新高考数学考试题及答案

新高考数学考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，则\(A\cupB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\varnothing\)2.已知\(i\)是虚数单位，复数\(z=2+3i\)，则\(\vertz\vert=\)（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{13}\)C.\(5\)D.\(13\)3.函数\(y=\log_2(x+1)\)的定义域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((-1,0)\)D.\((0,+\infty)\)4.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m=\)（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(1\)D.\(-1\)5.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(a_5=\)（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)6.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)7.抛物线\(y^2=8x\)的焦点坐标是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)8.函数\(y=x^3\)在点\((1,1)\)处的切线斜率为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)9.从\(3\)名男生和\(2\)名女生中任选\(2\)人参加比赛，恰好选到\(1\)男\(1\)女的概率为（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{1}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)10.已知\(a=0.3^2\)，\(b=\log_20.3\)，\(c=2^{0.3}\)，则（）A.\(a\ltc\ltb\)B.\(b\lta\ltc\)C.\(a\ltb\ltc\)D.\(b\ltc\lta\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\vertx\vert\)2.已知直线\(l_1\)：\(ax+y+1=0\)，\(l_2\)：\(x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，则\(a\)的值可能为（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)3.一个正方体的棱长为\(1\)，以下说法正确的是（）A.正方体的表面积为\(6\)B.正方体的体积为\(1\)C.正方体的体对角线长为\(\sqrt{3}\)D.正方体的面对角线长为\(\sqrt{2}\)4.下列关于椭圆的说法正确的是（）A.椭圆的离心率\(e\in(0,1)\)B.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的长轴长为\(2a\)C.椭圆的焦点在\(x\)轴上时，\(c^2=a^2-b^2\)D.椭圆一定关于原点对称5.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，则（）A.\(xy\)的最大值为\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值为\(4\)C.\(x^2+y^2\)的最小值为\(\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)的最大值为\(\sqrt{2}\)6.下列数列中，是等比数列的有（）A.\(1,2,4,8,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(1,0,0,0,\cdots\)D.\(2,2,2,2,\cdots\)7.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的性质正确的有（）A.最小正周期为\(\pi\)B.图象关于点\((\frac{\pi}{3},0)\)对称C.在\([-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]\)上单调递增D.图象可由\(y=\sin2x\)向左平移\(\frac{\pi}{3}\)个单位得到8.已知\(a\)，\(b\)为正实数，且\(a+b=2\)，则（）A.\(ab\leqslant1\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant2\)C.\(a^2+b^2\geqslant2\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant2\)9.下列关于导数的说法正确的是（）A.函数\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处的导数\(f^\prime(x_0)\)表示函数在\(x=x_0\)处的切线斜率B.若\(f^\prime(x)\gt0\)在区间\((a,b)\)上恒成立，则\(f(x)\)在\((a,b)\)上单调递增C.函数\(y=x^2\)的导数\(y^\prime=2x\)D.导数为\(0\)的点一定是函数的极值点10.已知空间向量\(\vec{a}=(1,1,0)\)，\(\vec{b}=(0,1,1)\)，则（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\)B.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{2}\)C.\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为\(\frac{\pi}{3}\)D.与\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)都垂直的单位向量为\((\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})\)三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)。（）3.函数\(y=\frac{1}{x}\)在定义域内是减函数。（）4.直线\(x=1\)的倾斜角为\(90^{\circ}\)。（）5.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（）6.两个向量的数量积是一个向量。（）7.圆\(x^2+y^2=1\)的圆心坐标为\((0,0)\)，半径为\(1\)。（）8.若数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2\)，则\(a_n=2n-1\)。（）9.函数\(y=\cosx\)的图象关于\(y\)轴对称。（）10.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，则\(b^2=ac\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=2x^2-4x+3\)的对称轴和顶点坐标。答案：对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)，对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)，此函数\(a=2\)，\(b=-4\)，则对称轴\(x=1\)。把\(x=1\)代入函数得\(y=1\)，顶点坐标为\((1,1)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：将\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同时除以\(\cos\alpha\)得\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求其通项公式\(a_n\)。答案：设公差为\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。4.求过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线方程。答案：两直线平行斜率相等，已知直线斜率为\(2\)，设所求直线方程为\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=x^3-3x\)的单调性与极值情况。答案：求导得\(y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)，函数递增；令\(y^\prime\lt0\)，得\(-1\ltx\lt1\)，函数递减。极大值为\(y(-1)=2\)，极小值为\(y(1)=-2\)。2.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，讨论\(a\)，\(b\)变化对椭圆形状的影响。答案：\(a\)决定椭圆的长轴长度，\(a\)越大，椭圆越扁长；\(b\)决定椭圆的短轴长度，\(b\)越大，椭圆越趋近于圆。离心率\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)，\(a\)，\(b\)变化会影响离心率，进而影响椭圆形状。3.讨论在立体几何中，如何判断直线与平面垂直。答案：可根据定义，若直线与平面内任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直；也可用判定定理，若直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；还可利用面面垂直性质等进行判断。4.讨论在概率问题中，如何区分古典概型和几何概型。答案：古典概型特点是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个基本事件出现的可能性相等；几何概型是试验中所有可能出现的结果有无限个，且每个结果出现的