江西省赣州市全南中学2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试卷（含解析）

江西省赣州市全南中学2024−2025学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知（

）A．0 B．2x C．6 D．92．在等差数列中，是其前n项和．若，则公差（

）A．2 B．4 C．1 D．03．若数列为等比数列，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．抛物线在点处的切线方程为（

）.A． B． C． D．5．设是等差数列的前n项和，若，，则（

）A． B． C． D．6．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．7．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（

）A．15 B．101 C．21 D．198．我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列数列中，是等差数列的是（

）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，210．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值11．等比数列和函数满足，，则以下数列也为等比数列的是（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知是等差数列，且，则的通项公式.13．函数的极值点为，则实数.14．无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意，，则k的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．求函数的单调区间.16．已知等差数列的前n项和为，.（1）求的通项公式；（2）若，求前n项和.17．已知二次函数，其图象过点，且．（1）求的值；（2）设函数，求曲线在处的切线方程．18．已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．19．拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得.已知函数，数列满足，且.（1）求，；（2）证明：数列为等比数列；（3）若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立？

参考答案1．【答案】B【详解】因，则.故选B2．【答案】A【详解】等差数列中，是其前n项和．若，则公差.故选A.3．【答案】A【详解】由题意知，数列为等比数列，当时，得，故充分性成立；当时，，解得，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A．4．【答案】B【详解】由，可得，所以，又切点为，所以切线方程为，化简得.故选B.5．【答案】A【详解】由是等差数列的前n项和，则成等差数列，因为，，所以，，所以，所以，所以.故选A.6．【答案】A【详解】解：因为，所以，所以为偶函数，即图象关于轴对称，则排除，当时，，故排除C，，当时，，所以，即在上单调递增，故排除D；故选．7．【答案】C【详解】因为数列的前几项为，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，则.故选C8．【答案】C【详解】，则，令，则，如图，作出函数的图象，由图可知函数的图象有两个交点，即函数有两个零点，且，令，则或，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值点为，极小值点为.对于A，函数在上单调递减，在单调递增，所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符；对于B，函数在上单调递增，在单调递减，所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符；对于C，，当或时，，当时，，所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意；对于D，，则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符.故选C.9．【答案】ABD【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确；对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确；对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误；对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确．故选ABD.10．【答案】AD【详解】由函数的导函数的图象可知，当时，，所以在上单调递增，故B错误；当时，，所以在上单调递减，故A正确；所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.故选AD.11．【答案】AC【详解】由题意，数列为等比数列，设其公比为，则.对于A，，则，所以，所以数列为公比为的等比数列，故A正确；对于B，当为奇数时，不为整数，无意义，故B错误；对于C，，则，所以数列为公比为的等比数列，故C正确；对于D，，则，因为不为常数，故D错误.故选AC.12．【答案】【详解】设等差数列的公差为，由，因代入解得，故.13．【答案】【详解】，，得，此时.当时,内单调递减；时，，内单调递增.在处取得极小值，符合题意.14．【答案】4【详解】试题分析：当时，或；当时，若，，于是，若，，于是，若，，于是，若，，于是，所以当时，，所以要涉及最多的不同的项数列可以为：2,1，−1,0,0…，从而可看出.【名师点睛】从研究与的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列由k个不同的数组成”和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.15．【答案】单调递增区间为；单调递减区间为．【详解】函数的定义域为．．因为，所以．由，解得；由，解得所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．16．【答案】（1）（2）【详解】（1）因为是等差数列，设其公差为，由题知，解得，所以的通项公式为.（2）由题知，所以.17．【答案】（1）（2）【详解】（1）由题意可得，即为，又，可得，解得．（2）由（1）知，则，则曲线在处的切线斜率为，又∵，∴切点为，则曲线在处的切线方程为，即为．18．【答案】（1）（2）【详解】（1）由已知可得，则，当时，，所以.（2）由