量子力学（第2版）课件 5粒子流密度和粒子数守恒定律 定态薛定谔方程

§2-4粒子流密度和粒子数守恒定律知识点教学目标连续性方程概率流密度矢量粒子数、质量、电荷守恒定律波函数的标准条件会推导连续性方程。能领会概率流密度矢量的物理意义。熟悉波函数的标准化条件。

本节内容

1概率分布随时间的变化及连续性方程2粒子数、质量、电荷守恒定律3波函数的标准条件4波函数一般是复数1概率分布随时间的变化及连续性方程2粒子数、质量、电荷守恒定律3波函数的标准条件4波函数一般是复数概率的流动表示状态，表示概率分布，表示粒子数分布。由薛定谔方程可知，波函数随时间不断变化，所以概率密度也要随时间变化。有些区域概率（粒子数）增加，有些区域概率（粒子数）减少。这意味着概率（粒子数）会发生流动。连续性方程对归一化波函数，概率密度为为使图象更明确，寻求一个概率流密度矢量来描述概率的流动。下面考察概率密度随时间的变化：1概率分布随时间的变化及连续性方程2粒子数、质量、电荷守恒定律3波函数的标准条件4波函数一般是复数令1概率分布随时间的变化及连续性方程2粒子数、质量、电荷守恒定律3波函数的标准条件4波函数一般是复数得概率分布的连续性方程讨论把连续性方程两边对空间体积V求积分，得利用高斯公式1概率分布随时间的变化及连续性方程2粒子数、质量、电荷守恒定律3波函数的标准条件4波函数一般是复数如果波函数在无穷远处为零，将积分区域扩展到整个空间，则在整个空间内找到粒子的概率与时间无关，总概率守恒。单位时间内流进或流出该体积的概率体积V内的概率随时间的变化率单位时间通过单位面积的概率，称为概率流密度矢量粒子数守恒定律1概率分布随时间的变化及连续性方程2粒子数、质量、电荷守恒定律3波函数的标准条件4波函数一般是复数粒子数守恒定律粒子数密度粒子流密度矢量质量守恒定律电荷守恒定律有限性1概率分布随时间的变化及连续性方程2粒子数、质量、电荷守恒定律3波函数的标准条件4波函数一般是复数单值性因概率密度、概率流密度矢量有唯一确定的值，所以是和t

的单值函数。概率密度不会无穷大，所以也是有限的。连续性概率密度的连续性要求波函数是连续的，而概率流密度的连续性则要求波函数的一阶导数是连续的。1概率分布随时间的变化及连续性方程2粒子数、质量、电荷守恒定律3波函数的标准条件4波函数一般是复数薛定谔方程中一边含有虚数，要求波函数不可能是纯实数或虚数。若为纯实数或虚数，则方程一边为实数、一边为虚数，没有意义。概率流密度要求波函数也不可能是纯实量或虚量。若为纯实数或虚数，则，不能描写体系的运动。注意：定态波函数可以为实数，描写驻波是可以的。1概率分布随时间的变化及连续性方程2粒子数、质量、电荷守恒定律3波函数的标准条件4波函数一般是复数例.证明一维自由粒子的速度v可以表示为其中，w和J分别是一维自由粒子的概率密度和概率流密度。一维自由粒子的波函数及其复共轭分别为则这是概率密度和概率流密度之间的基本关系。ABCD提交5-1波函数满足的标准化条件为单值、有限、连续。单值、无限、连续。单值、有限、间断。归一化。单选题1分§2-5定态薛定谔方程知识点教学目标不含时薛定谔方程能量本征值和能量本征方程定态及其特点含时薛定谔方程的一般解能熟练描述定态的特征。领会能量本征值和能量本征方程的物理意义。理解含时薛定谔方程的一般解。本节内容

1不含时薛定谔方程2能量本征值和能量本征方程3定态及其特点4含时薛定谔方程的一般解薛定谔方程1不含时薛定谔方程2能量本征值和能量本征方程3定态及其特点4含时薛定谔方程的一般解若势能与时间无关，即，则存在可以分离变量的特解分离薛定谔方程是与时间和坐标都无关的常量令对时间求导等于0，所以与时间无关对坐标求导等于0，所以与坐标无关1不含时薛定谔方程2能量本征值和能量本征方程3定态及其特点4含时薛定谔方程的一般解方程分离成两个不含时薛定谔方程薛定谔方程的解与时间有关的波函数形式固定，关键是求出不含时薛定谔方程的解。不含时薛定谔方程又称为定态薛定谔方程。1不含时薛定谔方程2能量本征值和能量本征方程3定态及其特点4含时薛定谔方程的一般解定态薛定谔方程数学：对于任何E值，定态薛定谔方程都有解。物理：波函数必须满足物理要求时，求出的解才具有物理意义。标准条件：单值、有限、连续。其它条件：具体物理问题的要求，如束缚态时无穷远处波函数为零、周期性边界条件等。满足物理要求的E值，称为能量本征值；能量本征值对应的波函数称为能量本征函数；定态薛定谔方程称为能量本征方程。1不含时薛定谔方程2能量本征值和能量本征方程3定态及其特点4含时薛定谔方程的一般解定态时，薛定谔方程分离成了两个方程上面两式分别乘以和，得这两个方程都是以算符作用到，得到。1不含时薛定谔方程2能量本征值和能量本征方程3定态及其特点4含时薛定谔方程的一般解算符和作用相当，都称为能量算符。定义：哈密顿算符一般情况下，本征方程有一系列本征值En。不同的能量本征值对应不同的本征函数，所以能量本征方程细化为能量本征方程简写成能量本征函数能量本征值

，称为量子数1不含时薛定谔方程2能量本征值和能量本征方程3定态及其特点4含时薛定谔方程的一般解推广：任意力学量算符的本征方程当体系处于算符的本征态时，

具有确定值fn。如果一个本征值fn

对应i个不同的本征函数，则称该本征值i

重（度）简并。

fn对应的本征函数算符的本征值力学量算符简并例如，处于第一激发态的氢原子，其能量E2四度简并1不含时薛定谔方程2能量本征值和能量本征方程3定态及其特点4含时薛定谔方程的一般解定态（能量本征态）概率密度不随时间改变，形成稳定分布。特点概率流密度不随时间改变。满足。定态下，能量取确定值，它对应的本征函数（能量本征函数）为1不含时薛定谔方程2能量本征值和能量本征方程3定态及其特点4含时薛定谔方程的一般解含时薛定谔方程的解能量没有单一的确定值，测得能量取值的概率为。特点：一般解不再是定态