4.1　数列 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

4．1数列4.1.1数列(1)一、单项选择题1下列有关数列的说法中，正确的是()A.同一数列的任意两项均不可能相同B.数列－1，0，1与数列0，1，－1是同一个数列C.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}D.数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列2(2024连云港高级中学期中)已知数列2，eq\r(6)，2eq\r(2)，eq\r(10)，…，eq\r(2n＋2)，…，则eq\r(46)是这个数列的()A.第20项B.第21项C.第22项D.第19项3(2024启东一中月考)数列1，eq\f(5,3)，eq\f(5,2)，…的通项公式可能是()A.an＝eq\f(n2＋1,n＋1)B.an＝eq\f(n＋1,n2＋1)C.an＝eq\f(n2,2n－1)D.an＝eq\f(n2＋1,2n－1)4(2024苏州一中月考)下列说法中，正确的是()A.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列B.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列C.数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k项为1＋eq\f(1,k)D.数列0，2，4，6，…可记为{2n}5在数列{an}中，若an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n－1，n为奇数，,2n-1，n为偶数，))则a4＋a5的值为()A.17B.23C.25D.416(2024定西八校期末)已知数列0，lg2，lg3，lg4，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有()A.8项B.9项C.10项D.11项

二、多项选择题7(2024南通一中月考)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A.1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n)，…B.sineq\f(π,7)，sineq\f(2π,7)，sineq\f(3π,7)，…，sineq\f(nπ,7)，…C.－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…，－eq\f(1,2n-1)，…D.1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)，…8(2024松江二中月考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则下列数中是该数列中的项的是()A.18B.12C.25D.30三、填空题9已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，则33是这个数列的第________项．10由数列1，10，100，1000，…猜测该数列的第n项可能是________．11一系列有机物的结构简图如图所示，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为________．(用含n的代数式表示)四、解答题12写出下列各数列的一个通项公式：(1)4，6，8，10，…；(2)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…；(3)－1，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，….13已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－kn＋3.(1)如果a2＝5，求k的值，并写出这个数列的首项；(2)若an≥a5对任意n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

4．1.2数列(2)一、单项选择题1(2024南通中学月考)已知数列{an}满足an＋1＝(－1)nan＋1，且a2＝1，则a6的值为()A.－1B.0C.1D.22(2024佛山一中期末)在数列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝2－eq\f(2,an)，则下列数中不是{an}中的项的是()A.－1B.－2C.3D.eq\f(4,3)3已知数列{an}满足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a1＝－1，则a2024的值为()A.－1B.eq\f(1,2)C.2D.14(2024常熟中学月考)设数列{an}的通项公式为an＝n2－(k－5)n＋1，若数列{an}是单调递增数列，则实数k的取值范围为()A.(4，＋∞)B.(－∞，4)C.(8，＋∞)D.(－∞，8)5已知数列{an}满足anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则eq\f(a5,a3)的值为()A.eq\f(16,15)B.eq\f(4,3)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,3)6(2024南菁中学月考)已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2n－15)，其最大项和最小项的值分别为()A.1，－eq\f(1,7)B.0，－eq\f(1,7)C.eq\f(1,7)，－eq\f(1,7)D.1，－eq\f(1,11)二、多项选择题7(2024南海中学月考)已知数列{an}满足a1＝m(m为正整数)，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，当an为偶数时，,3an＋1，当an为奇数时，))若a6＝1，则m可能的取值有()A.3B.4C.5D.328(2024莆田二中月考)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))eq\s\up12(n)，则下列说法中正确的是()A.a1是数列{an}的最小项B.a4是数列{an}的最大项C.a5是数列{an}的最大项D.当n≥5时，数列{an}递减三、填空题9(2024盐城中学期末)在数列{an}中，a1＝2，an·an－1＝an－1－1(n≥2)，则a2024＝________．10(2025启东联考)在数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________．11已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1，2，3，…)，则a4＝________；猜想其通项公式是an＝________．四、解答题12已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(4,n2＋3n).(1)写出数列的前三项；(2)eq\f(1,10)和eq\f(16,27)是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项？13已知在数列{an}中，an＝n2－pn＋q，a1＝0，a2＝－4.(1)求a5的值；(2)判断66是不是该数列中的项？若是，是第几项？(3)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．4．1数列4.1.1数列(1)1.D对于A，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；对于B，数列－1，0，1与数列0，1，－1中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；对于C，{1，3，5，7}是一个集合，故C错误；对于D，根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，故D正确．2.C令eq\r(2n＋2)＝eq\r(46)，解得n＝22，所以eq\r(46)是这个数列的第22项．3.A当n＝1时，eq\f(n2＋1,2n－1)＝2，故排除D，当n＝2时，eq\f(n＋1,n2＋1)＝eq\f(3,5)，eq\f(n2,2n－1)＝eq\f(4,3)，故排除B，C，经检验A符合题意．4.C对于A，数列可为常数数列，故A错误；对于B，一个是递减数列，一个是递增数列，不是相同数列，故B错误；对于C，当n＝k时，ak＝eq\f(k＋1,k)＝1＋eq\f(1,k)，故C正确；对于D，数列中的第一项不能用an＝2n表示，故D错误．5.A由题意，得a4＋a5＝23＋(2×5－1)＝17.6.B由题意，得该数列的通项公式为an＝lgn，由lgn<1，得n<10.因为n∈N*，所以该数列中小于1的项有9项．7.CD易知C，D既是无穷数列又是递增数列，A，B不符合题意．故选CD.8.BD对于A，若an＝n2＋n＝18，无正整数解，不符合题意；对于B，若an＝n2＋n＝12，解得n＝3或n＝－4，有正整数解n＝3，符合题意；对于C，若an＝n2＋n＝25，无正整数解，不符合题意；对于D，若an＝n2＋n＝30，解得n＝5或n＝－6，有正整数解n＝5，符合题意．故选BD.9.5令33＝2n＋1，解得n＝5.故33是这个数列的第5项．10.10n-1此数列可写为100，101，102，103，104，…，故该数列的第n项可能是10n-1.11.9n＋3第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察，得后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，故第n个图有6＋5(n－1)＝5n＋1(个)化学键和(4n＋2)个原子，则总数为9n＋3.12.(1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，…，故所求数列的通项公式可写为an＝eq\f(2n－1,2n)，n∈N*.(3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－eq\f(3,3)，所以每一项的分母依次为3，5，7，9，…，可写成(2n＋1)的形式；分子为3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式，所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·eq\f(n(n＋2),2n＋1)，n∈N*.13.(1)令a2＝2×22－2k＋3＝5，解得k＝3，所以a1＝2×12－3×1＋3＝2.(2)an≥a5对任意n∈N*恒成立，即2n2－kn＋3≥53－5k对任意n∈N*恒成立，所以(n－5)k≤2n2－50对任意n∈N*恒成立．若n＞5，n∈N*，则k≤2(n＋5)，所以k≤22；若0<n＜5，n∈N*，则k≥2(n＋5)，所以k≥18；若n＝5，显然成立，综上，18≤k≤22，故实数k的取值范围是[18，22].

4．1.2数列(2)1.C因为an＋1＝(－1)nan＋1，所以令n＝2，得a3＝a2＋1＝2；令n＝3，得a4＝－a3＋1＝－1；令n＝4，得a5＝a4＋1＝0；令n＝5，得a6＝－a5＋1＝1.2.A由题意，得a1＝eq\f(1,2)，a2＝2－eq\f(2,a1)＝－2，a3＝2－eq\f(2,a2)＝3，a4＝2－eq\f(2,a3)＝eq\f(4,3)，a5＝2－eq\f(2,a4)＝eq\f(1,2)，…，所以{an}为周期数列，且周期为4，则－1不是{an}中的项．3.B因为an＋1＝eq\f(1,1－an)，且a1＝－1，所以a2＝eq\f(1,1－(－1))＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,1－\f(1,2))＝2，a4＝eq\f(1,1－2)＝－1，a5＝eq\f(1,1－(－1))＝eq\f(1,2)，a6＝eq\f(1,1－\f(1,2))＝2，…，由此不难发现，数列{an}具有周期性，且最小正周期为3，故a2024＝a3×674＋2＝a2＝eq\f(1,2).4.D若{an}是递增数列，则an＋1>an，即(n＋1)2－(k－5)(n＋1)＋1>n2－(k－5)n＋1，则k<2n＋6.因为n∈N*，所以2n＋6≥8，则k<8.5.B由题意，得a2a1＝a1＋(－1)2，又a1＝1，所以a2＝2.易得a3a2＝a2＋(－1)3，则a3＝eq\f(1,2).同理，a4＝3，a5＝eq\f(2,3)，故eq\f(a5,a3)＝eq\f(4,3).6.A因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝eq\f(1,2n－15)<0，且是递减数列；当n≥4时，an＝eq\f(1,2n－15)>0，且单调递减，又a1＝eq\f(1,2－15)＝－eq\f(1,13)，所以最小项为a3＝eq\f(1,8－15)＝－eq\f(1,7)，最大项为a4＝eq\f(1,16－15)＝1.7.BCD由题意，得a5＝2，若3a4＋1＝2，不合题意，舍去，所以a4＝4；若3a3＋1＝4，则a3＝1，进而可得a2＝2，a1＝4；若eq\f(a3,2)＝4，则a3＝8，进而可得a2＝16，所以a1＝32或a1＝5.故选BCD.8.BCD设第n项为{an}的最大项，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((n＋2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n)≥(n＋1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n－1)，,(n＋2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n)≥(n＋3)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n＋1)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤5，,n≥4.))又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝eq\f(65,74)，当n≥5时，数列{an}递减，故B，C，D正确；当n趋向正无穷大时，an＝(n＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))eq\s\up12(n)无限趋向于0且大于0，且a1＝eq\f(18,7)>0，所以a1不是数列{an}的最小项，且数列{an}无最小值，故A错误．故选BCD.9.eq\f(1,2)由题意，得a2＝eq\f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，所以数列{an}的周期为3，所以a2024＝a3×674＋2＝a2＝eq\f(1,2).10.30因为an＝－n2＋11n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(121,4)(n∈N*)，所以当n＝5或n＝6时，an取得最大值30.11.eq\f(1,4)eq\f(1,n)因为数列