>log>-----=>xlna•exina>x\nx=lnx-ehlxnxln。>Inx=>a>e，；

JaIna

]nx|

②e^x>--=>AeAx>In%=Xx♦e">xln%=>Xx♦e">Inx-e^xn>Inx=>X>—；

Ae

③e"+tzx>In(x+1)+x+1=』n(x+i)+[口(％+1)=>ax>In(x+1)

8、乘法同构、加法同构

(1)乘法同构，即乘x同构，如In".111">ln%ojdnQ-/in。>ln兀.*"；

(2)加法同构，即加X同构，如优>logq+X〉logaX+%=6?嗫"+loga%,

(3)两种构法的区别:

①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与xln尤易实现，但构造的函数加“与

xlnx均不是单调函数;

②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数

不等式求参数范围;

必考题型全归纳

题型一：不等式同构

例L（2024・四川达州•高二校考阶段练习）已知a,",且最=-51na,

—=-31nZ?,—=-21nc,则（）

bc

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

且4―21na-1=度,

例2.(2024・湖北黄石•高二校考期中)已知a/,ce(l,+co)

2

b2-21nb-l=-,c2-21nc-l=—,贝。()

e兀

A.b>a>cB.b>c>a

C.a>b>cD.c>a>b

例3.(2024•陕西榆林•高二校考期末)已知a,b,CG(0,1),且a—5=lna—ln5,

b-4=]nb-]n4,c-3=lnc-ln3,则a,b,c的大小关系是()

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

变式1.(2024.河南•高二校联考期中)已知a=0.51n2,=0.4(ln5-ln2),

o

c=-(ln3-ln2),则。，b,c的大小顺序是()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

变式2.（2024•全国•高三专题练习）已知。vxvyv兀，且e'sinx=e"siny,其中e为自然

对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）

A.cosx+cosy<0B.cosx+cosy>0

C.cosx>sinyD.sinx>siny

变式3.(2024•江西赣州•高二江西省信丰中学校考阶段练习)已知函数,⑺的导数/‘(X)满

足/0)+0+1)/'(%)>0对》g氏恒成立，且实数X,y满足(尤+l)/(x)-(y+l)F(y)>。，

则下列关系式恒成立的是()

11f-xy-.

A.B.xC.—<^D.尤-y>sin龙一siny

x+1y+1eeey

题型二：同构变形

例4.(2024・全国・高三专题练习)对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构

函数.

fa

(l)log2x-Z:-2>0;

(2)ew--ln>/^>0；

A

m

x2]nx-mex>0;

(4)Q(e"“+1)221+JInx；

(5)tzln(x-l)+2(x-l)>dx+2ex；

⑹x+QInx+e-%>xa(x>V)；

(7)e-x—2x—lnx=0;

(8)x2ex+Inx=0.

题型三：零点同构

(x-1)5+2x+sin(x-l)=3

例5.(2024•全国•高三专题练习)设x,y£R,满足＜贝”+>=

+2y+sin(y-1)=1

()

A.0B.2C.4D.6

例6.(2024・全国•高二专题练习)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两

个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于。

的方程起心和关于b的方程伙ln8-2)=632(06€1^)可化为同构方程，则ab的值为

()

A.e8B.eC.In6D.1

例7.(2024・安徽池州•高三池州市第一中学校考阶段练习)已知函数〃力=/和

江同=也有相同的最大值6

ax

⑴求〃,b；

⑵证明：存在直线丁=相，其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且

从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

变式4.(2024.安徽安庆・高三校联考阶段练习)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、

形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等

式.若关于a的方程aea=e6和关于b的方程b(ln6-2)=e3A-\a,beR)可化为同构方程.

(1)求ab的值；

(2)已知函数f(x)=x(ln无+夕).若斜率为k的直线与曲线>=尸⑴相交于4元”为),

B(x2,%)(%<x?)两点，求1正：.再<;<马

变式5.(2024•上海浦东新•高一上海南汇中学校考期末)设函数f(x)的定义域为。，若函

数“X)满足条件：存在［。，可U。，使“X)在可上的值域为上叫〃咧(其中me(o,l］),

则称/(x)为区间可上的“加倍缩函数

⑴证明：函数〃力=三为区间上的倍缩函数”；

(2)若存在［a,b］^R,使函数=log?(2*+。为［a,目上的倍缩函数”，求实数f的取值

范围；

k

⑶给定常数％>0,以及关于X的函数〃x)=l-£是否存在实数0,伏。<3,使〃尤)为区

间目上的“1倍缩函数”.若存在，请求出6的值；若不存在，请说明理由.

变式6.(2024・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=ln(x+l)—x+1.

⑴求函数〃尤)的单调区间；

⑵设函数g(x)=ae*-x+lna,若函数尸(%)=〃尤)-8(尤)有两个零点，求实数a的取值范

围.

变式7.(2024・全国•统考高考真题)已知函数/(x)=e，-融和g(x)=ax-lnx有相同的最小

值.

⑴求a；

(2)证明：存在直线y=6,其与两条曲线y=/(尤)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从

左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

变式8.(2024.全国•高三专题练习)已知函数〃x)=«x(l-Inx)和g(x)="有相同的最

大值，并且a)=e.

⑴求〃力；

(2)证明：存在直线y=3其与两条曲线y=/(x"Dy=g(x)共有三个不同的交点，且从

左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

变式9.(2024.江苏常州.高三统考阶段练习)已知函数〃尤)=$和8("=皿”有相同

ex

的最大值.

⑴求实数7”的值；

⑵证明：存在直线k"，其与两曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左

到右的三个交点的横坐标成等比数列.

题型四：利用同构解决不等式恒成立问题

例8.(2024•全国•高三专题练习)完成下列各问

(1)已知函数〃x)=xe-a(x+lnx),若对恒成立，则实数a的取值范围是

(2)已知函数〃x)=无e*-a(x+lnr+l),若恒成立，则正数a的取值范围是

(3)已知函数〃x)=xe"+e-a(x+lnx+l),若恒成立，则正数a的取值范围是

(4)已知不等式xe'-a(x+l)21m:对任意正数无恒成立，则实数。的取值范围是

(5)已知函数/(x)=x%*-alnr-x-l(x>l),其中匕>。，若/(x)NO恒成立，则实数a

与b的大小关系是；

(6)已知函数/(x)=ae，—lnx-1,若〃x)NO恒成立，则实数a的取值范围是；

(7)已知函数〃x)=ae2「ln2x-l,若恒成立，则实数a的取值范围是

(8)已知不等式e*-12fcc+ln%,对Vxe(0,+oo)恒成立，则人的最大值为;

(9)若不等式办+比-"-11«-120对尤>0恒成立，则实数。的取值范围是

例9.(2024•全国•高三专题练习)已知/(工”/期.设实数相>0,若对任意的正实数x,不

等式/(d")>/恒成立，则m的最小值为.

例10.(2024・四川泸州•泸州老窖天府中学校考模拟预测)已知不等式x+mlnx+4»x"'对

e

Xe恒成立，则实数m的最小值为.

变式10.设实数;1>0,若对任意的xe(0,yo),不等式e双-丝..0恒成立，则;I的最小值

2

为()

112e

A.B.C.D.

~2e3

变式11.设实数a>0,若对任意的工£[e,+8),不等式a*-0恒成立，则[的最

大值为()

12e

A.-B.-C.-D.e

eel

变式12.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=xln@+ae”,g(x)=—+X,当

xe(0,+co)Bt,/(x)2g(x)恒成立，则实数。的取值范围是()

A.3，+0°)B.-,+<x)JC.[1,+co)D.[e,+oo)

变式13.(2024•云南•校联考模拟预测)已知函数/(无)=ln(x+2)-尤+2,

g(x)=oex-x+lna.

⑴求函数/(x)的极值；

(2)请在下列①②中选择一个作答(注意：若选两个分别作答则按选①给分).

①若〃x)Vg(x)恒成立，求实数。的取值范围；

②若关于x的方程〃x)=g(x)有两个实根，求实数。的取值范围.

题型五：利用同构求最值

例11.(2024.全国•高二专题练习)“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将x化成

x=lne，，了=*(％>0)的变形技巧.已知函数=g(x)=-1^,若

/(X)=g(x2)=r>。，则已？的最大值为()

A.—rB.-C.1D.e

ee

例12.(2024.全国•高二期末)已知函数f(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若

/(x1)=l+21nr,g(x2)=?,则(平2-%加产的最小值为()

例13.(2024•江西・临川一中校联考模拟预测)已知