2025年高考物理复习突破：大题07 带电粒子（带电体）在电场中的平衡、运动（原卷版+解析）

大题07带电粒子（带电体）在电场中的平衡、运动

》明考情-笈方向品.

带电粒子在电场中的平衡与运动是高考物理电磁学模块的命题重点，在全国卷及新高

考卷中占比约12%-18%,很可能为压轴计算题。2025年高考对“带电粒子在电场中的平衡、

运动”的考查将延续“重基础、强综合、拓创新”的命题风格，突出电磁学核心观念与实

际问题建模能力。备考需以电场力的矢量性为核心抓手，强化复合场分析与数学工具应用，

同时关注新能源与量子科技前沿，做到“以场驭动，以模应变”。综合考查动力学分析（电

场力与运动学结合）、能量转化（电势能与动能转换）及复杂轨迹建模（如类平抛运动）如

离子推进器中的电场加速、超级电容器储能特性分析；利用抛物线方程解类平抛运动、矢

量分解法处理复合场问题；医用加速器中的粒子束控制、半导体器件中的载流子运动等等。

参研大题-梃能力占

01”等效重力场”问题

02带电粒子在电场中的直线运动

带电粒子（带电体）在

电场中的平衡、运动

03带电粒子在交变电场中的运动

04动力学*动量和能量观点在电场中的应用

题型1”等效重力场”问题

“旃彳…旌汞宰一商若,祐盛另通市「看,二不黄筋U帮至通函小谈「,标泊了端■纳襄嘉注手,下

点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为，，小球位于8点，/点与8点关于。点对称，如图所示.给

小球一个垂直于细线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动.

（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？

（2）求小球在B点的初速度大小.

E

例2.(2023广雅中学)如图所示，竖直平面内有一水平向右的匀强电场，电场强度大小为£=1义IO,

V/m,其中有一个半径为"=2m的竖直光滑圆环，有一质量为"=0.08kg、电荷量为q=6X10-c的

带正电小球(可视为质点)在最低点/点，给小球一个初动能，让其恰能在圆环内做完整的圆周运动，不

考虑小球运动过程中电荷量的变化.取cos37°=0.8,g=10m/s2,求：

(1)小球所受电场力与重力的合力F.

(2)小球在4点的初动能人.

解题策略

重力场与电场在一条重力场与电场

直线上(qE>mg)成一定夹角

等效重力场

等效“最高点

'0^4____

等效重力场

等效“最高点”薛效‘重力'

［等效“重力加速度”)~

等效“重力加速度”

1.(2024广东潮州诊断)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为。、半径为八内壁光滑，4

8两点分别是圆轨道的最低点和最高点。该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为卬的带电小球(可

视为质点)恰好能静止在C点。若在C点给小球一个初速度使它在轨道内侧恰好能做完整的圆周运动(小

球的电荷量不变)。已知C、0、，在同一直线上，它们的连线与竖直方向的夹角。=60°,重力加速度

为go求:

(1)小球所受的电场力尸的大小；

(2)小球做圆周运动，在〃点的速度大小及在4点对轨道压力的大小。

题型二带电粒子在电场中的直线运动

例3.如图所示，一平行板电容器水平放置，板间距离为4上下极板开有一小孔，四个质量均为〃、带

电荷量均为Q的带电小球，其间用长均为匏绝缘轻杆相连，处于竖直状态，今使下端小球恰好位于上

极板小孔中，且由静止释放，让四球竖直下落。当下端第二个小球到达下极板时，速度恰好为零。重力

加速度为g，(仅两极板间存在电场)试求：

(1)两极板间的电压；

⑵小球运动的最大速度。

例4.绝缘粗糙的水平面上相距为6Z的/、8两处分别固定电荷量不等的正电荷，两电荷的位置坐标如图

11甲所示，已知/处电荷的电荷量为+0,图乙是/、6连线之间的电势。与位置x之间的关系图像，图

6

中x=/处对应图线的最低点，X=—2/处的纵坐标0=200,x=2/处的纵坐标0=700,若在X=-2-

处的C点由静止释放一个质量为以电荷量为+g的带电物块(可视为质点)，物块随即向右运动(假设此

带电物块不影响原电场分布)，求：

(1)固定在8处的电荷的电荷量4；

(2)小物块与水平面间的动摩擦因数〃为多大，才能使小物块恰好到达x=2/处？

⑶若小物块与水平面间的动摩擦因数N小物块运动到何处时速度最大?

:用动力学观点分析

qEU,

■a=——E=-jv2-\2^=2ad

\m9ao

\用功能观点分析

匀强电场中：W=qEd=qU=~zmv

非匀强电场中：W=qU=%—%

2.（2023福建龙岩统考）如图甲所示，长度/=0.8m的光滑绝缘细杆左端固定一带电荷量为勤=+4.0X10

fC的点电荷4一质量为0=0.04kg、带电荷量为q=+2.OXI。-'C的小球6套在杆上。将杆沿水平

方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷力对小球

6的作用力随6位置x的变化关系如图乙中曲线I所示，小球6所受水平方向的合力随6位置x的变化

关系如图乙中曲线H所示，其中曲线H在x20.40m范围可近似看作直线。求：

A-

6

t)0.300,400.600.8Q/

-0.02ym

-0.06

⑴小球8在x=0.30m处受到外电场对它沿杆方向的静电力厂和外电场在该点沿杆方向的电场强度£；

⑵己知小球在x=0.20m处获得水平向右的初速度v=Q.20m/s时，最远可以运动到x=0.40m„若小

球在x=0.20m处受到方向向右、大小为0.02N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开杆，

恒力作用的最小距离s是多少？

题型三带电粒子在交变电场中的运动

例5.（2024广州期末）如图甲所示，a粒子射线管由平行于x轴的平行金属板/、8组成，/、8板长

度和板间距均为。46板中间有平行于x轴的绝缘细管G开口在y轴上.粒子源户放置在2极板左

下端，可以沿特定方向发射a粒子.当/、6板加上某一电压时，a粒子刚好能以速度v水平进入细管C,

保持速度不变，再进入静电分析器中做匀速圆周运动，已知静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指

向圆心0,a粒子在静电分析器中运动的轨迹半径为L之后a粒子垂直x轴进入第四象限（此时对应图

乙2=0时刻），施加如图乙所示沿x轴方向的交变电场.规定沿x轴正方向为电场正方向.已知a粒子

电荷量大小为°,质量为如重力不计.求：

（1）静电分析器中的场强大小瓦

（2）a粒子从粒子源尸发射时的初速度大小.

(3)当2=7时，a粒子的坐标.

尸乎静电分析器

a粒子源

\TIT3TT

<4ITT

例6.在图甲所示的极板46间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期

为7.现有电子以平行于极板的速度均从两板中央射入.已知电子的质量为如电荷量为e,不计

电子的重力，问：

(1)若电子从力=0时刻射入，在半个周期内恰好能从/板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为

多少？

(2)若电子从力=0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？

(3)若电子恰能从平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？

i分析思路

:(D动力学观点：根据牛顿第二定律及运动学规律分析。

：(2)能量观点：应用动能定理、功能关系等分析。

i(3)动量观点：应用动量定理分析。

3.如图甲所示，电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为见电容器板长和板间

距离均为Z=10cm,下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是Z=10cm,在电容器两极板间接一

交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示。(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认

为电压是不变的)求:

⑴在t=0.06s时刻进入电容器的电子打在荧光屏上的何处;

(2)荧光屏上有电子打到的区间有多长？

题型四动力学、动量和能量观点在电场中的应用

例7.如图所示，/劭为竖直平面内的光滑绝缘轨道，力8段为足够长的水平轨道,初段为半径A=0.2m的

半圆轨道，二者相切于8点，整个轨道处于竖直向下的匀强电场中，场强大小£=5.0Xv/mo一个

不带电的绝缘小球甲，以速度跖沿水平轨道向右运动，与静止在6点带正电的小球乙发生弹性正碰。已

知乙球质量勿=1.0X10“kg、所带电荷量(7=2.OXC,乙球质量为甲球质量的3倍。g取10m/s2,

甲、乙两球均可视为质点，整个运动过程中无电荷转移。

(1)甲、乙两球碰撞后，乙球通过轨道的最高点。时，对轨道的压力大小M为自身重力的2.5倍，求乙

在水平轨道上的首次落点到6点的距离；

(2)在满足(1)的条件下，求甲球的初速度的。

三大观点的选用策略

(1)对多个物体组成的系统讨论，在具备守恒条件时优先考虑两个守恒定律;出现相对距离(或

相对路程)时优先考虑功能关系。

(2)对单个物体的讨论，宜用两个定理，涉及时间优先考虑动量定理，涉及位移优先考虑动能

定理。

(3)研究所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系，涉及过程的细节(加速度)，且受恒力作用

时，考虑用牛顿运动定律和运动学规律。

(4)两个定律和两个定理，只考查一个物理过程的始末两个状态，对中间过程不予以细究，这

「莫百行的芳恒芝斑;一蒋前豆穗另百瓦…羌芬豆宗由箕花逾桂;看遗画苜时以甬示商芳接客］

i自解决，有些题目则同时运用上述几种方法才能解决。i

4.（2024大湾区二模）如图所示，在绝缘的光滑水平面（足够长）上〃点左侧的区域有水平向右的匀

强电场.小滑块48的质量均为如其中8不带电，力的带电荷量为+g,。点到〃点的距离为乙”点

到。点的距离为M（a0）.现将小滑块/在"点由静止释放，其向右运动至。点与静止的小滑块8发生

弹性碰撞，设46均可视为质点，整个过程中，4的电荷量始终不变，6始终不带电，已知电场强度£

=萨，重力加速度大小为g

乙q

⑴4与6发生第一次碰撞前瞬间，求力的速率.

⑵"的取值满足什么条件时，能使A与6发生第二次碰撞?

⑶k的取值满足（2）问的条件下，求/和6两次碰撞间隔的时间.

E

77777^^777^^777777777^77777777777777

NM

\kI°\L\

、利大题•拿高分，

1.（2024山东济宁质检）如图所示，A,6为两块足够大的水平放置的平行金属板，间距为a板间

电压为4两板间有方向由/指向6的匀强电场.在金属板"的正中央位置有一个粒子源户，能以及的

初速度向金属板/以下的各个方向均匀射出质量为〃、电荷量为十°的粒子，粒子最终全部落在金属板6

上.不计粒子所受重力、空气阻力以及粒子之间的相互作用力.求:

(1)粒子落在金属板6时的动能.

⑵粒子落在金属板8上的区域面积.

P

2.1897年，物理学家汤姆孙正式测定了电子的比荷，揭开了原子神秘的面纱。如图所示为汤姆孙测定电子

比荷装置的简化示意图，阴极K发出的电子由静止经过加速电压优加速后，沿轴线进入两平行极板C、

〃间。仅在C、〃极板间施加一定电压，电子从C、2右侧离开时偏离轴线距离为y；若保持电压不变，

在G2间加上与纸面垂直的磁场，发现电子沿直线前进。已知电子的电荷量大小为e,质量为限C、D

极板间距为d,长度为L。求：

(1)电子经过加速电压功加速后的速度大小的；

(2)。、〃极板间所加的电压大小〃；

(3)C、，极板间所加磁场的磁感应强度的大小B。

3.如图所示，空间分为I、II两个足够长的区域，各边界(图中虚线)均水平，I区域存在电场强度为笈=

LOXIO,V/m的匀强电场，方向竖直向上；II区域存在电场强度为IO,丫加的匀强电场，方向

水平向右，两个区域宽度分别为d=5.0m,d=4.0m。一质量R=L0X1()Tkg、带电荷量(?=+1.6

XI。-'C的粒子从，点由静止释放，粒子重力忽略不计。求

D----------------.d2

D

(1)粒子离开区域I时的速度大小；

(2)粒子离开区域n时发生的偏移量x的大小；

(3)粒子出区域n后加另一个匀强电场，使粒子在此电场作用下经1.0s速度变为零，此电场的电场强

度笈的大小和方向。

4.如图甲所示，48是两个足够大的平行金属板，两平行板间加如图乙所示电压，为为已知。质量为

m、电荷量为q的带正电粒子在t=0时刻从紧靠A板位置由静止释放(不计重力)，粒子经26时间到B

板。求：

AB%

25--------,

--------------------,

I-I

II

°T„2T(1I

甲乙

(1)粒子到达6板时的速度

(2)两个金属板间的距离4

5.如图甲所示，真空中相距d=5cm的两块平行金属板46与电源连接(图中未画出)，其中8板接地(电

势为零)，A板电势变化的规律如图乙所示。将一个质量R=2.0X10T7kg、电荷量?=+1.6X10-19C

的带电粒子从紧邻6板处释放，不计粒子重力。求：

甲乙

⑴在e=0时刻释放该带电粒子，释放瞬间粒子加速度的大小；

(2)若/板电势变化周期7=1.0X10-5$,在［=0时将带电粒子从紧邻右板处无初速度释放，粒子到达

/板时速度的大小；

(3)/板电势变化频率多大时，在力大=寺时间内从紧邻8板处无初速度释放该带电粒子，粒子不能

到达/板。

6.在图甲所示的极板/、8间加上如图乙所示的大小不变，方向周期性变化的交变电压，其周期为7,现有

一电子以平行于极板的速度％从两板中央。。射入。已知电子的质量为如电荷量为e,不计电子的重

力，问：

⑴若电子从力=0时刻射入，在半个周期内恰好能从/板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为多少？

(2)若电子从t=0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？

(3)若电子恰能从。平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？

7.(2023陕西宝鸡一模)如图所示，在水平地面的上方空间存在一个水平向右的匀强电场，有一带电小球(可

视为质点)从距地面高为人=lm的。点由静止释放，沿与水平地面成45°角的方向做直线运动，最终落

在地面上的4点。已知小球质量为勿=0.5kg,电荷量为g=5><10rC,g=10m/s2»不计空气阻力，

求：

⑴匀强电场的电场强度大小；

⑵。、/之间的电势差；

⑶带电小球到达地面时的速度大小。

8.如图所示，在光滑的水平桌面上,粗糙直线轨道45与光滑圆弧轨道式》相切于8点，圆心角/方%=37°,

线段%垂直于0D,圆弧轨道半径为R,直线轨道48长为L=3R。整个轨道处于电场强度为£的匀强电

场中，电场强度方向竖直向下且垂直于直线0D.现有一个质量为m、带电荷量为十公1〉。)的小物块P

从4点无初速度释放，小物块户与之间的动摩擦因数〃=0.25,取sin37°=0.6,cos37°=0.8,

忽略物块重力。求：

(1)小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小；

(2)小物块第一次通过。点后离开，点的最大距离；

(3)小物块在直线轨道47上运动的总路程。

9.如图所示，等量异种点电荷分别固定在水平线上的从“两点处，。点位于K”连线中点6的正上方且

与6点之间的距离为。质量为以、电荷量为十°(可视为点电荷)的小球固定在长度为/的绝缘轻质细杆

的一端，细杆另一端可绕过。点且与人”连线垂直的水平轴无摩擦转动。现在把杆拉起到水平位置，

由静止释放，小球经过最低点6时速度为八取。点电势为零，忽略小球所带电荷量对等量异种点电荷

所形成的电场的影响，重力加速度为g。

C04

I

I

I

I

/)

-Q二+Q

MBN

⑴求小球在经过6点时对杆的拉力大小；

⑵在等量异种点电荷形成的电场中，求/点的电势应；

(3)小球继续向左摆动，求其经过与A等高的。点时的速度大小。

10.(2023福建高三校联考)1897年，物理学家汤姆孙正式测定了电子的比荷，揭开了原子神秘的面纱。如

图12所示为汤姆孙测定电子比荷装置的简化示意图，阴极K发出的电子由静止经过加速电压加速后,

沿轴线进入两平行极板，间。仅在〃极板间施加一定电压，电子从C、〃右侧离开时偏离轴线距

离为y；若保持电压不变，在a，间加上与纸面垂直的磁场，发现电子沿直线前进。已知电子的电荷

量大小为e,质量为雇C、。极板间距为4长度为求：

(1)电子经过加速电压缁加速后的速度大小外；

(2)。、〃极板间所加的电压大小〃；

(3)C、〃极板间所加磁场的磁感应强度的大小8。

11.真空中存在方向竖直向上、电场强度大小为笈的匀强电场，力、B、。三点在电场中同一条竖直线上，C

是46的中点。在某时刻，带电油滴a经过/点竖直向上做匀速直线运动，速度大小为匹，不带电油

滴6在6点由静止释放。经过一段时间，a、6在C点相碰成为油滴c,此时刻将电场强度的大小突然

变为某值，但保持其方向不变，再经过相同的时间，油滴c运动回到，点。油滴a、6的质量都为处

重力加速度大小为g,油滴a、b、。均可视为质点。求：

(1)油滴。在C点的初速度大小；

(2)变化后的电场强度的大小；

(3)油滴c从C点出发到回到C点的过程中，电势能最大值与最小值之差。

1.(2023新课标卷)密立根油滴实验的示意图如图14所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上

板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b

在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为及、个；两板间加上电压后(上板为正极)，

这两个油滴很快达到相同的速率胃，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴

半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。

aoob

(1)求油滴a和油滴6的质量之比；

(2)判断油滴a和油滴人所带电荷的正负，并求a、力所带电荷量的绝对值之比。

2.(2022广东卷)密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖.如

图是密立根油滴实验的原理示意图，有两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小

孔.通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷.有两个质量均为勿、位于同一

竖直线上的球形小油滴/和8在时间大内都匀速下落了距离爪此时给两极板加上电压〃(上极板接正极)，

力继续以原速度下落，6经过一段时间后向上匀速运动.6在匀速运动时间力内上升了距离友(友力加，

随后与/合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速.已知球形油滴受到的空气阻力大

1

小为f=麻V,其中次为比例系数，7为油滴质量，y为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为

g.求：

(1)比例系数".

(2)油滴46的带电荷量和电性，以及6上升距离友时电势能的变化量.

(3)新油滴匀速运动速度的大小和方向.

小孔_________

•A

dU•B

3.(2023北京卷)某种负离子空气净化原理如图所示.由空气和带负电的灰尘颗粒物(视为小球)组

成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器.在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度的

保持不变.在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，己知金属板长度为L,间距为d,不考

虑重力影响和颗粒间相互作用.

(1)若不计空气阻力，质量为必、电荷量为一g的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压儿

(2)若考虑空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度丫方向相反，大小为f=krv,其中r

为颗粒的半径，“为常量.假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度：

①若半径为尼电荷量为一的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压区

②已知颗粒的电荷量与其半径的二次方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为10um

和2.5um的两种颗粒，若10Pm的颗粒恰好100%被收集，求2.5um的颗粒被收集的百分比.

4.(2020全国I卷)在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以。为圆心、半径为R的圆，47为圆的直

径，如图所示。质量为处电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自4点先后以不同的速度进入电场，

速度方向与电场的方向垂直。己知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的。点以速率的穿出电场,

/C与的夹角夕=60°,运动中粒子仅受电场力作用。

4餐产一丁

⑴求电场强度的大小；

(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大?

(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为rnv0,该粒子进入电场时的速度应为多大?

5.(2022河北卷)如图所示，光滑水平面和竖直面内的光滑;圆弧导轨在8点平滑连接，导轨半径为上

质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过6点时的速度大小为方又，

之后沿轨道8。运动。以。为坐标原点建立直角坐标系xOy,在X与一斤区域有方向与x轴夹角为夕=45°

的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为企侬。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速

度为go求：

(1)弹簧压缩至/点时的弹性势能;

(2)小球经过。点时的速度大小；

(3)小球过。点后运动的轨迹方程。

大题07带电粒子（带电体）在电场中的平衡、运动

》明考情-Q方向》.

带电粒子在电场中的平衡与运动是高考物理电磁学模块的命题重点，在全国卷及新高

考卷中占比约12%-18%,很可能为压轴计算题。2025年高考对“带电粒子在电场中的平衡、

运动”的考查将延续“重基础、强综合、拓创新”的命题风格，突出电磁学核心观念与实

际问题建模能力。备考需以电场力的矢量性为核心抓手，强化复合场分析与数学工具应用，

同时关注新能源与量子科技前沿，做到“以场驭动，以模应变”。综合考查动力学分析（电

场力与运动学结合）、能量转化（电势能与动能转换）及复杂轨迹建模（如类平抛运动）如

离子推进器中的电场加速、超级电容器储能特性分析；利用抛物线方程解类平抛运动、矢

量分解法处理复合场问题；医用加速器中的粒子束控制、半导体器件中的载流子运动等等。

短研大题-梃能力4

01”等效重力场”问题

02带电粒子在电场中的直线运动

带电粒子（带电体）在

电场中的平衡、运动

03带电粒子在交变电场中的运动

04动力学.动量和能量观点在电场中的应用

题型1”等效重力场”问题

…说311旌永军-商若,摘重通通市「看,二不黄盘一-籍定通访而录:-标芳丁的麓年囊|嘉注手,下

点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为夕，小球位于8点，/点与6点关于。点对称，如图所示.给

小球一个垂直于细线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动.

(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大?

⑵求小球在8点的初速度大小.

答案⑴月点(2)'/上万(3)\/一%

MCOS，MCOSU

解析⑴如图所示，小球所受到的重力、电场力均为大小和方向不变的力，二力的合力为F=

重力场与电场的叠加场为等效重力场，尸为等效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为H

cos〃

=一下，其方向斜向右下，与竖直方向成J角.小球在竖直平面内做圆周运动的过程中，只有等效重

COS8

力做功，动能与等效重力势能可相互转化，其总和不变.与重力势能比较知等效重力势能为瓦=侬'力，

其中力为小球距等效重力势能零势能点的高度.

设小球静止的位置6点为零势能点，由于动能与等效重力势能的总和不变，则小球位于和8点对应

的同一直径上的4点时等效重力势能最大，动能最小，速度也最小.

2

设小球在/点的速度为以，此时细线的拉力为零，等效重力提供向心力，则侬'=J解得小球

的最小速度为/■上万

\1cos〃

(2)设小球在8点的初速度为历，由能量守恒得

~^H1VB=~D1VA+侬/•21

将。的数值代入解得

\lcos〃

例2.(2023广雅中学)如图所示，竖直平面内有一水平向右的匀强电场，电场强度大小为£=1义IO,

V/m,其中有一个半径为7?=2m的竖直光滑圆环，有一质量为0=0.08kg、电荷量为g=6Xl()Tc的

带正电小球(可视为质点)在最低点/点，给小球一个初动能，让其恰能在圆环内做完整的圆周运动，不

考虑小球运动过程中电荷量的变化.取cos37°=0.8,g=10m/s2,求：

(1)小球所受电场力与重力的合力F.

⑵小球在4点的初动能人.

答案（1）1N,与竖直方向夹角37。（2）4.6J

___________5

解析（1）因为重力与电场力均不变，所以二者的合力大小为F=7（侬）?+（々2=0?=1N

方向与竖直方向的夹角为明有

+0_Eq_3

tan〃——

mg4

可得合力与竖直方向夹角为占=37°

（2）小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，则在其等效最高点，有

V2

F

小球从等效最高点至4点的过程中，由动能定理得

F.（7?+7?cos=反一^版

联立得小球在4点的初动能

fi=4.6J

解题策略

重力场与电场在一条重力场与电场

直线上（qE>mg）成一定夹角

1.（2024广东潮州诊断）如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为0、半径为八内壁光滑，4

8两点分别是圆轨道的最低点和最高点。该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为必的带电小球（可

视为质点）恰好能静止在。点。若在C点给小球一个初速度使它在轨道内侧恰好能做完整的圆周运动（小

球的电荷量不变）。已知C、0、〃在同一直线上，它们的连线与竖直方向的夹角《=60°,重力加速度

为g。求：

⑴小球所受的电场力尸的大小；

⑵小球做圆周运动，在，点的速度大小及在/点对轨道压力的大小。

答案⑴遮侬⑵J2gr9mg

解析(1)小球在。点静止，受力分析如图所示。

由平衡条件得尸=侬tan9,

解得：F=Wmg。

(2)小球在光滑轨道内侧恰好做完整的圆周运动，在〃点小球速度最小，对轨道的压力为零，

则胃=戒

cos0r

解得小球在〃点的速度VD=y/2grf

小球由轨道上/点运动到〃点的过程，根据动能定理得

一磔r(l+cos—Frsin=~mv^—|mv^,

解得小球在4点的速度匕=2回?，

小球在4点，根据牛顿第二定律得：凡一侬=/，

r

解得凡1=9侬，

根据牛顿第三定律得：小球对轨道的压力大小为/V=9侬。

题型二带电粒子在电场中的直线运动

例3.如图所示，一平行板电容器水平放置，板间距离为4上下极板开有一小孔，四个质量均为以带

电荷量均为q的带电小球，其间用长均为匏绝缘轻杆相连，处于竖直状态，今使下端小球恰好位于上

极板小孔中，且由静止释放，让四球竖直下落。当下端第二个小球到达下极板时，速度恰好为零。重力

加速度为西(仅两极板间存在电场)试求：

(1)两极板间的电压;

⑵小球运动的最大速度。

./、20mgd/、llgd

答案⑴不弃⑵

13q\126

531

解析⑴根据动能定理可得41ng•-d—2qU--qU--qU=0

解得〃=方等。

(2)当两个小球在电场中时，静电力月=2°•侬V4侬

当三个小球在电场中时，静电力£=3q•%与zzg>4侬

故当第二个小球刚进入电场时速度最大，根据动能定理可得

d1112

41ng•---QlJ--qL/=-^X4：/iiv—0

解得一寸螟

例4.绝缘粗糙的水平面上相距为6Z的48两处分别固定电荷量不等的正电荷，两电荷的位置坐标如图

11甲所示，已知4处电荷的电荷量为+。图乙是46连线之间的电势。与位置x之间的关系图像，图

6

中x=/处对应图线的最低点，X=—2/处的纵坐标0=200,x=2/处的纵坐标0=不00,若在X=—2/

处的C点由静止释放一个质量为以电荷量为+1?的带电物块(可视为质点)，物块随即向右运动(假设此

带电物块不影响原电场分布)，求：

⑴固定在8处的电荷的电荷量QB；

(2)小物块与水平面间的动摩擦因数〃为多大，才能使小物块恰好到达x=2/处？

(3)若小物块与水平面间的动摩擦因数H小物块运动到何处时速度最大？

答案(1)7⑵衿(3)x=0处

4ImgL

解析(D由题图乙得X=/处为图线的最低点，切线斜率为零，即合电场强度为0,则有心=展

rArB

代入数据得/=午=苧。

⑵从X=—2£到x=2L的过程中，物块先做加速运动再做减速运动，由动能定理得qUx—〃侬$=0—0

即〃侬(4£)=0—0

解得〃=衿

ImgL

（3）小物块运动速度最大时，静电力与摩擦力的合力为零，设该位置离A点的距离为LA,则有管一

（6£—乙）l〃侬:。，

解得L=3L,即小物块运动到x=0处时速度最大。

:用动力学观点分析

qEU

■a=——，E=~jv2—n2=2ado

ma

\用功能观点分析

i匀强电场中：W=qEd=qU=^mv

（非匀强电场中：W=qU=%一8、

2.（2023福建龙岩统考）如图甲所示，长度/=0.8m的光滑绝缘细杆左端固定一带电荷量为&=+4.0X10

fC的点电荷4一质量为"=0.04kg、带电荷量为1=+2.0X10-7C的小球6套在杆上。将杆沿水平

方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷/对小球

6的作用力随8位置x的变化关系如图乙中曲线I所示，小球占所受水平方向的合力随6位置x的变化

关系如图乙中曲线n所示，其中曲线n在X20.40m范围可近似看作直线。求：

-0.06

乙

⑴小球6在x=0.30m处受到外电场对它沿杆方向的静电力尸和外电场在该点沿杆方向的电场强度E；

(2)已知小球在x=0.20m处获得水平向右的初速度v—Q.20m/s时，最远可以运动到x=0.40m。若小

球在x=0.20m处受到方向向右、大小为0.02N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开杆，

恒力作用的最小距离s是多少？

答案(1)0.14N,水平向左7X105N/C,水平向左(2)0.44m

解析(1)根据题意，设小球8在x=0.30m处受到点电荷/对它的作用力为E,外电场对它沿杆方向

的作用力为凡合力为厂合，则有尸合=£+凡

结合图像信息可得尸=-0.14N

即小球6在x=0.30m处受到的外电场对它沿杆方向的静电力尸的大小为0.14N,方向水平向左，根据

F

电场强度定义式可得£=-=7X105N/C,方向水平向左。

Q

(2)根据图乙中曲线n围成的面积表示合静电力对小球6做的功，可知小球从x=0.20m到x=0.40m

处，合静电力做功为例=0—8X10-4J

由图可知，小球从x=0.40m至lJx=0.80m处，

合静电力做功为例=—0.02X0.4J=-8X10-3J

由动能定理有例+例+尸外s=0

解得s=0.44mo

题型三带电粒子在交变电场中的运动

……就T圆氯产芥阑有茄囱帝诳宗,…晨祐瑞岐曾由军存于二命的幸行基信版不N矗:"3酸K

度和板间距均为。A,6板中间有平行于X轴的绝缘细管G开口在y轴上.粒子源户放置在2极板左

下端，可以沿特定方向发射a粒子.当46板加上某一电压时，a粒子刚好能以速度工水平进入细管C,

保持速度不变，再进入静电分析器中做匀速圆周运动，已知静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指

向圆心0,a粒子在静电分析器中运动的轨迹半径为L.之后a粒子垂直x轴进入第四象限(此时对应图

乙方=0时刻)，施加如图乙所示沿x轴方向的交变电场.规定沿x轴正方向为电场正方向.已知a粒子

电荷量大小为17，质量为如重力不计.求：

(1)静电分析器中的场强大小品

(2)a粒子从粒子源尸发射时的初速度大小.

(3)当2=7时，a粒子的坐标.

./、H1V2

答案—vT)

1qL

V2

解析(1)在静电分析器中，由牛顿第二定律有/=纥

一,口mv2

可得Eo=

1qL7

(2)由题意可知，a粒子的运动可以看成反方向的类平抛运动，设运动时间为3则

水平方向有L=vt

竖直方向有，=°[",t

则初速度大小n=^v+vy

解得丫0=巾/

(3)a粒子进入第四象限做类平抛运动.沿x轴方向，第一个;内做匀加速直线运动，第二个和做

匀减速直线运动，第三个和反向匀加速，第四个(内再匀减速.由运动的对称性可知a粒子在x轴上一

个周期内的位移为0,在一V方向上a粒子做匀速直线运动，故时，a粒子的纵坐标为/=一〃

则7=7时，a粒子的坐标为(/,—vT).

例6.在图甲所示的极板/、8间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期

为7.现有电子以平行于极板的速度及从两板中央射入.已知电子的质量为血电荷量为e,不计

电子的重力，问：

(1)若电子从2=0时刻射入，在半个周期内恰好能从/板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为

多少？

(2)若电子从力=0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？

(3)若电子恰能从0。平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？

A

O-*-......................O'

R

甲

Uo

答案(1)A/⑵的？(3)£+A^(A=0,1,2,•••)

(2)6=0时刻射入的电子，在垂直于极板方向上做匀加速运动，向/极板方向偏转，半个周期后电场方

向反向，电子在该方向上做匀减速运动，再经过半个周期，电子在电场方向上的速度减小到零，此时的

速度等于初速度%,方向平行于极板，以后继续重复这样的运动；要使电子恰能平行于极板飞出，则电

子在。。方向上至少运动一个周期，故极板长至少为£=%九

(3)若要使电子从平行于极板飞出，则电子在电场方向上应先加速、再减速，反向加速、再减速，

每阶段时间相同，一个周期后恰好回到00'上，可见应在t=^+J^(k=O,1,2,…)时射入；极板间